조건문은 언제 참이고, 왜 그렇게 판단하나요?

그럼요. 오늘은 “p이면 q”를 열 가지 질문으로 나누어 읽겠습니다. 먼저 글자의 뜻을 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. 글자를 정해 놓으면, 뒤에서 헷갈릴 때마다 원래 뜻으로 돌아가 확인할 수 있습니다.

마지막 부분을 조금 고쳐 볼까요? q도 “이 카드의 뒷면이 파란색이다”라는 내용 전체입니다. p와 q는 각각 참인지 거짓인지 따질 수 있는 하나의 명제를 나타냅니다. 2편에서 배운 방식 그대로입니다.

첫째, 왼쪽 p를 “이 카드의 앞면에 별이 있다”로 읽습니다. 둘째, 그 뒤에 “면”을 붙입니다. 셋째, 오른쪽 q를 “이 카드의 뒷면이 파란색이다”로 읽습니다. 합치면 “이 카드의 앞면에 별이 있으면, 뒷면이 파란색이다”가 됩니다.

이때 →의 왼쪽에 놓인 p를 전건, 오른쪽의 q를 후건이라고 부릅니다. 처음에는 각각 “조건으로 제시한 내용”과 “그 조건에서 성립한다고 말한 내용”으로 읽어 주세요. 전건·후건이라는 이름은 원인·결과나 시간상 먼저·나중을 뜻하지 않습니다. [1]

조건문이 참이라고 알려 주는 것만으로는 그 두 사실을 모두 확정할 수 없습니다. 조건문은 p가 성립할 경우 q가 성립한다는 조건을 제시합니다. 실제로 이 카드에 별이 있는지는 따로 확인해야 합니다. p와 q를 모두 사실이라고 주장할 때에는 앞에서 배운 p∧q를 씁니다.

먼저 앞면에 별이 있는 카드를 찾습니다. 그 카드의 뒷면을 보았더니 파란색이 아닙니다. 이 경우에는 “별이 있으면 파란색이다”라는 말이 맞지 않습니다. 조건으로 제시한 내용은 성립했는데, 성립한다고 말한 내용은 성립하지 않았기 때문입니다.

네. 전건 p도 참이고 후건 q도 참일 때 p→q는 참입니다. 별이 있는 경우에 파란색이라는 내용까지 맞으니까요. 그리고 고전 명제논리에서는 p가 참이고 q가 거짓일 때에만 p→q를 거짓으로 정합니다. 나머지 세 경우는 참입니다. [2]

첫째 줄은 별이 있고 파란색인 경우입니다. 둘째 줄은 별이 있는데 파란색이 아닌 경우입니다. 셋째 줄은 별이 없고 파란색인 경우입니다. 넷째 줄은 별도 없고 파란색도 아닌 경우입니다. 표를 읽을 때에는 p와 q가 무엇을 뜻하는지 매번 다시 대입해 보세요.

그 질문이 조건문을 배우는 데 아주 중요합니다. 다음 절에서 충분히 살펴보겠습니다. 지금은 “별이 있음·파란색이 아님”이라는 한 조합이 조건문을 거짓으로 만든다는 점을 먼저 정확히 잡아 주세요.

각 줄은 별개의 가상 경우입니다. 한 카드의 색이 차례로 변했다는 뜻이 아닙니다. 먼저 고른 카드가 어느 조합인지 알아낸 다음, 그 줄에서 조건문의 값을 읽는 것입니다.

일상의 검사표에서는 “해당 없음”이라는 칸을 둘 수 있습니다. 이번에 배우는 고전 명제논리는 각 명제의 값을 참과 거짓 두 가지로 정합니다. 그리고 →는 “p는 참인데 q는 거짓인 경우”를 제외하는 뜻으로 정합니다. p가 거짓이면 그 제외할 조합에 해당하지 않으므로, 전체 값이 참이 됩니다.

그 둘은 따로 보아야 합니다. 앞면에 별이 없어도 뒷면은 파란색일 수 있고 빨간색일 수도 있습니다. p→q 전체가 참이라는 판단에서 q가 참이라는 결론을 바로 꺼낼 수는 없습니다. 넷째 줄을 보세요. p→q는 참이지만 q는 거짓입니다. 전체와 부분은 서로 다른 명제입니다.

