언제나 참인 식과 함께 참일 수 있는 말은 어떻게 구별하나요?

좋은 질문입니다. 오늘은 두 가지를 살펴봅니다. 첫째, 한 식이 여러 배정에서 어떤 값을 갖는지입니다. 둘째, 여러 조건이 같은 배정에서 모두 참이 될 수 있는지입니다. 앞에서 쓰던 상자 예시로 시작하겠습니다.

글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. p에 참을 배정하면 연필이 있는 상태, 거짓을 배정하면 연필이 없는 상태를 생각합니다. 실제 상자를 아직 열어 보지 않았더라도 가능한 상태들을 비교할 수 있습니다.

네. 예를 들어 p∨¬p는 p가 참일 때와 거짓일 때의 값을 모두 살핍니다. 반면 p∨q와 ¬p가 함께 참일 수 있는지 물으면, 두 식을 한꺼번에 만족시키는 상자의 상태를 찾습니다.

p∨¬p를 우리말로 읽어 볼까요?

어느 배정에서도 전체가 참입니다. 이렇게 모든 진리값 배정에서 참인 식을 항진식이라고 합니다. 여기서 “언제나”는 여러 날 관찰했다는 뜻이 아니라, 관련된 글자에 참·거짓을 어떻게 배정하든 성립한다는 뜻입니다.

(p∧q)→p를 살펴보겠습니다. “연필과 지우개가 모두 있으면 연필이 있다”입니다. 연필과 지우개가 모두 있는 경우에는 후건 p도 참입니다. 나머지 경우에는 조건문의 전건 p∧q가 거짓입니다.

맞습니다. 분류할 때에는 식 전체의 값을 봅니다. 각 부분의 열은 전체를 계산하기 위해 적은 중간 결과입니다.

이번에는 p∧¬p입니다. 무엇을 함께 주장하나요?

이렇게 모든 진리값 배정에서 거짓인 식을 모순식이라고 합니다. 부정이 포함된 모든 식을 모순식이라고 부르는 것은 아닙니다. ¬p는 p가 거짓인 배정에서 참이지요.

그렇습니다. p에는 참인 배정도 있습니다. 모순식을 확인하려면 관련된 모든 배정에서 거짓이라는 점을 보여야 합니다.

이제 p→q를 분류해 보겠습니다. 네 배정에서 어떤 값을 가졌나요?

이처럼 참인 배정도 있고 거짓인 배정도 있는 식을 우연식이라고 합니다. 여기서 “우연”은 운이 좋다거나 무작위라는 뜻으로 쓰지 않습니다. 식의 구조만으로 전체의 참·거짓이 한쪽으로 고정되지 않는다는 뜻입니다.

네. p∧q나 p∨q도 각각 참인 배정과 거짓인 배정이 있습니다. 이 기초 과정에서 다루는 식은 항진식·모순식·우연식 가운데 하나로 분류할 수 있습니다.

네. 지금의 고전 명제논리에서는 p에 참 또는 거짓이 주어집니다. 어느 쪽이든 p∨¬p는 참입니다. 이 형태를 배중률이라고 부릅니다. 그렇다고 p가 참인지까지 알아낸 것은 아닙니다.

맞습니다. “아직 모른다”는 우리의 정보 상태를 말합니다. 이 수업의 진리표에 새로운 셋째 값을 넣는다는 뜻은 아닙니다. 실제로 연필이 있는지 알고 싶으면 상자 안을 확인해야 합니다.

두 시점의 내용을 따로 적으면 “오전에는 있다”와 “오후에는 없다”가 함께 참일 수 있습니다. 그때는 같은 p와 그 부정을 결합한 것이 아닙니다. 이 편의 p는 같은 시점의 상태를 나타내도록 정했습니다.

p∧q를 참으로 만들 수 있을까요?

이처럼 어떤 배정에서 식이 참이 될 수 있으면 그 식이 충족 가능하다고 합니다. 식에 적힌 조건을 만족시키는 값이 있다는 뜻입니다.

네. “모든 배정에서 참”과 “적어도 한 배정에서 참”은 요구하는 범위가 다릅니다. 항진식은 어느 배정에서도 참이므로 충족 가능합니다. 우연식도 참인 배정이 있으므로 충족 가능합니다. 모순식은 참인 배정이 없습니다.

좋습니다. p=거짓, q=참이라는 한 배정이 두 조건을 함께 만족시킵니다. 이럴 때 여러 식이 함께 충족 가능하다고 합니다. 지금의 의미론적 판단에서는 조건들이 서로 양립 가능하다고도 말할 수 있습니다.

네. 같은 배정이 모든 조건을 참으로 만들어야 합니다. 또한 가능한 배정을 찾았다는 것은 실제 상자도 그 상태라고 확인했다는 뜻과 구별해 주세요. 실제 상태는 관찰로 확인합니다.

