배운 논리로 하나의 논증을 끝까지 검토할 수 있나요?

이번에는 17편에서 연습한 추론 형식을 새 봉투 사례에 적용해 보겠습니다. 뜻을 기호로 옮기는 일부터 전제의 실제 참을 확인하는 일까지 한 논증을 처음부터 끝까지 검토합니다. 마지막에는 전제가 달라지는 새 문제도 혼자 풀어 보세요.

먼저 뜻을 정하고, 근거와 결론을 나눕니다. 다음에는 기호로 옮긴 뒤 결론을 보장하는지 확인합니다. 마지막으로 근거 자체가 실제로 참인지도 따로 묻겠습니다.

맞습니다. 지금의 수업은 참과 거짓 두 값을 사용하는 고전 명제논리입니다. 아직 모르는 사실은 모르는 채로 두고, 그 빈자리를 임의의 참·거짓으로 채우지 않습니다.

글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. 이번 봉투에 사용할 세 글자를 약속하겠습니다.

네. 뜻을 정하는 일과 그 내용을 참으로 받아들이는 일은 다릅니다. ¬p는 같은 봉투에 안내도가 없다는 뜻입니다. 다른 봉투에 안내도가 있다는 뜻을 보태지 않습니다.

그렇습니다. 이 사례의 “안내도 또는 활동지가 있다”는 적어도 한 종류가 있다는 뜻으로 사용합니다. “둘 중 정확히 한 종류만 있다”는 별도의 조건입니다.

정확합니다. 결론의 수와 결론 안에 들어 있는 부분의 수를 구별해 주세요. 이제 같은 뜻을 기호로 정리해 봅시다.

네. 기호를 정리한 뒤에는 반드시 원래 말로 다시 읽습니다. 여기서 →는 두 내용의 진리값으로 계산하는 조건문입니다. 안내도가 색연필을 생기게 한다는 원인 설명을 더하지 않습니다.

반례를 찾는다면 어떤 경우여야 하나요?

좋습니다. 먼저 셋째 전제 ¬r을 참으로 유지하면 r은 거짓입니다. 이때 둘째 전제 p→r도 참이어야 한다면 p를 참으로 둘 수 있을까요?

그 상태에서 첫째 전제 p∨q가 참이어야 합니다. q는 어떤 값이어야 하나요?

모든 전제가 참이라는 조건을 따라가니 p=거짓, q=참, r=거짓으로 값이 정해졌습니다. 그 배정에서 결론도 참입니다. 이 논증에는 전제들이 모두 참인데 결론만 거짓인 배정이 없으므로 타당합니다.

서로 다른 글자가 p·q·r 세 개이므로 배정은 2×2×2, 모두 여덟 가지입니다. 표를 읽기 쉽게 두 부분으로 나누겠습니다. 아래 두 표에서 같은 행 번호는 같은 경우를 가리킵니다.

바로 그 기준으로 타당성을 판단합니다. 또한 6행이 있으므로 세 전제는 함께 충족 가능합니다. “함께 참일 수 있는가?”와 “모두 참일 때 결론이 참인가?”는 서로 다른 질문이며, 이번에는 두 질문에 모두 그렇다고 답할 수 있습니다.

이제 17편의 방식으로 추론을 적어 봅시다. 어떤 줄을 사용했는지 함께 쓰면, 왜 다음 결과가 나오는지 다른 사람도 확인할 수 있습니다.

네. 5줄에서는 p∨q만 보고 q를 골라낸 것이 아닙니다. p가 성립하지 않는다는 4줄을 함께 사용했습니다. 6줄에서는 이미 얻은 q와 ¬p를 모두 주장하므로 ∧로 묶었습니다.

맞습니다. 한 줄이 뒤에서 쓰인다면 그 줄이 앞선 정보로 정당화되었는지 거슬러 확인하면 됩니다. 진리표는 모든 배정을 살피고, 이 표는 어떤 추론을 거쳐 결론에 도달했는지 보여 줍니다.

고전 명제논리에서 p→r은 ¬p∨r과 동치입니다. 앞의 글자만 부정하고 ∨로 연결했다는 점을 확인하세요. p와 r의 네 배정으로 다시 계산해 보겠습니다.

네. 그 뒤에 p∨q를 사용해 q를 얻는 과정은 같습니다. 이렇게 뜻을 보존하는 변형을 쓰면 다른 추론 경로를 찾을 수 있습니다. 다만 자연어 표현의 원인·강조·시간적 순서까지 모두 같아졌다고 해석하지는 않습니다.

이번에는 전제를 p∨q와 p→r 두 개로 바꿉니다. ¬r은 더 이상 원래 전제가 아닙니다. 대신 “색연필이 없다면 활동지가 있고 안내도가 없다”라는 조건문을 증명하겠습니다.

7줄에서 남는 것은 조건문 전체입니다. 원래 전제 p∨q와 p→r은 계속 전제로 남습니다. 임시로 가정했던 ¬r이나 그 가정 안에서 얻은 q를, 조건 없이 바깥의 사실로 가져오지 않습니다.

