함께 시작해 볼까요?
p∨q가 뜻하는 포괄적 ‘또는’을 연필과 지우개 사례로 배웁니다. 둘 다 참인 경우, 일상의 하나만 고르기, 아직 확인하지 못한 경우를 구별하고 직접 풀어 봅니다.
이번에는 “또는”으로 읽어 볼까요?
같은 두 내용 사이에 새로운 기호를 씁니다.
지난 편에서는 “연필과 지우개가 모두 들어 있다”를 p∧q라고 썼어요. 이번에는 “연필 또는 지우개가 들어 있다”를 어떻게 쓰나요?
“또는”을 나타내는 기호 ∨를 써서 p∨q라고 합니다. 오늘도 설명을 위해 상자 하나를 생각해 봅시다. 상자와 물건은 가상 사례이고, 각 경우에는 같은 때의 모습을 살펴봅니다. 먼저 글자의 뜻을 다시 적어 두겠습니다.
이번 편의 p와 q입니다.
p: 이 상자 안에 연필이 들어 있다.
q: 이 상자 안에 지우개가 들어 있다.
p∨q: 이 상자 안에 연필 또는 지우개가 들어 있다.
∧는 위쪽이 뾰족하고, ∨는 아래쪽이 뾰족하네요. 모양을 확인하면서 “그리고”와 “또는”을 구별하겠습니다.
좋습니다. 뜻까지 분명히 읽어 볼까요? 이번 명제논리에서 ∨는 두 내용 가운데 적어도 하나가 참이라는 뜻입니다. 연필만 들어 있어도 p∨q는 참이고, 지우개만 들어 있어도 참입니다.
∧로 연결했을 때는 하나만 들어 있으면 전체가 거짓이었지요. ∨로 연결하면 어느 하나가 있다는 것으로도 충분하군요.
그렇습니다. 어떤 기호를 썼는지에 따라 두 내용을 연결하는 규칙이 달라집니다. 오늘은 “적어도 하나”라는 뜻을 구체적인 경우에 적용해 보겠습니다.
둘 다 들어 있어도 참인가요?
“적어도 하나”에 해당하는 경우를 살펴봅니다.
연필과 지우개가 둘 다 들어 있으면 어떻게 되나요? 저는 “또는”을 들으면 둘 중 하나만 생각할 때가 있어요.
바로 그 경우를 살펴보겠습니다. 연필과 지우개가 모두 들어 있습니다. “그 두 가지 가운데 적어도 하나가 들어 있다”고 말하면 사실에 맞나요?
네. 연필도 있고 지우개도 있으니, 적어도 하나가 있다는 말은 맞습니다.
그래서 p와 q가 모두 참일 때도 p∨q는 참입니다. “적어도 하나”에는 하나인 경우와 둘 다인 경우가 함께 들어갑니다. 이번 기호 ∨는 이 뜻으로 일관되게 읽습니다.
“하나만”이라고 하면 정확히 하나를 말하고, “적어도 하나”라고 하면 둘 다 있는 경우까지 들어가네요. 그 두 표현을 구별하면 되겠어요.
맞습니다. 두 가지가 모두 참인 경우까지 포함하는 “또는”을 포괄적 또는라고 합니다. 그리고 두 명제를 ∨로 연결하는 것을 선언이라고 부릅니다. 여기서 선언은 논리학에서 쓰는 이름입니다. 익숙해질 때까지 “또는으로 연결한다”고 읽어도 좋습니다.
그러면 p∨q라고 적어 놓고 나중에 “둘 다 있으면 안 된다”는 조건을 마음대로 붙일 수는 없겠어요.
네. 둘 다인 경우를 제외하려면 그 뜻을 따로 표현해야 합니다. p∨q 하나에 담긴 내용은 적어도 하나가 참이라는 것까지입니다. 말에 담긴 조건을 기호와 함께 확인해 주세요.
언제 거짓이라고 할 수 있나요?
연필도 지우개도 없는 경우를 확인합니다.
상자 안에 연필만 들어 있는 경우부터 다시 읽어 볼까요?
p가 참이고 q는 거짓입니다. 그래도 연필이 있으니까 적어도 하나가 있다는 p∨q는 참입니다.