맞습니다. 같은 q를 참과 거짓으로 동시에 정할 수 없으므로 세 조건을 함께 만족시키는 배정은 없습니다. 표에서도 확인해 보겠습니다.

그렇습니다. 그런데 p 자체는 참이 될 수 있고, p→q도 참인 배정이 있으며, ¬q도 참인 배정이 있습니다. 각각의 식이 충족 가능하다는 사실만으로 전체 묶음이 함께 충족 가능한 것은 아닙니다.

네. 여러 조건을 검토할 때에는 바로 그 조합을 살펴야 합니다. 처음의 세 조건 가운데 어떤 것을 바꿔야 할지는 실제 상황과 근거를 확인해 결정합니다.

어느 조건부터 읽으면 값을 바로 정할 수 있을까요?

그 상태에서 둘째 조건 p→r을 참으로 유지하려면 p는 어떤 값이어야 하나요?

이제 첫째 조건을 읽어 보세요.

r=참인 나머지 네 배정에서는 ¬r이 거짓입니다. r=거짓인 네 배정은 방금 표에서 모두 검토했습니다. 따라서 세 글자의 여덟 배정 어디에도 네 조건을 함께 만족시키는 경우가 없습니다.

타당성을 판단하려면 어떤 결론을 얻으려는지도 함께 보아야 합니다. 전제 p∨q와 ¬p를 다시 사용하겠습니다. 이 둘은 p=거짓, q=참에서 함께 참입니다.

맞습니다. 나에는 p=거짓, q=참, r=거짓이라는 반례가 있습니다. 두 전제는 모두 참인데 r은 거짓입니다. 전제 묶음의 충족 가능성을 확인한 것만으로 임의의 결론이 따라오는 것은 아닙니다.

타당성의 정의를 천천히 적용해 보겠습니다. 반례가 있으려면 전제 p와 ¬p가 모두 참이고 결론 r은 거짓이어야 합니다. 그런데 p와 ¬p가 함께 참인 배정 자체가 없습니다. 따라서 반례도 없습니다.

네. 전제들을 한꺼번에 참으로 만드는 배정이 없는 논증은 어떤 결론을 붙여도 고전 명제논리의 타당성 조건을 충족합니다. 전제들이 모두 참인 경우가 비어 있어서 생기는 이 성질을 공허하게 타당하다고 설명하기도 합니다. 그러나 그 전제를 모두 실제로 참이라고 확인할 수는 없습니다.

그렇습니다. r은 여전히 참일 수도 거짓일 수도 있습니다. 타당성은 전제와 결론 사이의 조건을 평가합니다. 현실의 결론을 믿을 근거로 삼으려면 전제의 참도 확인해야 합니다. 이 논증은 전제가 함께 참일 수 없으므로 건전한 논증이 될 수 없습니다.

이런 모순이 실제 기록에서 발견되면 어느 기록의 대상·시점·뜻·관찰에 문제가 있는지 확인합니다. 결론을 마음대로 정하는 근거로 사용하지 않습니다.

p, p→q, ¬q를 모두 만족시킬 수 없다는 것을 확인했습니다. 세 조건을 ∧로 묶으면 어떻게 되나요?

네. 그런 배정이 하나도 없으므로 묶은 식 전체는 모순식입니다. 여러 조건이 함께 충족 불가능하다는 것과 그 조건을 모두 ∧로 묶은 식이 모순식이라는 것이 여기서 연결됩니다.

맞습니다. p=거짓, q=참에서 참입니다. 이번에는 타당한 논증도 한 식으로 적어 보겠습니다. 전제 p→q와 p를 ∧로 묶고, 그것을 전건으로, 결론 q를 후건으로 놓습니다. 그러면 ((p→q)∧p)→q가 됩니다.

네. 큰 조건문이 거짓이려면 전제들을 묶은 전건은 참이고 결론인 후건은 거짓이어야 합니다. 바로 반례의 조건이지요. 이 표에는 그런 줄이 없으므로 전건긍정 논증의 타당성을 한 식으로도 확인할 수 있습니다.

이제 문제에서 무엇을 묻는지부터 읽어 보세요. 한 식의 종류를 묻는지, 여러 조건을 함께 참으로 만들 수 있는지, 주어진 결론이 따라오는지를 구별합니다.

좋습니다. 기초 논리학의 첫 15편에서는 글자의 뜻을 약속하고, 식을 읽고, 전제와 결론을 찾고, 진리표와 반례로 판단하는 데까지 왔습니다. 이제 익숙한 예시 하나를 골라 직접 표를 만들고, 자기 말로 판단 이유를 설명해 보세요. 뒤에 식을 변환하고 증명하는 과정을 배울 때에도 오늘의 구별을 계속 사용하게 됩니다.