쌍조건문은 언제 참인가요?

네. 새 기호를 익힐 때도 글자의 뜻부터 정하겠습니다. 정수 번호와 색깔 테두리가 있는 가상 카드를 생각해 보세요. 번호와 테두리 색은 독립적으로 고를 수 있습니다. 짝수에 파란 테두리를 그릴 수도 있고, 홀수에 파란 테두리를 그릴 수도 있습니다. 지금 살펴보는 카드 한 장에 대해 다음과 같이 약속합니다.

좋습니다. 번호가 3이고 테두리가 파란 카드는 어떨까요? p는 거짓이고 q는 참입니다. 앞에서 배운 실질조건문의 규칙에 따르면 p→q는 참입니다. “짝수이면 파랑”은 파란 테두리가 붙은 홀수까지 금지하는 내용은 담고 있지 않습니다.

맞습니다. 지금부터 그 두 방향을 따로 읽어 보겠습니다. 각 카드에서 성립하는지 확인한 다음, 카드 전체에 적용할 규칙은 모든 해당 카드에 대해 확인해야 한다는 점도 함께 구별하겠습니다.

첫째 방향은 p→q입니다. 글자의 뜻을 넣어 읽어 볼까요?

둘째 방향은 q→p입니다. 이번에는 무엇을 말하나요?

그 두 조건문이 모두 성립한다고 말하려면 ∧로 연결합니다. (p→q)∧(q→p)입니다. 괄호 안에 각각의 조건문을 넣고, 그 둘을 “그리고”로 연결했지요. 이것을 간단하게 p↔q라고 씁니다. 이름은 쌍조건문입니다.

네. 두 방향을 함께 담으므로 p↔q와 q↔p는 같은 참·거짓을 가집니다. 수학 글에서는 “p일 필요충분조건은 q이다”처럼 쓰기도 합니다. 영어로는 p if and only if q라고 하며, if and only if를 iff로 줄여 쓰기도 합니다. 오늘은 그 표현마다 두 화살표를 직접 써서 확인해 보세요.

그럴 때는 ↔를 두 조건문으로 나누면 됩니다. 먼저 p→q를 봅시다. “번호가 짝수이면 테두리는 파란색이다”입니다. 이 카드는 짝수가 아닙니다. p가 거짓이므로 p→q는 참으로 계산합니다. p는 참인데 q가 거짓인 경우에 해당하지 않지요.

맞습니다. 두 조건문이 모두 참이므로 그것들을 ∧로 연결한 결과도 참입니다. 그래서 p와 q가 모두 거짓일 때 p↔q는 참입니다. 짝수라고 하면서 파란 테두리를 빠뜨리지도 않았고, 파란 테두리라고 하면서 홀수 번호를 붙이지도 않았습니다.

그렇습니다. 참이라고 판단한 것은 두 조건을 함께 표현한 p↔q 전체입니다. 각 부분이 참인지와 그 부분들을 연결한 결과가 참인지는 나누어 읽어야 합니다.

이 카드 한 장의 평가만으로는 전체 규칙을 확정할 수 없습니다. 다른 카드에 짝수·노랑이나 홀수·파랑의 조합이 있는지 더 확인해야 합니다. 진리표의 한 줄을 판단하는 일과 여러 대상 전체에 규칙이 성립하는지 확인하는 일은 검토 범위가 다릅니다.

첫째 줄은 p와 q가 모두 참인 경우입니다. 번호 2, 파란 테두리인 카드가 해당합니다. p→q도 참이고 q→p도 참이므로 p↔q는 참입니다.

셋째 줄은 홀수 번호에 파란 테두리인 경우입니다. p는 거짓이고 q는 참입니다. 이번에는 q→p가 거짓입니다. 파란색이라는 조건은 성립했는데 짝수라는 내용은 성립하지 않으니까요. 따라서 이때도 p↔q는 거짓입니다.

네. 표를 한마디로 정리하면 p와 q의 참·거짓이 같으면 참, 다르면 거짓입니다. 다만 “같다”는 말이 두 물건이나 색깔이 같다는 뜻으로 바뀌지 않도록 주의하세요. 지금 비교한 것은 두 내용의 참·거짓입니다.

맞습니다. 진리표는 기호에 참과 거짓을 배정한 네 조합을 보여 줍니다. 어떤 다른 사례에서는 정해 둔 뜻 때문에 특정 조합이 불가능할 수도 있습니다. 그때도 연결 기호 ↔의 계산 규칙 자체는 이 표와 같습니다.

이번 절에서는 새로운 가상 사례를 쓰겠습니다. 참가증 발급 기록을 읽는 상황입니다. 글자의 뜻도 새로 정합니다.

좋습니다. p only if q는 p→q입니다. q가 p의 성립에 필요한 조건이라고 알려 줍니다. 이 안내만으로는 신청서를 낸 모든 사람에게 참가증이 발급되었다는 반대 방향까지 확인할 수 없습니다. 신청서 검토가 끝나지 않아 아직 발급되지 않은 사람도 있을 수 있지요.

맞습니다. “신청서를 제출했다면 참가증이 발급되었다”는 방향을 추가로 확인해야 p↔q를 쓸 수 있습니다. 영어 if and only if에는 두 방향이 함께 들어 있지만, only if에는 한 방향만 들어 있습니다.

일상 대화에서는 맥락상 더 많은 뜻을 기대하기도 합니다. 정확히 기호로 옮길 때에는 “p이면 q인가?”, “q이면 p인가?”를 따로 물어보세요. 원래 안내가 어느 방향까지 보장하는지 확인한 뒤 화살표를 정하면 됩니다. “만”이라는 글자 하나를 보고 자동으로 ↔를 붙이지 않습니다.

