술어논리, 기호 하나부터 읽어 볼까요?

이번에는 그 내용 안으로 들어가 보겠습니다. 누구에 관한 말인가요? 그 아이에 관해 무엇을 말하나요? 이 두 질문을 나누어 읽고, 각각을 기호로 적어 볼 겁니다. 앞서 만든 아라·보라·찬우의 수업을 여기서 함께 이어가겠습니다.

이번 수업의 대상은 아라·보라·찬우, 서로 다른 세 아이 전부로 정하겠습니다. 우리가 이야기할 대상의 범위를 논의 영역이라고 합니다. 여기서 “모두”는 이 세 아이 모두를 가리킵니다.

그렇습니다. 보라도 영역에 들어 있습니다. 모자를 썼는지는 각 아이에 대해 확인할 내용입니다. 중급 과정에서도 기호의 뜻과 대상의 범위를 정한 뒤, 그 내용이 참인지 거짓인지 살펴보겠습니다.

“아라는 모자를 쓰고 있다”를 읽어 볼까요? 누구에 관한 말인가요?

이름 자리에 아라를 넣으면 아라에 관한 말이 됩니다. 보라를 넣으면 보라에 관한 말이 되지요. 이렇게 대상의 성질이나 상태를 나타내는 표현을 술어라고 합니다. 지금은 한 아이의 상태를 나타내는 술어부터 익히겠습니다.

여기서 술어는 “________는 모자를 쓰고 있다”라는 표현입니다. “모자”는 물건을 가리키는 말이고, “모자를 쓰고 있다”는 그 아이의 상태를 말합니다. 이름이 들어갈 빈자리가 하나 있다는 점도 함께 살펴보세요.

이 장면에서는 그렇습니다. 앞으로 두 대상 사이의 관계도 술어로 나타내게 됩니다. 지금은 이름 하나가 들어가는 자리를 충분히 익혀 보겠습니다.

글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 이 수업에서는 아라의 이름을 소문자 a, 보라의 이름을 b, 찬우의 이름을 c로 적겠습니다. 대문자 P는 “________는 모자를 쓰고 있다”라는 술어를 나타내기로 하겠습니다.

P는 아이에 관해 어떤 말을 할지 나타내는 술어 기호입니다. a는 누구를 가리키는지 알려 주는 이름 기호이고요. 이런 이름 기호를 개체상수라고도 합니다. 용어가 나오면 “약속한 한 대상을 가리키는 이름”으로 읽으면 됩니다.

지금 정한 수업 안에서는 a가 아라를 가리킵니다. 다른 문제에서는 a가 다른 사람이나 물건을 가리키도록 정할 수 있습니다. P도 다른 문제에서는 “책을 읽고 있다” 같은 뜻으로 쓰일 수 있습니다. 그래서 새 문제를 읽을 때마다 글자의 뜻을 먼저 확인합니다.

아라가 모자를 쓰고 있다는 내용을 P(a)로 적겠습니다. 글자가 짧아졌으니, 각 부분을 더 천천히 읽어 보겠습니다.

괄호 안의 a가 누구인지 확인합니다. a는 아라입니다. 그다음 P의 뜻을 붙입니다. “아라는 모자를 쓰고 있다.” 소리로 기호를 짚는 일과 그 내용을 우리말로 읽는 일을 함께 해 보세요.

P(b)는 “보라는 모자를 쓰고 있다”라는 내용을 규칙에 맞게 적은 식입니다. 처음 장면에서는 보라가 모자를 쓰지 않았으므로 값이 거짓입니다. 기호가 어떤 내용을 나타내는지를 읽은 다음, 그 내용이 장면과 맞는지를 따로 확인합니다.

a는 계속 아라를 가리킵니다. P도 계속 “________는 모자를 쓰고 있다”를 뜻합니다. 아라의 모습이 바뀌면 P(a)가 그 모습에 맞는지, 곧 참·거짓이 달라집니다.

네. P의 뜻을 정하는 약속은 무엇을 확인할지 알려 줍니다. P(a)가 참이라는 정보는 아라가 그 조건을 충족한다고 알려 줍니다. 먼저 뜻을 정했다고 해서 그 주장이 자동으로 참이 되는 것은 아닙니다.

그때 소문자 x를 사용하겠습니다. “엑스”라고 읽습니다. x는 이 영역의 대상을 배정받는 변수입니다. 지금은 x에 아라, 보라, 찬우 가운데 누구든 배정할 수 있습니다.

보라에게도 배정할 수 있습니다. 먼저 영역에서 대상을 고르고, 그다음 P(x)가 그 대상에 대해 참인지 확인합니다. 모자를 쓴 대상만 골라 놓으면 전체 영역을 제대로 살펴볼 수 없습니다.

그렇습니다. 이 예에서는 배정에 따라 값이 달라집니다. P(x)에 이렇게 남아 있는 x를 자유변수라고 부릅니다. 뒤에서 ∀x나 ∃x가 붙으면 그 변수를 어떻게 살펴볼지 식 안에 나타낼 수 있습니다. 자유변수와 기호가 영향을 미치는 범위는 뒤의 회차에서 자세히 다루겠습니다.

이제 “이 세 아이 모두 모자를 쓰고 있다”를 적어 보겠습니다. ∀는 “모든”이라고 읽는 전칭양화사입니다. ∀x는 정한 영역의 어느 대상을 x에 배정하든 뒤의 내용이 성립한다고 말합니다.

∀x는 어떤 배정을 살펴볼지 정하고, P(x)는 그 배정에서 바로 그 아이에 관해 말합니다. 아라를 살필 때에는 P(x)도 아라의 이야기입니다. 보라를 살필 때에는 P(x)도 보라의 이야기가 됩니다.

