결론이 참이면 논증도 올바른가요?

결론의 참은 꼭 살펴야 할 질문입니다. 여기에 한 가지 질문을 더해 봅시다. 가상의 카드 놀이에서 친구가 “이 카드 뒷면이 파란색이니까 앞면에 별도 있겠네”라고 말했습니다. 카드를 뒤집어 보니 실제로 별이 있었습니다.

네. “앞면에 별이 있다”는 결론은 실제로 참입니다. 그런데 파란색이라는 사실만으로 별이 있다는 판단이 보장될까요? 별이 없는 파란 카드도 만들 수 있다면, 같은 이유로 틀린 결론을 얻을 수도 있습니다.

그렇습니다. 오늘은 명제의 참·거짓과 논증의 타당성을 구별합니다. 이어서 타당한 논증에 실제로 참인 전제들이 갖추어졌는지 묻는 건전성까지 살펴보겠습니다.

이번에는 연역 논증의 기준으로 씁니다. 전제들이 모두 참인 경우에는 결론도 반드시 참인 논증을 타당하다고 합니다. 같은 뜻을 검사하기 편하게 말하면, “전제들은 모두 참인데 결론만 거짓인 경우가 없다”입니다. [2]

그 경우는 논증의 반례가 됩니다. 전제를 모두 받아들이고도 결론을 받아들일 필요가 없는 경우를 보여 주었으니까요. 그런 반례가 있으면 논증은 부당하다고 합니다. 여기서 부당하다는 말은 도덕적으로 나쁘다는 평가가 아니라, 연역적 타당성이 없다는 뜻입니다.

명제논리의 형식을 검사할 때에는 글자들에 가능한 참·거짓을 넣어 보고 연결사의 값을 계산합니다. 중요한 것은 모든 전제의 값이 함께 참인 경우입니다. 그때 결론이 거짓이 될 수 있는지 묻습니다. 아직 현실의 어느 카드인지 몰라도 이 관계를 살필 수 있습니다. [3]

먼저 카드의 말로 하나씩 읽겠습니다. 첫째 전제는 “앞면에 별이 있으면 뒷면이 파란색이다”입니다. 둘째 전제는 “앞면에 별이 있다”입니다. 결론은 “뒷면이 파란색이다”입니다.

네. 이렇게 전제들을 함께 받아들였을 때 결론이 반드시 따라온다는 것을 확인했습니다. 이것이 전건 긍정의 타당성입니다. 카드가 실제로 어떤 모양인지 맞히는 일을 잠시 떠나, 두 전제와 결론의 관계를 검사한 것입니다.

그 경우에는 둘째 전제가 빠졌습니다. 별도 없고 파란색도 아닌 카드에서는 p→q는 참이지만 q는 거짓입니다. 방금 확인한 타당한 논증에서는 p가 참이라는 전제까지 사용했습니다. 어떤 전제를 사용했는지 빠뜨리지 않고 적어야 합니다.

그 카드의 값을 직접 대입해 봅시다. p는 참이고 q는 거짓입니다. 그러면 “별이 있으면 파란색이다”라는 p→q도 거짓입니다. 그 실제 경우에는 첫째 전제가 맞지 않습니다.

정확합니다. 전건 긍정의 형식은 여전히 타당합니다. 타당성이 보장하는 것은 전제들이 모두 참일 때의 결론입니다. 전제에 거짓이 들어 있다면 그 보장을 이용해 실제 결론이 참이라고 확정할 수 없습니다.

결론이 참인 경우도 있습니다. 별이 없는 파란 카드를 보세요. p→q는 참, p는 거짓, q는 참입니다. 같은 타당한 형식에 거짓인 둘째 전제가 들어 있지만 결론은 실제로 참입니다. 거짓인 전제를 포함한다는 사실만으로 결론의 참·거짓을 정할 수는 없습니다.

한 카드에서 모두 참이었다는 사실만으로는 충분하지 않습니다. 이번에는 추론의 방향을 바꾸겠습니다. p→q와 q를 전제로 p를 결론 내리는 논증입니다. “별이 있으면 파란색이다. 파란색이다. 따라서 별이 있다”라고 읽습니다.

별이 없는 파란 카드를 생각해 보세요. p는 거짓, q는 참입니다. p→q는 참이고 q도 참인데 결론 p는 거짓입니다. 두 전제를 모두 지키면서 결론만 거짓인 경우를 찾았습니다. 따라서 이 논증은 부당합니다.

맞습니다. 6편에서 배운 후건 긍정의 오류입니다. “부당하다”는 말은 모든 카드에서 결론이 거짓이라는 뜻이 아닙니다. 전제들이 모두 참이어도 결론이 거짓일 수 있다는 뜻입니다.

특정한 조합은 부당함을 바로 보여 줍니다. 실제 전제들이 모두 참이고 실제 결론이 거짓이라면, 그 실제 경우 자체가 반례입니다. 방금 타당성의 정의에서 제외한 경우를 찾은 것이지요.

네. 타당함은 반례가 없다는 판단이고, 부당함은 반례가 있다는 판단입니다. 그래서 모든 조건을 지킨 반례 하나는 부당함을 보여 주지만, 결론까지 참인 경우 하나는 타당함을 모두 확인해 주지 못합니다.

그 실제 경우에서는 “전제들이 모두 참일 때”라는 조건을 충족하지 않았습니다. 따라서 그 경우의 결론만 보고 추론 형식을 평가할 수 없습니다. 타당한 전건 긍정에도, 부당한 후건 긍정에도 거짓인 전제가 들어갈 수 있습니다.