이번에는 지우개만 들어 있습니다. p는 거짓이고 q는 참이지요. 이때도 지우개가 있으므로 p∨q는 참입니다. 두 물건이 모두 들어 있는 경우는 앞에서 확인했듯 참입니다. 이제 두 물건이 모두 없는 경우가 남았네요.
연필도 없고 지우개도 없으면, 그 두 가지 가운데 하나라도 있다는 말은 거짓입니다. p가 거짓이고 q도 거짓일 때 p∨q가 거짓이네요.
정확합니다. 상자에 색종이가 들어 있어도 결과는 같습니다. p와 q에서 약속한 물건은 연필과 지우개입니다. 색종이가 있다는 사실은 두 내용 중 어느 것도 참으로 만들지 않습니다.
“상자에 뭐든 하나 들어 있다”와 “연필 또는 지우개가 들어 있다”를 구별해야겠어요. 글자의 뜻을 정한 이유가 여기에서도 드러나네요.
네. 진리표를 적용할 때에는 p와 q가 무엇을 말하는지 그대로 유지해야 합니다. 연필과 지우개를 확인하던 중에 기준을 “아무 물건이나”로 바꾸면 다른 내용을 판단하게 됩니다. 두 내용이 모두 거짓일 때, p∨q 전체가 거짓이라고 정리해 두세요.
진리표의 네 줄을 어떻게 읽나요?
∧와 ∨의 결과를 같은 경우에서 비교합니다.
이번에도 p와 q에 참·거짓을 넣으면 네 경우가 나오겠네요. 각 줄을 읽어 보겠습니다.
| p | q | p∨q |
|---|---|---|
| 참 | 참 | 참 |
| 참 | 거짓 | 참 |
| 거짓 | 참 | 참 |
| 거짓 | 거짓 | 거짓 |
첫째 줄은 연필과 지우개가 모두 들어 있는 경우입니다. 둘 다 있으면 적어도 하나가 있다는 말도 맞으니까 p∨q는 참입니다. 둘째 줄은 연필만 있으므로 참입니다.
셋째 줄은 지우개만 들어 있는 경우입니다. q가 참이므로 적어도 하나가 있다는 p∨q도 참입니다. 넷째 줄에는 두 물건이 모두 없습니다. p와 q가 모두 거짓이어서 p∨q가 거짓입니다.
지난 편의 ∧와 나란히 놓으면, 하나만 들어 있을 때 결과가 다르겠어요.
| p | q | p∧q | p∨q |
|---|---|---|---|
| 참 | 참 | 참 | 참 |
| 참 | 거짓 | 거짓 | 참 |
| 거짓 | 참 | 거짓 | 참 |
| 거짓 | 거짓 | 거짓 | 거짓 |
두 내용이 모두 참이면 ∧와 ∨로 연결한 결과가 모두 참입니다. 두 내용이 모두 거짓이면 결과가 모두 거짓입니다. 한쪽만 참인 둘째·셋째 줄에서 결과가 달라집니다. ∧는 둘 다 참이어야 하고, ∨는 적어도 하나가 참이면 되기 때문입니다.
같은 연필과 지우개를 보고도 “둘 다 들어 있다”와 “적어도 하나가 들어 있다”의 답은 다를 수 있네요. 무엇을 묻는지 함께 읽어야겠습니다.
“하나만 고르세요”는 어떻게 읽나요?
생활에서 쓰는 “또는”의 뜻을 안내 내용과 함께 확인합니다.
간식 고르기
간식으로 사과 또는 귤을 고르세요. 한 사람당 한 가지를 드립니다.
이 안내에서는 두 가지를 모두 고를 수 없겠네요. 한 사람당 한 가지라고 분명히 적혀 있으니까요.
맞습니다. 이 안내는 사과와 귤 가운데 정확히 하나를 고르라는 뜻입니다. “또는”이라는 말에 더해, “한 사람당 한 가지”라는 조건이 범위를 정해 줍니다. 이런 선택은 오늘 배운 ∨ 하나로 표현한 뜻과 차이가 있습니다.
생활에서 “또는”이 나오면 모두 똑같이 읽는 대신, 두 가지를 모두 해도 되는지 확인해야겠어요.
그렇습니다. 예를 들어 가상의 신청 안내에 “전화번호 또는 전자우편 주소 가운데 적어도 하나를 적어 주세요. 둘 다 적어도 됩니다”라고 쓰여 있다면, 두 가지를 모두 적는 경우도 허용됩니다. 안내가 “정확히 하나”를 요구하는지 “적어도 하나”를 요구하는지 확인하면 됩니다.
