진리표를 처음부터 직접 만들 수 있나요?

오늘은 빈 종이에서 시작해 보겠습니다. 먼저 글자의 뜻을 정하고, 가능한 참·거짓 조합을 적습니다. 그다음 연결사의 뜻에 따라 값을 하나씩 계산할 겁니다. 글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요.

각 줄은 서로 따로 살펴보는 경우입니다. 첫째 줄에서는 연필이 있는 경우를, 다른 줄에서는 연필이 없는 경우를 가정할 수 있습니다. 한 줄을 계산하는 동안에는 그 줄에 적은 값을 그대로 사용합니다.

그렇습니다. 글자마다 참 또는 거짓을 정해 주는 것을 진리값 배정이라고 합니다. 이번에는 각 물건을 따로 넣거나 뺄 수 있는 상자를 골랐으므로, 각 조합을 상자의 구체적인 모습으로도 떠올릴 수 있습니다.

먼저 p와 q만 사용하겠습니다. 맨 위에 p, q라고 쓰고, p가 참인 경우부터 생각해 보세요. 그때 q는 어떤 값일 수 있나요?

이제 p가 거짓인 경우를 적어 볼까요?

p가 참인 두 경우와 거짓인 두 경우를 모두 적었습니다. 그래서 두 글자일 때는 2×2, 곧 네 줄입니다. 이 순서를 사용하면 p에는 참을 두 번, 거짓을 두 번 쓰고, q에는 참과 거짓을 번갈아 쓰면 됩니다.

다른 순서로 적어도 됩니다. 중요한 것은 네 조합을 각각 한 번씩, 빠짐없이 적는 것입니다. 연습할 때에는 같은 순서를 계속 쓰면 빠뜨린 경우를 찾기 쉽습니다.

이 식에서 서로 다른 글자는 p와 q 두 개입니다. 한 줄에서 p를 참이라고 정했다면, 식의 왼쪽 p와 괄호 안 p에 같은 참을 넣어야 합니다. p가 나타내는 뜻이 같기 때문입니다.

맞습니다. 글자가 나온 횟수 대신 종류를 세어 보세요. p→p는 p 한 종류만 있으므로 두 줄입니다. ¬p∧(p∨¬p)도 p 한 종류만 쓰므로 두 줄입니다.

이제 공책이 있다는 r을 추가하겠습니다. p와 q가 모두 참인 상자를 생각해 보세요. 공책은 어떤 상태일 수 있나요?

같은 방법을 p·q의 나머지 세 조합에도 적용해 보세요. 연필은 있고 지우개는 없는 경우, 연필은 없고 지우개는 있는 경우, 두 물건이 모두 없는 경우마다 공책이 있는 경우와 없는 경우를 나누면 됩니다.

그렇게 적으면 여덟 조합을 순서대로 만들 수 있습니다. 특히 4번에서 5번으로 넘어갈 때를 보세요. p가 거짓으로 바뀌면 q·r의 네 조합을 처음부터 한 번 더 적습니다.

먼저 전체의 구조를 읽어 봅시다. 가장 바깥 연결사, 곧 주연결사는 →입니다. 왼쪽 전체가 ¬(p∧q), 오른쪽이 r이지요. →의 값을 구하려면 양쪽의 값이 필요합니다.

구조를 읽을 때에는 바깥에서 부분을 나누었고, 값을 계산할 때에는 필요한 부분부터 완성했습니다. 이 두 과정이 연결되어 있습니다. 기호를 왼쪽에서 오른쪽으로 만나는 대로 계산하면 괄호의 범위를 놓칠 수 있습니다.

이번에는 (p∨q)∧¬r의 완전한 진리표를 만들겠습니다. 글자 약속에 맞춰 먼저 읽어 볼까요?

맞습니다. 왼쪽 p∨q와 오른쪽 ¬r을 따로 구하겠습니다. 아래 표는 앞에서 만든 세 글자 표의 1~8번 줄을 그대로 사용합니다. 예를 들어 5번은 p=거짓, q=참, r=참입니다.

그렇습니다. 이번에는 8번을 보세요. 공책이 없어서 ¬r은 참이지만, 연필과 지우개도 모두 없으므로 p∨q는 거짓입니다. ∧는 양쪽이 모두 참이어야 하므로 전체는 거짓입니다.

기호의 계산 결과를 상자의 모습으로 다시 읽었습니다. 이렇게 계산과 뜻을 함께 대조하면 연결사를 잘못 적용한 칸을 찾는 데 도움이 됩니다.

열의 위치는 우리가 정할 수 있습니다. 따라서 검토하려는 식 전체의 값을 적은 열인지 제목을 확인해야 합니다. 지금처럼 그 열을 마지막에 놓으면 찾아보기 쉽습니다. 중간 결과의 참·거짓을 전체의 값으로 잘못 읽지 않도록 주의하세요.

예를 들어 (p∧q)→p를 보겠습니다. p와 q 두 종류만 있으므로 다시 네 줄 표를 만듭니다. 이번 표도 p와 q를 참·참, 참·거짓, 거짓·참, 거짓·거짓 순서로 적겠습니다.

셋째와 넷째 줄에서도 전건은 거짓입니다. 고전 명제논리에서 조건문은 전건이 참이고 후건이 거짓일 때만 거짓이므로, 두 줄의 조건문 전체도 참입니다. [1]

정확합니다. 이렇게 모든 배정에서 식 전체가 참인 성질은 15편에서 이름을 붙여 더 살펴보겠습니다. 지금은 어떤 열을 읽어 그런 판단을 했는지 분명히 해 두세요.