앞에서 배운 ∨와 ¬로 다시 써 보겠습니다. p→q는 ¬p∨q와 모든 경우에 같은 값을 갖습니다. 카드의 말로 풀면 “앞면에 별이 없거나, 뒷면이 파란색이다”입니다. 여기서 또는은 5편에서 배운 ‘적어도 하나’라는 뜻입니다.

첫째, 별이 없다고 확인했습니다. 그러면 ¬p는 참입니다. 둘째, ¬p∨q는 적어도 한쪽이 참이면 참입니다. 이미 ¬p가 참이므로 q가 어느 값이든 전체가 참입니다. 이것이 전건이 거짓인 두 줄을 계산하는 방법입니다.

수학의 예도 하나 보겠습니다. 정수에 관한 “4의 배수이면 짝수이다”는 참인 규칙입니다. 정수 3을 넣으면 “3이 4의 배수이면 3은 짝수이다”가 됩니다. 전건과 후건이 모두 거짓이지요. 그렇다고 3이 그 규칙의 반례가 되지는 않습니다. 규칙을 어기는 수를 찾으려면 4의 배수이면서 짝수가 아닌 수를 찾아야 합니다. 이런 식으로 규칙과 그 개별 경우를 다룰 때 실질조건문이 유용합니다.

반대로 별이 있다면 ¬p는 거짓입니다. 그때 ¬p∨q가 참이 되려면 q가 참이어야 합니다. 별이 있는 경우에는 파란색인지 확인해야 한다는 조건이 그대로 남습니다. 이 규칙을 따르면 p가 참인 경우와 거짓인 경우를 한 가지 방식으로 일관되게 계산할 수 있습니다.

네. 다만 반례를 아직 못 찾았다는 사실과 이 카드에 별이 없다고 확인한 사실은 구별해 주세요. 카드 앞뒷면을 보지도 않고 “반례를 못 찾았으니 참”이라고 단정할 수는 없습니다. 지금 설명에서는 별이 없다는 사실을 실제로 확인했기 때문에 해당 카드의 조건문 값을 계산한 것입니다.

네. q가 참인 줄을 찾아보세요. p가 참일 때도 p→q는 참이고, p가 거짓일 때도 p→q는 참입니다. q가 참이면 “p는 참인데 q는 거짓”이라는 조합이 생길 수 없기 때문입니다.

실질조건문의 값만 따지면 그런 경우가 생깁니다. 카드의 p와 q는 잠시 그대로 두고, 다른 두 글자 u와 v로 예를 만들어 보겠습니다.

그 질문이 자연스럽습니다. 대화에서는 보통 앞뒤의 관련성이나 설명할 이유도 기대하기 때문입니다. 그러나 →의 진리표에는 관련성·원인·설명력을 판정하는 칸이 없습니다. p와 q의 참·거짓만 받아 전체의 참·거짓을 정합니다.

“전건이 거짓이면 전체가 참이다”와 “후건이 참이면 전체가 참이다”는 성질은 오래 논의되어 왔습니다. 이를 실질함축의 역설이라고 부르기도 합니다. 여기서 역설은 일상의 직관과 어긋나 낯설다는 뜻으로 쓰이며, 진리표가 참과 거짓을 동시에 주는 모순이라는 뜻은 아닙니다. [3]

인과관계를 주장하려면 그 관계를 뒷받침하는 별도 정보가 필요합니다. 원래 카드 예로 돌아가 봅시다. 별이 있는 카드마다 파란색이라고 해도, 별무늬가 물감을 만들어 냈다는 결론은 나오지 않습니다. 제작자가 별과 색을 함께 골랐을 수도 있습니다. →는 그 제작 과정까지 알려 주지 않습니다.

맞습니다. 그리고 이 특집의 판단 대상은 첫 번째입니다. 실제 주장을 검토할 때에는 조건 관계가 성립하는지와 왜 성립하는지, 어떤 맥락에서 말했는지를 각각 살펴야 합니다. 기호를 정확히 쓰는 일과 설명을 충분히 하는 일은 함께 필요합니다.

일상에서 중요한 정도를 비교하는 이름으로 생각하면 헷갈릴 수 있습니다. p→q가 성립한다고 받아들인 범위에서 두 가지 질문을 해 보겠습니다. 첫 번째 질문은 “p가 참이라고 알면 q도 참이라고 판단할 수 있나요?”입니다.