기호로 된 문제에서는 ∨의 뜻이 이미 정해져 있고, 실제 안내에서는 앞뒤 설명을 함께 읽어야 하네요.
잘 정리했습니다. 일상어의 뜻은 상황에 따라 달라질 수 있으므로, 실제 신청이나 선택에서는 해당 안내를 확인하세요. 이 연재에서 사용하는 ∨는 언제나 포괄적 또는입니다. 둘 다 참인 경우를 포함한다는 약속을 계속 유지하겠습니다.
한쪽만 확인해도 판단할 수 있나요?
이미 아는 사실로 알 수 있는 범위를 살펴봅니다.
상자에 연필이 있다는 사실을 확실히 확인했어요. 지우개는 있는지 몰라도 p∨q가 참이라고 할 수 있겠네요?
네. p가 참이면, 적어도 하나가 참이라는 조건을 이미 충족합니다. q가 참이어도 p∨q는 참이고, q가 거짓이어도 p∨q는 참입니다. ∧를 읽을 때와 달라지는 부분이지요.
이번에는 연필이 없다는 사실만 확인했습니다. 이때는 지우개가 있는지 더 살펴봐야겠어요.
맞습니다. p가 거짓이라도 q가 참이면 p∨q는 참입니다. q도 거짓이면 p∨q는 거짓입니다. 그래서 지우개에 관한 정보가 더 필요합니다. 한쪽이 거짓이라는 사실만으로 ∨ 전체를 거짓이라고 판단할 수는 없습니다.
아직 지우개를 확인하지 않았다는 이유로 q를 거짓이라고 쓰지도 않겠습니다. 모르는 것은 모른다고 남겨 두어야지요.
좋습니다. 반대로 누군가 정확하게 확인한 뒤 “연필 또는 지우개가 들어 있다”고 알려 주었다고 해 봅시다. 이것만으로 연필이 있다고 단정할 수 있을까요?
지우개만 들어 있을 수도 있으니까 연필이 있다고 단정할 수는 없습니다. 두 물건 가운데 적어도 하나가 있다는 것만 알 수 있어요.
네. p∨q가 참이라는 정보는 세 경우를 남깁니다. 연필만 있는 경우, 지우개만 있는 경우, 둘 다 있는 경우입니다. 그중 어느 경우인지는 추가 정보로 확인합니다. 전체가 참이라는 사실과 각 부분이 참이라는 사실을 구별하는 연습입니다.
부정이 함께 나오면 어떻게 읽나요?
¬가 붙은 내용도 하나씩 읽고 연결합니다.
p∨¬q를 읽어 봅시다.
p: 이 상자 안에 연필이 들어 있다.
q: 이 상자 안에 지우개가 들어 있다.
p∨¬q: 이 상자 안에 연필이 들어 있거나, 지우개가 들어 있지 않다.
첫째, p의 뜻을 읽습니다. 둘째, q를 읽고 ¬q의 뜻을 확인합니다. 셋째, p와 ¬q를 “또는”으로 연결합니다. 이번에는 p와 ¬q 가운데 적어도 하나가 참인지 판단해야 합니다.
상자에 연필도 지우개도 없다고 해 볼게요. p는 거짓입니다. q도 거짓이지만, 지우개가 없다는 ¬q는 참입니다. 그러면 p∨¬q는 참이겠어요.
정확합니다. 이 식의 오른쪽에 있는 것은 q가 아니라 ¬q입니다. 연필이 없어도 지우개가 없다는 내용이 참이므로, 두 내용 가운데 적어도 하나가 참입니다.
반대로 지우개만 들어 있으면 p는 거짓, q는 참, ¬q는 거짓입니다. 그러면 p∨¬q는 거짓이 되겠네요.
네. 기호를 무조건 왼쪽부터 소리 내는 데서 그치지 말고, ¬가 붙은 내용의 뜻부터 정확하게 읽어 주세요. p∨q와 p∨¬q는 서로 다른 내용을 말합니다. 같은 상자를 보더라도 판단 결과가 달라질 수 있습니다.
