전제에서 결론까지 한 단계씩 어떻게 추론하나요?

그래서 이번에는 전제에서 무엇을 근거로 결론을 얻는지 한 줄씩 적겠습니다. 예를 들어 “연필이 있으면 지우개가 있다”와 “연필이 있다”를 전제로 삼으면 지우개가 있다는 결론을 얻을 수 있습니다. 이 과정 자체를 기록하는 겁니다.

우선은 주어진 전제들을 받아들였을 때 무엇이 따라오는지 살펴봅니다. 이 수업의 가상 조건을 실제 상자에 관한 관찰 결과라고 생각하지 마세요. 전제의 실제 참까지 확인하는 일은 건전성을 판단할 때 따로 필요합니다.

맞습니다. 여러 추론을 규칙에 맞게 이어 적은 과정을 도출 또는 증명이라고 부릅니다. 이번 편은 주어진 전제와 그로부터 얻은 내용만 사용합니다. 일부러 임시 가정을 더했다가 거두는 방법은 다음 편에서 배우겠습니다.

p→q와 p에서 q를 얻는 과정을 표로 적어 볼까요?

네. 줄 번호는 어떤 내용을 사용했는지 찾기 위한 표시입니다. 도출한 줄마다 사용한 앞선 줄과 규칙을 함께 적어 주세요. 결론을 먼저 마음속에 떠올릴 수는 있지만, 그 자체를 새 전제인 것처럼 끼워 넣을 수는 없습니다.

가능합니다. 두 식이 앞에 주어져 있다는 것이 중요합니다. 서로 바로 붙어 있을 필요도 없습니다. 다만 근거에는 실제 사용한 줄 번호를 정확히 적습니다. 어떤 줄을 두 번 사용해도 되고, 모든 전제를 반드시 한 번씩 사용해야 하는 것도 아닙니다.

조건문 p→q와 그 전건 p를 함께 가지고 후건 q를 얻는 형태입니다. 이 규칙을 MP라고 쓰거나, 조건문을 사용하는 규칙이라는 뜻에서 → 제거라고 쓰는 교재도 있습니다. 여기서는 쉬운 한글 이름을 쓰겠습니다.

바로 그 이유로 타당합니다. 하지만 조건문 p→q 하나만으로 q를 얻지는 못합니다. p와 q가 둘 다 거짓이면 p→q는 참이지만 q는 거짓이지요.

이번에는 p→q와 ¬q가 전제입니다. 연필이 있으면 지우개가 있다는 조건이 성립하고, 지우개는 없다고 했습니다. 연필이 있을 수 있을까요?

이 형태를 후건 부정, 또는 MT라고 부릅니다. 반면 p→q와 ¬p에서 ¬q를 얻는 것은 일반적으로 타당하지 않습니다. 연필이 없다는 전제는 지우개까지 없다고 말하지 않으니까요.

맞습니다. 규칙 이름을 외울 때에도 어떤 자리에 부정이 붙었는지 살펴보세요. 후건이 부정되었는지, 전건이 부정되었는지를 바꾸어 읽으면 다른 추론이 됩니다.

네. 연필과 지우개가 모두 있다는 정보에서 각 물건의 존재를 따로 얻을 수 있습니다. 이를 연언 제거라고 합니다. 반대로 p와 q를 각각 가지고 있으면 p∧q로 묶을 수 있고, 이를 연언 도입이라고 합니다.

그렇습니다. 연언 도입에는 양쪽에 놓을 내용을 각각 사용할 수 있어야 합니다. 또 연언 제거는 그 식 전체의 주연결사가 ∧일 때 적용합니다. p∨(q∧r)에서 안쪽에 ∧가 보인다는 이유만으로 q를 바로 꺼낼 수는 없습니다.

연필이 있다는 전제 p를 가지고 “연필이 있거나 지우개가 있다”라고 말할 수 있을까요?

이것을 선언 도입이라고 합니다. p에서 p∨q를 얻을 수도 있고 q∨p를 얻을 수도 있습니다. ∨ 양쪽 가운데 이미 확보한 내용이 하나 있으면 됩니다.

아닙니다. 새로 얻은 것은 더 넓은 조건인 p∨q입니다. q 자체가 참이라는 결론은 얻지 않았습니다. 연필이 있는 상자는 지우개가 있든 없든 “연필 또는 지우개가 있는 상자”에 포함된다고 생각하면 됩니다.

맞습니다. p∨q가 참이려면 적어도 하나는 참이어야 합니다. p가 거짓이라는 전제가 있으므로 q가 참이어야 합니다. 이 형태를 선언 삼단논법, 또는 DS라고 부릅니다.