바로 그 뜻에서 p는 q의 충분조건입니다. p가 성립한다는 정보가 q를 판단하는 데 충분하다는 것입니다. 여기에는 p가 q를 성립시키는 유일한 경우라는 뜻은 들어 있지 않습니다.

좋습니다. 두 번째 질문은 “q가 거짓인데도 p가 참일 수 있나요?”입니다. 파란색이 아닌데 별이 있다면 p→q를 어깁니다. 그래서 p→q를 지키는 경우에는 q가 성립해야 p도 성립할 수 있습니다. 이런 뜻에서 q는 p의 필요조건입니다.

가상의 체험관 안내를 보겠습니다. “이번 체험은 예약한 사람만 참가할 수 있습니다.” 여기서는 안내가 참가 자격의 조건을 말한다고 정하겠습니다. r을 ‘이 사람은 예약했다’, s를 ‘이 사람은 참가 자격이 있다’로 약속합니다. 안내는 s→r입니다. 참가 자격이 있으려면 예약이 필요하다는 뜻입니다.

안내는 예약을 필수 요건으로 정했습니다. 예약 외에도 정원·연령 같은 다른 요건이 있을 가능성은 남아 있습니다. 예약하지 않은 사람이 자격을 갖는 경우를 제외한 것이지, 예약한 사람 모두에게 자격을 보장한 것은 아닙니다. 예약만으로 충분하다고 하려면 “예약한 사람은 모두 참가 자격을 얻습니다”라는 내용이 더 필요합니다.

“A only if B”도 같은 방식으로 읽습니다. “A가 성립하려면 B가 꼭 필요하다”이므로 A→B입니다. 영어 if라는 단어의 위치만 보지 말고, 무엇이 무엇에 필요한지 확인해 주세요. “A if B”는 “B이면 A”이므로 B→A입니다. [1]

조건문은 방향을 확인해야 합니다. p→q를 q→p로 바꾸면 역이라고 부릅니다. 두 식이 같은 값을 갖는 경우도 있지만, 모든 경우에 같은 값을 갖지는 않습니다. 카드 한 장으로 차이를 확인해 보겠습니다.

그렇습니다. 파란색이라는 사실에서 별까지 결론 내리면, 방금 본 파란 카드가 반례가 됩니다. p→q와 q를 알고 p라고 결론 내리는 추론을 후건 긍정의 오류라고 합니다. 어려운 이름보다 먼저 “파란색만 확인해서는 별의 유무를 결정하지 못한다”는 이유를 기억해 주세요.

p→q를 ¬p→¬q로 바꾸면 이라고 부릅니다. 방금 본 별 없는 파란 카드를 다시 보세요. ¬p는 참입니다. 별이 없으니까요. 그런데 ¬q는 거짓입니다. 실제로 뒷면이 파란색이니까요. 따라서 이 카드에서는 ¬p→¬q도 거짓입니다.

정확히 그 부분에서 새 조건을 보탠 것입니다. p→q와 ¬p를 알고 ¬q라고 결론 내리는 것을 전건 부정의 오류라고 합니다. 전건이 성립하지 않을 때 후건이 어떻게 되는지는 원래 조건문 하나가 결정해 주지 않습니다.

그렇게까지 말하면 범위를 넘습니다. 어떤 실제 내용은 원래 방향과 반대 방향이 모두 성립할 수 있습니다. 다만 원래 조건문이 참이라는 사실만으로 역이나 이까지 참이라고 보장할 수 없다는 뜻입니다. 두 방향이 모두 성립한다는 내용은 다음 7편의 쌍조건문에서 자세히 살펴봅니다.

원래 조건문 p→q에서 순서를 바꾸고 양쪽을 각각 부정하면 ¬q→¬p가 됩니다. 이것을 대우라고 부릅니다. 카드의 말로 읽으면 “뒷면이 파란색이 아니면 앞면에 별이 없다”입니다.

“별이 있으면 파란색이다”라는 조건이 맞다고 합시다. 그런데 지금 고른 카드의 뒷면이 빨간색입니다. 이 카드의 앞면에 별이 있을 수 있을까요?

그렇습니다. 원래 조건을 참으로 유지하려면 그 빨간 카드에는 별이 없어야 합니다. 그래서 “파란색이 아니면 별이 없다”를 얻습니다. 이것이 대우를 읽는 핵심입니다.