네. ∀xP(x)는 처음 장면에서 거짓입니다. “모두 그렇다”는 주장에 맞지 않는 대상인 보라를 이 주장의 반례라고 합니다. 여기서는 세 아이가 영역의 전부이므로 P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)가 참인지 확인하는 것과 같은 결과를 얻습니다.

그렇습니다. “이 세 아이 중 모자를 쓴 아이가 적어도 한 명 있다”를 ∃xP(x)로 적겠습니다. ∃는 존재양화사이며, 여기서는 “적어도 한 아이가 있어서”라고 읽으면 됩니다.

네. 찬우도 그 조건에 맞습니다. 따라서 처음 장면에서 ∃xP(x)는 참입니다. 조건을 충족하는 대상을 하나 제시하면 존재 주장을 뒷받침할 수 있습니다.

됩니다. 적어도 한 명은 한 명, 두 명, 세 명인 경우를 모두 포함합니다. 이 세 아이 중 모자를 쓴 아이가 한 명도 없을 때에만 ∃xP(x)가 거짓입니다. 이 식만으로 정확한 인원까지 알 수는 없습니다.

∀와 ∃처럼 모든 대상에 대해 말하는지, 적어도 한 대상에 대해 말하는지를 나타내는 기호를 양화사라고 합니다. 책에서 “어떤 아이는 모자를 쓰고 있다”를 만나면, 이 수업에서는 “적어도 한 명 있다”라는 뜻으로 읽어 보겠습니다.

이제 실험용 장면에서 모자를 직접 바꾸어 보겠습니다. a, b, c가 가리키는 아이와 P의 뜻은 그대로 두고, 각 아이가 모자를 썼는지만 바꿉니다. 전체 영역은 끝까지 같은 세 아이입니다.

맞습니다. 이 실험의 현재 설정은 처음 장면의 설명이나 뒤의 연습문제 조건을 바꾸지 않습니다. 버튼을 누르기 전에 ∀xP(x)와 ∃xP(x)가 각각 참일지 예상해 보세요.

아라에게 모자 있음·없음 두 경우가 있습니다. 각각에서 보라에게 두 경우가 있고, 다시 각각에서 찬우에게 두 경우가 있습니다. 이 실험에서는 세 아이의 모자 상태를 자유롭게 정할 수 있으므로 2 × 2 × 2 = 8가지입니다. 아래 표의 각 행은 서로 독립적인 한 장면입니다.

그렇습니다. 1번에서도 세 아이는 영역에 그대로 있습니다. 모자를 쓴 아이의 수가 0명인 것입니다. 영역에 있는 대상의 수와 P를 만족하는 대상의 수를 나누어 읽어 보세요.

처음 장면으로 돌아가 보겠습니다. 우리는 아라가 모자를 쓰고 있다는 것을 압니다. 이 사실은 P(a)입니다. 여기서 모자를 쓴 아이가 적어도 한 명 있다는 결론을 얻을 수 있을까요?

어떤 정보를 근거로 다른 내용을 이끌어 내는 일을 추론이라고 했지요. 이 경우에는 아라가 영역 안의 대상이고, 그 아라가 P를 만족하므로 존재를 말할 수 있습니다. 이런 추론을 존재 도입이라고 부릅니다. 규칙의 사용법은 뒤의 회차에서 자세히 연습하겠습니다.

아라가 모자를 썼다는 사실만으로 충분합니다. 찬우도 썼다는 것은 추가로 확인할 수 있는 사실입니다. 또 P(c)가 참임을 알고 있다면 찬우를 근거로 같은 존재 결론을 얻을 수 있습니다. 어느 경우에도 P의 뜻과 영역을 유지해야 합니다.

이번에는 처음 장면을 보지 못했다고 해 보겠습니다. 같은 세 아이의 새 장면에 대해 “모자를 쓴 아이가 적어도 한 명 있다”는 정보만 받았습니다. 그 정보에 맞는 모습을 두 가지 적어 보겠습니다.

그렇습니다. 장면 나가 이 역방향 추론의 반례입니다. 존재한다는 정보만으로 특정한 아이인 아라를 지목할 수는 없습니다. 아라가 썼다고 결론 내리려면 아라에 관한 추가 정보가 필요합니다.

그 정보만 들었다면 아라가 썼는지는 아직 알 수 없다고 답합니다. 장면 가에서는 P(a)가 참이고, 장면 나에서는 거짓입니다. 반례를 하나 찾았다는 것은 결론이 반드시 따라오지 않는다는 뜻입니다. 그 결론이 모든 장면에서 거짓이라는 뜻까지 담지는 않습니다.

실험의 현재 설정은 잠시 내려두고 문제에 적힌 조건으로 풀어 보겠습니다. “처음 장면”은 아라와 찬우가 모자를 쓰고 보라는 쓰지 않은 모습입니다. 새 장면은 문제에서 따로 설명하겠습니다.

좋습니다. 읽은 기호를 원래 말로 풀고, 왜 참인지 또는 왜 거짓인지 아이 한 명의 모습이나 전체 장면으로 설명해 보세요. 글자의 뜻을 먼저 정하고, 그 뜻을 유지하며 대상의 상태를 확인하는 방법을 다음 편에서도 계속 사용하겠습니다.

다음 편에서는 ∀가 들어간 주장을 더 자세히 읽겠습니다. “이 영역의 모두”와 “그 가운데 학생인 모두”를 어떻게 표현하는지, 반례는 어떻게 찾는지 하나씩 살펴보겠습니다. 이번 편의 세 아이를 떠올리며 이어가면 됩니다.