이제 식 하나의 값을 구하는 일에서 논증을 판단하는 일로 나아가겠습니다. 다음 가상 문제의 전제와 결론을 읽어 볼까요?

네. 그리고 같은 줄에서는 세 식 모두에 똑같은 p·q·r의 값을 넣어야 합니다. 전제 1에 넣은 p와 결론에 넣은 p를 서로 다르게 바꾸면 같은 경우를 비교하는 일이 되지 않습니다.

맞습니다. 5번은 p가 거짓이고 q와 r이 참입니다. p→q는 전건이 거짓이므로 참, q→r은 양쪽이 참이므로 참, p→r도 참입니다. 이렇게 각 열을 독립적으로 계산합니다.

12편의 판단 기준을 다시 사용해 봅시다. 논증이 부당하다는 것을 보이려면 전제들이 모두 참인데 결론은 거짓인 경우가 있어야 합니다. 2번에서 두 전제가 모두 참인가요?

그래서 그 두 줄은 이 논증의 반례가 되지 않습니다. 이번에는 두 전제가 모두 참인 줄을 찾아보세요. [2]

따라서 이 논증은 타당합니다. 전제 두 개를 모두 참으로 만드는 어떤 배정을 골라도 결론이 참입니다. 결론 p→r 자체는 거짓인 배정도 있었지만, 두 전제를 함께 만족하는 배정에서는 거짓이 될 수 없었습니다.

맞습니다. p가 거짓인 5·7·8번도 빠뜨리지 않았다는 점을 보세요. p가 거짓이어도 두 전제 전체가 모두 참일 수 있습니다. 우리는 p 자체를 별도의 전제로 받지는 않았습니다.

이번에는 전제 두 개를 바꾸겠습니다. “연필 또는 지우개가 있습니다. 연필이 있습니다. 따라서 지우개가 없습니다.”를 판단해 보세요.

좋습니다. 이번에는 p와 q 두 글자만 쓰므로 네 줄입니다. 아래 p 열은 둘째 전제의 값이기도 합니다.

그 줄을 상자로 설명해 볼까요?

그 한 경우가 이 논증의 반례입니다. 따라서 이 논증은 부당합니다. 두 번째 줄에서 결론이 참이더라도 첫 번째 줄의 반례는 그대로 남습니다.

연결사의 뜻을 충분히 익히면 계산을 줄일 수 있습니다. 예를 들어 p∨q에서 p가 참이라고 알면 q가 어느 값이든 전체는 참입니다. p∧q에서 p가 거짓이라고 알면 전체는 거짓이고요. [3]

맞습니다. 논증을 판정할 때도 같은 생각을 쓸 수 있습니다. 어떤 줄에서 결론이 참이면 그 줄은 반례가 아닙니다. 어떤 전제 하나가 거짓이어도 그 줄은 반례가 아닙니다. 나머지 칸을 계산하지 않아도 그 줄을 반례 후보에서 제외할 수 있습니다.

반례가 한 개 있으면 부당합니다. 타당하다고 결론 내리려면 가능한 모든 배정에서 반례가 없음을 확인해야 합니다. 일부 줄을 제외했다면, 왜 반례가 될 수 없는지 근거가 있어야 합니다. 아직 확인할 후보가 남아 있으면 판정을 마치지 않은 것입니다.

먼저 같은 배정을 비교하고 있는지 확인하세요. 표의 줄 순서가 다르면 같은 줄 번호에 다른 배정이 적혀 있을 수 있습니다. p·q·r의 값이 같은 줄을 찾은 뒤 계산을 비교해야 합니다.

좋습니다. 조건문은 전건과 후건을 각각 확인하고, 부정은 어디까지 붙는지 괄호를 확인하세요. 아래 두 풀이에서 잘못된 지점을 찾아봅시다.

두 번째 오류에서는 거짓이라는 값 자체보다, 무엇을 계산했는지가 먼저 달라졌습니다. 표의 열 제목을 원래 식과 대조하는 습관도 함께 들여 보세요.

이제 빈 종이에 직접 적어 보겠습니다. p·q·r의 뜻은 계속 같은 상자 속 연필·지우개·공책입니다. 각 문제에 나오는 서로 다른 글자만 세어 표를 만들고, 답을 펼치기 전에 결과와 이유를 적어 보세요.

그렇게 전제 전체의 값과 글자 하나의 값을 구별해 읽으면 됩니다. 답이 맞았는지와 함께, 어느 배정에서 어떤 값을 확인했는지도 적어 두세요. 다른 사람이 여러분의 풀이를 따라 확인할 수 있어야 합니다.

오늘 만든 표 하나를 고르고, 처음부터 끝까지 점검해 볼까요? 첫째로 무엇을 확인하겠어요?

둘째는 계산입니다. 각 줄에서 같은 글자의 값이 계속 같고, 괄호와 부정의 범위를 지켰는지 살펴보세요. 그리고 부분식의 값에서 전체의 값을 순서대로 구했는지 확인합니다.

좋습니다. 다음 14편에서는 오늘 찾은 반례를 더 자세히 다룹니다. 전제들을 모두 유지하면서 결론이 거짓인 경우를 어떻게 떠올리는지, 그 한 경우가 논증에 대해 무엇을 알려 주는지 차근차근 살펴보겠습니다.