이렇게 p→q와 ¬q에서 ¬p를 얻는 추론을 후건 부정이라고 합니다. 방금 전의 ‘후건 긍정의 오류’와 구별해 주세요. q가 참이면 p의 값을 정할 수 없었지만, q가 거짓이면 p도 거짓이라고 판단할 수 있습니다. 물론 p→q가 참이라는 전제가 함께 있어야 합니다. [8]

고전 명제논리에서는 네 경우 모두 값이 같습니다. 다음 표에서 마지막 두 칸을 한 줄씩 비교해 보세요.

둘째 줄을 특히 보겠습니다. p는 참이고 q는 거짓입니다. 그러면 ¬q는 참, ¬p는 거짓입니다. 대우에서도 전건은 참인데 후건은 거짓이므로 전체가 거짓입니다. 나머지 세 줄에서는 원래 조건문과 대우가 모두 참입니다. 이렇게 모든 참·거짓 배정에서 값이 같은 관계를 논리적 동치라고 합니다.

맞습니다. 그런 관찰이 정확하다면 처음의 조건문이 그 카드에 대해 거짓이라는 뜻입니다. 추론을 적용할 때에는 전제로 삼은 조건문이 정말 성립하는지 살펴야 합니다. 사실을 관찰한 결과와 규칙에 관한 믿음이 부딪치면, 어느 전제를 고쳐야 하는지 검토합니다.

먼저 두 식을 따로 적어 봅시다. 조건문 전체를 부정하는 식은 ¬(p→q)입니다. 방금 말씀하신 “별이 있으면 파란색이 아니다”는 p→¬q입니다. ¬가 적용되는 범위가 다릅니다.

전체를 부정한다는 것은 원래 조건문이 거짓이라고 말하는 것입니다. p→q가 거짓인 경우가 언제였나요?

그래서 ¬(p→q)는 p∧¬q와 같은 값을 갖습니다. 별이 있다는 사실과 파란색이 아니라는 사실을 함께 말해야 합니다. “별이 있으면”이라는 조건을 다시 붙이는 대신, 그 조건을 어기는 경우를 직접 말하는 것입니다.

별이 없는 카드를 생각해 보세요. p가 거짓이면 p→q도 참이고 p→¬q도 참입니다. 원래 식과 그것의 부정이 동시에 참일 수는 없으므로, p→¬q는 원래 식 전체의 부정이 아닙니다. 이처럼 실제 한 경우를 넣어 확인하면 괄호와 부정의 차이가 선명해집니다.

그때는 ‘모든 카드’라는 범위까지 살펴야 합니다. 그 전체 주장을 거짓으로 만드는 데에는 별이 있으면서 파란색이 아닌 카드가 그 대상들 가운데 적어도 한 장 있으면 됩니다. 나머지 카드가 어떤 모양·색인지는 그 반례 한 장의 역할을 바꾸지 않습니다. 한 카드에 관한 조건문과 모든 카드에 관한 주장을 구별한 이유가 여기에 있습니다.

그 말만으로 그 사람의 경험을 확정할 수는 없습니다. 일상에서는 “노력만으로 성공을 보장할 수 없다”는 일반적 주장이나 인과 해석을 거부하는 뜻으로 말할 수 있습니다. ¬(p→q)=p∧¬q라는 계산은 이미 실질조건문으로 정확히 정한 명제 전체를 부정할 때 적용합니다. 자연어의 발언을 그 식으로 옮겨도 되는지는 먼저 뜻과 대상 범위를 확인해야 합니다. [9]

넷째 줄을 다시 읽어 볼까요? p가 거짓이고 q도 거짓인데 p→q는 참이었습니다. 이 한 줄이 조건문 하나만으로 q를 결론 내릴 수 없다는 것을 보여 줍니다. q를 얻으려면 어떤 정보가 더 필요한지 살펴봅시다.

이 추론을 전건 긍정이라고 부릅니다. 첫째 전제는 p가 참인 경우 q가 거짓일 수 없도록 합니다. 둘째 전제는 지금 그 p가 참이라고 알려 줍니다. 두 정보를 함께 쓰면 q가 참이어야 합니다.

p가 거짓이라는 정보와 q가 참이라는 결론은 구별해야 합니다. “이 카드에 별이 없다”를 알고 있어도 뒷면이 파란색인지는 여전히 모를 수 있습니다. 이때 얻을 수 있는 것은 진리표에 따른 p→q 전체의 참이지, q 자체의 참이 아닙니다. →를 떼고 후건만 가져올 수 있는 조건을 방금 확인한 것입니다.