∧와 ∨를 구별하고, 그 양쪽에 실제로 어떤 내용이 놓였는지 확인하겠습니다. 기호마다 뜻을 풀어 읽으면 긴 식을 배울 때도 차근차근 따라갈 수 있겠어요.
세 가지 문제로 확인해 볼까요?
포괄적 또는의 뜻을 자기 말로 설명해 보세요.
이번 연습에서는 “하나만 참이어야 한다”는 생각이 들어가지는 않았는지 살펴보세요. 문제의 뜻 약속과 기호를 읽고, 답을 정한 이유까지 설명해 봅시다.
연습 1. p는 “이 상자 안에 연필이 들어 있다”, q는 “이 상자 안에 지우개가 들어 있다”입니다. 연필과 지우개가 모두 들어 있습니다. p∨q는 참인가요? “하나만 들어 있어야 하므로 거짓이다”라는 설명을 고쳐 보세요.
답과 풀이 확인하기
p∨q는 참입니다.
∨는 적어도 하나가 참이라는 뜻입니다. p와 q가 모두 참인 경우에도 이 조건을 충족합니다. “연필과 지우개가 모두 들어 있으므로, 적어도 하나가 들어 있다는 p∨q는 참이다”라고 설명하면 됩니다.
연습 2. 같은 p와 q를 사용합니다. 상자에는 지우개만 있습니다. p∧q와 p∨q를 각각 판단해 보세요.
답과 풀이 확인하기
p∧q는 거짓, p∨q는 참입니다.
연필이 없으므로 p는 거짓이고 지우개가 있으므로 q는 참입니다. ∧로 연결하면 두 내용이 모두 참이어야 하므로 거짓입니다. ∨로 연결하면 q 하나가 참인 것으로도 충분하므로 참입니다.
연습 3. p는 “민수는 이번 토요일에 도서관에 간다”, q는 “민수는 이번 토요일에 박물관에 간다”입니다. p∨q가 참이라는 사실만 알고 있습니다. 민수가 두 곳 모두 방문할 가능성은 남아 있나요? 도서관에 간다고 확정할 수 있나요?
답과 풀이 확인하기
두 곳 모두 방문할 가능성은 남아 있습니다. 도서관 방문은 아직 확정할 수 없습니다.
∨는 둘 다 참인 경우를 포함하므로, 민수가 토요일에 도서관과 박물관을 모두 방문하는 경우가 가능합니다. 그러나 박물관만 방문하는 경우에도 p∨q는 참입니다. 따라서 p∨q가 참이라는 정보만으로 p가 참이라고 확정할 수 없습니다. 이 문제의 민수와 일정은 가상 사례입니다.
p∨q는 “p와 q 가운데 적어도 하나가 참”이라고 읽겠습니다. 둘 다 참인 경우도 포함하고, 둘 다 거짓일 때 전체가 거짓이라는 것을 알았어요.
좋습니다. 지금까지 명제의 참·거짓, 글자의 뜻, 부정, ‘그리고’, ‘또는’을 배웠습니다. 각 내용을 읽을 때 글자의 뜻 확인 → 연결 기호 확인 → 경우에 맞게 판단 → 원래 말로 설명하는 과정을 이어가 보세요. 지금까지의 다섯 편을 다시 읽으며, 헷갈렸던 예시를 자기 말로 설명해 보는 것도 좋겠습니다.
오늘 익힌 내용을 어떻게 설명할까요?
예시를 하나 정해서 설명해 보세요. 다시 생각해 보고 싶은 질문도 함께 적을 수 있습니다.
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참고한 논리학 자료
2개 자료개념의 정의와 기호의 뜻을 아래 자료로 확인했습니다. 대화와 생활 예시는 학습을 위해 작성했습니다.
01Open Logic Project, forall x: Calgary — 5. Connectives
연언과 포괄적 선언의 뜻, 일상어의 순서·선택 표현과 논리 기호의 차이를 확인했습니다. 이 글의 대화·상자·안내문·연습 문제는 학습을 위해 새로 구성했습니다.
원문 확인02Stanford, Introduction to Logic — Chapter 2. Propositional Logic
두 명제의 참·거짓 조합과 ∧·∨의 진리표를 확인했습니다. 이 글에서는 참·거짓을 한글로 표시하고 각 경우의 이유를 설명했습니다.
원문 확인기초 논리학 · 제5편
‘또는’에는 둘 다 포함되나요?