처음의 카드 약속으로 돌아갑니다. p는 “이 카드 번호는 짝수이다”, q는 “이 카드 테두리는 파란색이다”입니다. 이제 p↔q라는 규칙이 성립한다고 주어진 상황에서 생각해 봅시다.

네. 이 규칙 아래에서는 p가 참이라는 정보가 q를 참이라고 판단하기에 충분합니다. 같은 화살표를 q 쪽에서 보면, p가 성립할 때 q도 성립해야 하므로 q는 p의 필요조건입니다.

정확합니다. 두 방향을 함께 놓으면 p와 q는 서로에게 필요조건이면서 충분조건입니다. 그래서 필요충분조건이라고 합니다. 이름을 먼저 외우기보다 “이쪽이 참이면 저쪽도 참인가?”, “저쪽이 참이면 이쪽도 참인가?”를 차례로 확인하면 이해하기 쉽습니다.

맞습니다. 조건 관계와 실제 p의 참·거짓은 구별합니다. 먼저 p↔q가 성립한다는 정보가 있고, 여기에 p가 참이라는 정보가 더해지면 q가 참이라고 판단합니다. 아무 추가 정보 없이 두 부분을 모두 참으로 바꾸어 읽지는 않습니다.

고전 명제논리의 진리표로 평가하면 그렇습니다. 새로운 가상 상황을 보겠습니다. 오늘 지수는 파란 셔츠를 입었고, 도서관은 오전 9시에 열었습니다. 이 두 사실이 확인되었다고 가정합니다.

네. 진릿값이 같다는 사실만으로 뜻이 같거나 한 일이 다른 일의 원인이라고 할 수는 없습니다. 지수의 옷차림 때문에 도서관이 열렸다는 근거는 주어지지 않았습니다. 또 내일 다른 셔츠를 입어도 도서관은 오전 9시에 열 수 있습니다.

그렇습니다. 쌍조건문 기호는 참·거짓을 연결하는 규칙을 정해 줍니다. 인과관계를 설명하려면 원인에 대한 별도의 근거가 필요하고, 두 표현이 같은 뜻인지 판단하려면 그 표현의 의미도 검토해야 합니다. 기호를 읽은 결과와 실제 세계에 대한 설명의 근거를 함께 살펴보세요.

검토한 범위를 확인해야 합니다. 특정 카드 한 장에서 p와 q가 모두 참이라는 이유로 p↔q를 참이라고 판단할 수 있습니다. 그러나 논리적으로 동치라는 말은 비교하는 두 식이 가능한 모든 참·거짓 배정에서 같은 값을 가진다는 뜻입니다.

맞습니다. 반면에 앞에서 배운 p∧q와 q∧p는 네 줄 모두에서 값이 같습니다. 어느 쪽부터 적든 두 내용이 모두 참인 경우에만 참이기 때문입니다. 이런 식들은 명제논리에서 논리적으로 동치입니다. 두 식을 ↔로 연결하면 모든 줄에서 참이 됩니다.

정의는 어떤 표현을 어떤 뜻으로 쓸지 정합니다. 예를 들어 정수에 대해 “짝수”를 “2의 정수배인 수”라는 뜻으로 정의할 수 있습니다. 그 뜻을 사용하면 “이 정수는 짝수이다”와 “이 정수는 2의 정수배이다”는 같은 수에 대해 함께 성립합니다.

네. 정의를 알고 있기 때문에 두 내용을 연결할 수 있습니다. 두 내용을 그저 독립 기호 p와 q로만 적으면, 명제논리의 연결 기호에는 “짝수”의 뜻이 들어 있지 않습니다. 정의에 근거한 관계인지, 연결 기호의 형태만으로 모든 경우에 성립하는 관계인지를 구별해 주세요. 새 용어를 정의하는 일, 관찰된 사실을 보고하는 일, 모든 배정을 검사하는 일은 각각 하는 일이 다릅니다.

다시 처음의 카드 뜻을 쓰겠습니다. p는 짝수 번호, q는 파란 테두리라는 내용입니다. p↔q가 참이라는 정보만 들었습니다. 어떤 두 경우가 남나요?

여기에 “카드 번호가 짝수이다”라는 정보를 더하면요?

이번에는 p↔q가 참이고 번호가 홀수라고 주어졌습니다. p는 거짓입니다. 그러면 q도 거짓이어야 합니다. 테두리는 파란색이 아니지요. q가 참이라면 q→p가 거짓이 되어 처음 주어진 p↔q와 어긋납니다.

맞습니다. 다만 전체가 거짓이라는 정보만으로 어느 쪽이 참인지는 정해지지 않습니다. p가 참이고 q가 거짓이거나, p가 거짓이고 q가 참일 수 있습니다. 알고 있는 정보를 하나씩 표시하고, 그 정보에 맞는 표의 줄을 찾아보세요.

각 문제의 뜻 약속을 읽어 주세요. 답을 정한 뒤 어떤 화살표를 확인했는지, 어떤 진리표의 줄을 사용했는지 설명해 봅시다. 답과 풀이 확인하기를 누르면 해설을 읽을 수 있습니다.

좋습니다. 다음 편에서는 부정을 깊게 살펴봅니다. p↔q 전체를 부정하면 어떤 경우가 남는지, “모두”나 “적어도 하나”가 들어간 말을 어떻게 정확하게 부정하는지도 차례로 확인하겠습니다.