논리학에서는 이 둘도 구별합니다. 지금 한 경우에서 p→q가 참인지는 그 경우의 p와 q의 값으로 정합니다. 반면 p로부터 q가 논리적으로 따라 나오는지는 p가 참인 가능한 모든 참·거짓 배정에서 q도 참인지 묻습니다. 검사하는 범위가 다릅니다. [4]

우리 카드의 별과 색은 독립적으로 정할 수 있었습니다. 따라서 p가 참이고 q가 거짓인 ‘별 있는 빨간 카드’가 가능합니다. p라는 정보 하나로는 q가 논리적으로 따라 나오지 않습니다. 현재 고른 다른 카드에서 p→q가 우연히 참이라고 해서 그 가능성이 없어지는 것은 아닙니다.

네. 어떤 전제들을 함께 사용했는지를 확인하는 습관이 중요합니다. “별이 있다”만 썼는지, “별이 있으면 파란색이다”까지 썼는지에 따라 가능한 결론이 달라집니다.

그렇습니다. 추론 형식이 올바르다는 것은 전제들이 모두 참이면 결론도 참으로 유지된다는 뜻입니다. 전제가 현실에 맞는지는 별도로 확인해야 합니다. 제품 설명이 부정확하거나 카드 색을 잘못 보았다면, 그 전제부터 다시 살펴야 합니다. 논리 규칙이 부정확한 관찰을 자동으로 고쳐 주는 것은 아닙니다.

그런 말에서는 실제로 일어난 사실의 참·거짓만으로 충분하지 않습니다. 우리가 상상한 상황에서 장치가 어떻게 작동했을지를 묻고 있기 때문입니다. 예를 들어 기능을 정확히 정해 둔 가상 장난감으로 생각해 봅시다.

맞습니다. 이런 가정에 관한 조건문을 흔히 반사실 조건문이라고 부릅니다. ‘실제와 다른 상황이었다면 어땠을까’를 묻는 용법이 대표적입니다. 이 부류의 모든 조건문이 반드시 거짓인 전건을 갖는다고 정의하는 것은 아니지만, 지금 사례는 실제로 일어나지 않은 일을 가정하고 있습니다. 이런 판단은 실질조건문의 진리표 하나로 대신할 수 없습니다. [5] [7]

확률에 관한 정보도 구별해야 합니다. p→q의 값은 참 또는 거짓입니다. “p인 경우 가운데 q인 경우가 얼마나 되나”는 비율을 묻는 질문입니다. 두 질문이 실제로 얼마나 다른지 작은 카드 묶음으로 확인해 보겠습니다.

첫 번째는 모든 카드 가운데 실질조건문이 참인 카드의 비율입니다. 두 번째는 별 있는 카드로 범위를 좁힌 뒤 그중 파란 카드의 비율입니다. 두 번째처럼 조건을 주었을 때의 확률을 조건부확률이라고 합니다. → 전체의 참일 확률과 조건부확률을 같은 수로 취급하면 안 됩니다. [6]

또 첫 번째 수가 90%라고 해서 “이 묶음의 모든 카드는 별이 있으면 파란색이다”가 참이 되는 것도 아닙니다. 별 있는 빨간 카드 1장이 그 전체 주장에 대한 반례입니다. 개별 카드의 값, 전체 묶음에 대한 주장, 확률을 각각 무엇을 묻는지에 맞추어 살펴야 합니다.

먼저 두 내용을 정확히 정합니다. 다음으로 그 말이 “이 조건이 성립한 채 저 내용이 거짓인 경우를 제외한다”는 뜻인지 확인합니다. 그 뜻으로 정한 경우에는 →의 진리표와 추론 규칙을 적용할 수 있습니다. 원인을 묻고 있다면 인과관계의 근거를, 가정을 묻고 있다면 그 상황에서 유지할 조건을, 가능성이 얼마나 높은지 묻고 있다면 확률에 관한 정보를 함께 살펴봅니다.

다음 편에서는 두 방향을 함께 말하는 쌍조건문을 배웁니다. “p이면 q”에 “q이면 p”까지 더하면 무엇이 달라질까요? 오늘 확인한 네 가지 경우를 그대로 가져가 하나씩 비교해 보겠습니다.