지금의 ∨는 둘 다 참인 경우도 포함합니다. 연필과 지우개가 모두 있는 상자는 p∨q와 p를 모두 만족시키지만 ¬q는 거짓입니다. 한쪽을 긍정했다고 다른 쪽을 부정할 수는 없습니다.

p↔q와 p가 있으면 무엇을 얻을까요?

그렇습니다. 이를 쌍조건문 제거라고 부릅니다. 이미 배운 동치를 써서 두 조건문을 먼저 드러내는 방법도 있습니다. 오늘은 근거를 자세히 보이도록 그 방법으로 적어 보겠습니다.

맞습니다. 또 p↔q와 ¬q가 주어지면 p→q를 꺼내 후건 부정으로 ¬p를 얻을 수 있습니다. 어느 풀이든 실제로 사용할 수 있는 식과 그 이유를 남깁니다.

같은 규칙을 쓸 수 있습니다. 규칙의 일반적인 모양을 A→B, A에서 B로 적어 봅시다. 여기서 A와 B는 임의의 식 전체를 대신 부르는 이름입니다. A에 p∧q, B에 r을 넣으면 (p∧q)→r과 p∧q에서 r을 얻습니다.

정확합니다. 후건 부정도 B 전체의 부정이 필요합니다. p→(q∨r)에서 후건은 q∨r이므로, 후건 부정에 필요한 식은 ¬(q∨r)입니다. ¬q 하나만으로는 부족합니다.

전제가 p∧q와 q→r이고, 원하는 결론이 r∧p라고 해 봅시다. 먼저 어떤 정보를 꺼낼 수 있나요?

5줄의 r은 원래 전제가 아니지만, 전제들에서 정당하게 얻었습니다. 그래서 6줄에 사용할 수 있습니다. 이렇게 결론이 다음 추론의 근거가 되면 긴 논증을 작은 단계로 나누어 볼 수 있습니다.

네. 이 편처럼 임시 가정이 없는 도출에서는 앞서 확보한 줄을 뒤에서 계속 사용할 수 있습니다. 다음 편에서 임시 가정을 도입하면 그 가정에 의존하는 줄의 사용 범위도 따로 관리하게 됩니다.

앞에서부터 한 줄씩 살펴보세요. 다음 풀이에서 처음으로 근거가 부족해진 줄을 찾아봅시다.

맞습니다. 4줄의 규칙 모양 자체는 p에서 p∨r로 가므로 맞습니다. 하지만 그 근거인 3줄을 정당하게 얻지 못했습니다. 따라서 이 전체 도출은 결론을 증명하지 못합니다. 먼저 3줄을 정당화할 수 있는지 검토해야 합니다.

그렇습니다. 또 이 풀이가 잘못됐다는 사실과, 어떤 방법으로도 해당 결론을 얻을 수 없다는 판단은 구별합니다. 여기서는 p=거짓, q=참, r=거짓이라는 반례까지 찾을 수 있으므로 원래 논증도 부당하다고 말할 수 있습니다.

좋은 방법입니다. 결론이 q∧r라면 q와 r을 각각 얻어서 묶겠다고 계획할 수 있습니다. 다만 필요하다고 적은 목표는 이미 증명한 줄이 아닙니다. 실제 도출에서는 앞선 근거를 사용해 차례로 확보해야 합니다.

네. 여기서 다루는 고전 명제논리의 도출은 그런 방식입니다. 짧은 풀이가 편할 수는 있지만, 줄 수를 줄이려고 서로 다른 규칙을 한 줄에 숨기지는 마세요. 근거를 확인할 수 있도록 적는 것이 먼저입니다.

마지막으로 p∨q, p→r, ¬r이 전제이고, 결론은 q∧¬p입니다. 글자의 뜻은 처음의 상자 약속을 그대로 사용합니다. 무엇부터 얻을 수 있을까요?

좋습니다. 공책이 없다는 전제로부터 먼저 연필이 없다는 결론을 얻고, 연필이나 지우개 중 적어도 하나는 있다는 전제와 함께 지우개가 있다고 추론했습니다. 마지막에 두 결과를 함께 적었습니다.

맞습니다. 이번 편에서는 전건 긍정·후건 부정, 연언 도입·제거, 선언 도입·선언 삼단논법과 앞서 확인한 동치 변형을 사용했습니다. 교재마다 기본 규칙과 추가 규칙을 나누는 방식은 다를 수 있습니다. 풀이를 제출할 때에는 그 수업에서 허용한 규칙과 표기를 따릅니다.

다음 편에서는 조건문 자체를 결론으로 얻어 보겠습니다. “만약 p라면”이라고 잠시 가정하고 q까지 도달한 뒤, 그 가정을 어떻게 마무리해야 p→q를 올바르게 얻는지 살펴보겠습니다.