논증이 타당하고, 모든 전제가 실제로 참이어야 합니다. 이 두 조건을 갖춘 논증을 건전한 논증이라고 합니다. 타당성은 전제와 결론의 관계를 검사하고, 전제의 참은 실제 내용이 맞는지 검사합니다. [2]

맞습니다. 앞에서 배운 ∧의 뜻을 사용했습니다. 이 예시를 기호로 보려면 새 글자의 뜻부터 정합니다. a는 “6은 2의 배수이다”, b는 “6은 3의 배수이다”라고 합시다. 전제는 a∧b, 결론은 a입니다. 카드에 쓰던 p와 q의 뜻을 바꾸지 않았습니다.

네. 전제들이 모두 참이라는 조건을 실제로 갖추었고, 타당한 논증은 그 경우 결론도 참이도록 보장합니다. 그래서 건전한 논증의 결론은 참입니다. 결론이 참이라는 사실만으로 거꾸로 건전성을 판단할 수는 없습니다.

전건 긍정이라는 형식의 타당성은 확인할 수 있습니다. 그러나 그 사람이 말한 전제들이 실제로 참인지는 아직 확인하지 않았습니다. 따라서 “형식은 타당하며, 건전성은 전제들의 참을 확인한 뒤 판단한다”고 적을 수 있습니다.

그렇습니다. 아직 모른다는 우리의 정보 상태이고, 거짓이다는 그 내용에 대한 판단입니다. 실제로 전제가 참일 수도 거짓일 수도 있는 상황에서 확인하지 못했다는 이유만으로 거짓을 선택하지 않습니다.

네. 건전하려면 먼저 타당해야 합니다. 타당하지 않다는 사실을 이미 확인했다면 두 조건을 모두 충족하지 못합니다. 반대로 형식이 타당하다는 사실만으로는 남은 조건인 전제들의 참이 자동으로 확인되지 않습니다.

p는 카드에 별이 있다는 뜻, q는 뒷면이 파란색이라는 뜻을 유지합니다. 전제들을 모두 참으로 받아들일 때 결론도 따라오는지 비교하겠습니다.

첫째 전제 p→q를 참이라고 받아들입니다. 둘째 전제 ¬q도 참이므로 q는 거짓입니다. 이때 p까지 참이면 p→q가 거짓이 되어 첫째 전제와 맞지 않습니다. 따라서 두 전제가 모두 참인 경우에는 p가 거짓이고, 결론 ¬p가 참이어야 합니다.

별이 없고 뒷면은 파란 카드를 넣어 보세요. p는 거짓, q는 참입니다. 셋째 줄에서는 p→q와 q가 참인데 결론 p는 거짓입니다. 넷째 줄에서는 p→q와 ¬p가 참인데 결론 ¬q는 거짓입니다. 같은 조합이 서로 다른 두 논증의 반례가 됩니다.

네. “이 논증은 잘못됐다”에서 한 걸음 더 나아가, 어느 전제가 왜 틀렸는지 또는 전제들이 참이어도 결론이 틀릴 수 있는 어떤 경우가 있는지를 말하면 됩니다.

정확합니다. 또 부당한 추론을 지적했다고 해서 결론 자체가 거짓이라고 증명한 것도 아닙니다. 그 결론을 뒷받침하는 다른 좋은 근거가 있을 수 있습니다. 내가 반박한 대상이 전제인지, 추론인지, 결론인지 분명히 적어 주세요.

그럴 수 있습니다. p→q와 q에서 p를 얻으려는 논증에 q→p까지 참인 전제로 보태면, q와 q→p로 p를 얻을 수 있습니다. 하지만 추가한 전제가 실제로 참인지 새롭게 확인해야 합니다. 원문을 정리하는 단계와 전제를 보태 논증을 고치는 단계를 구별해야 합니다.

고전 명제논리에서 중요한 질문입니다. 같은 카드의 같은 시점에 대해 p와 ¬p를 모두 전제로 삼았다고 합시다. “별이 있다”와 “별이 없다”를 함께 전제로 둔 것입니다.

맞습니다. 그래서 이 논증은 고전 명제논리의 정의에 따르면 타당합니다. 전제들이 모두 참인 경우가 없어서 반례도 없는 이런 상황을 공허하게 타당하다고 설명하기도 합니다. 결론 자리에 다른 명제를 놓아도 같은 이유가 적용됩니다. [3]

실제 판단에서는 건전성까지 확인해야 합니다. p와 ¬p가 같은 뜻·대상·시점을 가리킨다면 두 전제가 실제로 모두 참일 수 없습니다. 따라서 이 논증은 건전할 수 없습니다. 그 전제들로 뒷면이 실제로 파란색이라고 믿을 근거를 확보한 것이 아닙니다.

여기서는 “타당하다”의 정의가 어떻게 적용되는지만 확인해 두세요. 여러 전제를 함께 참으로 둘 수 있는지, 서로 충돌하는 조건은 어떻게 찾는지는 15편에서 충분히 다룹니다. 지금은 타당성과 건전성을 따로 확인해야 한다는 이유가 하나 더 생겼다고 이해하면 됩니다.

이번에는 바로 이름부터 붙이지 말고, 전제와 결론을 적은 다음 판단해 보세요. “전제가 실제로 참인가요?”, “전제들이 모두 참인 채 결론만 거짓일 수 있나요?”, “두 조건을 함께 갖추었나요?”를 차례로 물으면 됩니다.

자신의 풀이를 한 번 더 읽어 보세요. 전제의 사실을 말하면서 타당성이라는 이름을 붙이지 않았는지, 반례를 찾으면서 전제 하나를 거짓으로 만들지는 않았는지 확인하면 됩니다. 다음 편에서는 진리표를 직접 만들어 여러 경우를 빠뜨리지 않고 살펴보겠습니다.