맞습니다. 증명의 목표는 원래 두 전제가 참일 때, 추가로 ¬r도 성립한다면 어떤 결과가 나오는지 밝히는 것입니다. 지금은 ¬r 자체를 원래 정보로 주지 않았습니다.

먼저 p→r과 ¬r을 전제로 두고 ¬p를 얻어 봅시다. p를 잠깐 가정하면 p→r과 함께 r을 얻습니다. 그런데 원래 전제에는 ¬r이 있습니다. 같은 가정 안에 r과 ¬r이 생기므로 p의 가정을 닫고 ¬p를 얻습니다.

이번에는 전제 묶음을 새로 바꿉니다. p∨q, p→r, q→r만 주어졌다고 해 봅시다. 앞에서 사용한 ¬r은 이 새 논증에 포함하지 않습니다. 목표는 r입니다.

네. 어느 한쪽을 실제 사실로 골라 버리지 않고 양쪽 경로가 같은 결론에 도달하는지 확인했습니다. p와 q가 둘 다 참인 경우도 두 경로에서 r이 나오므로 빠지지 않습니다.

그 점을 반례로 끝까지 적어 보세요.

좋습니다. 만약 다른 확인에서 안내도만 들어 있고 활동지는 없다는 결과를 얻었다면, 그 경우의 결론 ¬q는 참입니다. 그렇다고 지금의 두 전제로 이루어진 논증이 타당해지지는 않습니다.

네. ¬(p∧q)를 새 전제로 보태면 p와 함께 ¬q를 얻을 수 있습니다. 다만 그때에는 전제가 추가된 새 논증을 검토하는 것입니다. 원래 글에 그 조건이 있었다고 소급해서 읽지는 않습니다.

그 세 전제가 실제로 참이라는 근거가 필요합니다. 형식이 타당하더라도 전제의 실제 참을 아직 모른다면 “세 전제가 참이라면 활동지가 있고 안내도는 없다”까지 말할 수 있습니다.

맞습니다. 관찰로 전제의 참을 확인했고, 추론으로 전제가 결론을 보장한다는 점을 확인했습니다. 현실의 보고를 검토한다면 관찰 대상과 시점, 확인 방법, 기록의 정확성도 살펴야 합니다.

그렇습니다. 지금 p와 r은 한 봉투의 특정 시점에 관한 내용입니다. 모든 봉투에 적용되는 규칙을 주장하려면 대상 범위를 넓힌 별도의 내용을 검토해야 합니다. 한 번의 관찰에 그런 일반성을 보태지 않습니다.

이제 풀이를 덮고 직접 해 보세요. p·q·r의 뜻은 그대로 사용합니다. 각 문제에는 적힌 전제만 주어지며, 앞 절의 관찰값 p=거짓, q=참, r=거짓을 가져오지 않습니다.

네. 자신의 풀이에서 쓰는 모든 정보를 주어진 전제와 대조해 보세요. 잠깐 세운 가정은 그 범위를 표시하고, 닫은 가정에 의존하는 내용을 그대로 밖으로 가져오지 않는지도 확인합니다.

다음 과제를 설명할 수 있는지 살펴보세요. 정답만 떠오르는지, 다른 사람이 이해하도록 이유도 말할 수 있는지 구별하면 복습할 부분이 선명해집니다.

복습한 뒤에는 이 편의 문제 A·B·C로 돌아와 이유를 다시 적어 보세요. 답을 외웠다면 물건의 이름이나 글자를 바꾸어도 같은 추론을 설명할 수 있는지 확인하면 됩니다. 풀이를 바로 찾지 못한 것만으로 그 논증이 부당하다고 결론 내리지 마세요.

명제 전체를 p나 q로 나타내면 그 안의 구조가 드러나지 않는 경우가 있습니다. 다음 가상 논증을 읽어 보세요. 여기서는 봉투 사례를 마치고 학생과 책에 관한 새 예시를 사용합니다.

맞습니다. 원래 논증은 타당합니다. 하지만 명제 전체를 A, B, C로만 바꾸어 A와 B에서 C를 이끌어 내려고 하면, 명제논리는 그 세 글자 안의 “모든 학생”과 “민수”를 읽을 수 없습니다. 원래 논증이 틀린 것이 아니라, 이 추론을 설명하는 데 필요한 내부 구조가 기호화에 드러나지 않은 것입니다.

그렇습니다. 서로 독립적인 글자로 취급한 형식에는 그런 배정이 있지만, “모든 학생”의 뜻과 민수가 그 학생이라는 조건을 함께 읽으면 원래 두 전제가 참인데 결론만 거짓인 경우는 없습니다. 중급에서는 이런 관계를 드러내는 술어논리를 배웁니다.

네. 기초 논리학 스무 편에서는 뜻을 정하고, 논리적 연결을 읽고, 반례와 추론으로 판단의 이유를 밝히는 연습을 했습니다. 이 습관을 그대로 가지고 중급 논리학의 이름·성질·관계·모두와 일부로 나아가겠습니다. 기호를 쓸 때마다 무엇을 뜻하는지 먼저 묻고, 결론을 말할 때마다 어떤 근거가 있는지 확인해 주세요.