우리말을 어떤 순서로 기호로 옮기나요?

먼저 누가 무엇에 관해 어떤 말을 했는지 확인해 주세요. 오늘은 지금 책상 위에 놓인 상자 하나를 정하고, 그 안의 물건에 관해 말하는 가상 사례를 쓰겠습니다. 글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요.

맞습니다. 글자의 뜻을 정하는 것과 그 내용이 참이라고 가정하는 것은 구별합니다. 이번에는 연결 방식을 살펴보려고 연필·지우개·공책에 관한 내용을 각각 나눴습니다. 이렇게 분석의 출발점으로 삼아 더 나누지 않고 다루는 것을 원자명제라고 합니다.

이제부터 서로 다른 말을 하나씩 옮겨 보겠습니다. 예문을 모두 참이라고 가정하는 것은 아닙니다. 어떤 주장을 하는지 기호로 나타내는 연습입니다.

네. “연필이 들어 있다. 그리고 지우개가 들어 있다”로 나누어 읽으면 p와 q를 ∧로 연결한다는 것이 드러납니다. 이번에는 “연필이 들어 있다. 하지만 지우개는 들어 있지 않다”를 옮겨 보세요.

그렇습니다. 이 말은 연필이 있다는 내용과 지우개가 없다는 내용을 모두 주장합니다. 그 참·거짓 조건은 p∧¬q로 나타냅니다. “그러나”를 쓴 경우도 마찬가지입니다. 예상과 다르다는 느낌이나 말하는 사람의 강조까지 ∧에 담기는 것은 아닙니다.

맞습니다. p∧¬q를 쓰고 나서 p의 뜻을 “연필과 지우개가 들어 있다”로 바꾸면 전체가 다른 뜻이 됩니다. 처음 적은 글자 약속을 계속 확인해 주세요.

“연필 또는 지우개가 들어 있다”에서 적어도 하나가 있다는 뜻을 나타내려면 어떻게 쓰나요?

좋습니다. “연필과 지우개 두 종류 가운데 한 종류만 들어 있다”에는 조건이 하나 더 있습니다. 적어도 한 종류는 있어야 하고, 두 종류가 모두 있어서는 안 됩니다. 그 두 부분을 각각 써 볼까요?

네. 다른 사람이 쓴 “또는”의 뜻이 분명하지 않으면 “둘 다 들어 있어도 이 말에 맞나요?”라고 물어보세요. 대답을 확인한 뒤 알맞은 식을 고르면 됩니다.

그렇습니다. 연필이 있다는 p가 조건이고, 그 조건 아래 말하는 내용은 지우개가 있다는 q입니다. p를 화살표 왼쪽에, q를 오른쪽에 놓습니다. 이번 편에서도 →는 6편에서 배운 고전 명제논리의 실질조건문입니다.

네. 여전히 조건은 연필이 있다는 p이므로 p→q입니다. 영어로 q if p라고 써도 p가 조건입니다. 글에 먼저 나온 내용을 무조건 화살표 왼쪽에 놓으면 방향을 잘못 잡을 수 있습니다.

이 확인은 화살표 방향을 점검하는 데 도움이 됩니다. 기호가 가리키는 것은 두 내용의 참·거짓 관계입니다. 연필 때문에 지우개가 생겼다는 원인이나, 두 물건을 넣은 순서는 이 식에 들어 있지 않습니다.

“연필이 있다면, 필요한 지우개도 있어야 한다”로 풀어 보세요. 연필이 있다는 p에서 지우개가 있다는 q로 갑니다. 따라서 p→q입니다. 이 말에서 q는 p의 필요조건입니다.

그렇습니다. 필요조건을 갖추었다고 해서 연필이 있다는 것까지 보장하지는 않습니다. 그 경우 p는 거짓이고 q는 참이므로 p→q는 참입니다. 반대로 쓴 q→p는 거짓이 됩니다. 이 한 경우로 두 방향이 다르다는 것을 확인할 수 있습니다.

이번에는 상자에 관해 두 가지를 함께 말합니다. “연필이 있으면 지우개가 있다. 그리고 지우개가 있으면 연필이 있다.” 첫째 내용과 둘째 내용을 각각 써 보세요.

좋습니다. 두 방향을 함께 나타내는 p↔q로도 쓸 수 있습니다. “지우개가 있는 경우, 그리고 오직 그 경우에 연필이 있다” 또는 영어의 p if and only if q가 이 두 방향을 말합니다. 처음에는 짧게 읽기보다 화살표 두 개로 풀어 확인해 보세요.

네. 일상에서는 “~이면”이라고 말하면서 사실상 두 방향을 뜻할 때도 있습니다. 그 뜻이 불분명하면 “반대 방향도 성립한다는 뜻인가요?”라고 확인하세요. 확인한 두 방향을 먼저 적으면 ↔를 쓸 근거가 분명해집니다.

“연필이 들어 있지 않으면 지우개가 들어 있다”를 옮겨 보겠습니다. 무엇이 조건인가요?

맞습니다. 영어의 q unless p도 여기서 “p가 아니면 q”라는 뜻으로 쓰였다고 확인했다면 같은 식으로 옮깁니다. 첫째, p를 부정해서 ¬p를 만듭니다. 둘째, ¬p를 화살표 왼쪽에 놓고 q를 오른쪽에 놓습니다.

그 뜻도 포함하려는지 확인해야 합니다. ¬p→q만으로는 두 물건이 함께 있는 경우를 제외하지 않습니다. 둘 다 있으면 ¬p가 거짓이어서 이 조건문은 참입니다. “연필이 있으면 지우개가 없다”라는 p→¬q까지 뜻하는지 물어보세요. 이 추가 조건은 대우를 취하고 이중부정을 지우면 “지우개가 있으면 연필이 없다”라는 q→¬p와 같습니다.

참고로 고전 명제논리에서 ¬p→q와 p∨q는 모든 참·거짓 조합에서 결과가 같습니다. 두 식 모두 연필과 지우개가 함께 없는 경우에만 거짓입니다. 먼저 ¬p→q로 뜻을 풀어 적으면 부정이 어디에 붙었는지 확인하기 쉽습니다.

첫째, 조건인 “연필과 지우개가 모두 들어 있다”를 p∧q로 씁니다. 둘째, 그때 주장하는 “공책이 들어 있다”를 r로 씁니다. 셋째, 조건 전체를 괄호로 묶고 화살표로 연결하면 (p∧q)→r입니다.

맞습니다. 이렇게 식 전체의 구조를 정하는 가장 바깥 연결사를 주연결사라고 합니다. 위치가 종이의 맨 왼쪽이라는 뜻은 아닙니다. (p∧q)→r의 주연결사는 →이고, 그 왼쪽 부분의 연결사는 ∧입니다.

두 번째 식은 연필이 실제로 있다는 p도 주장합니다. 첫 번째 식은 조건을 말할 뿐 p 자체를 주장하지는 않습니다. 그래서 “기호는 다 넣었으니 괄호는 어디에 두어도 된다”고 생각하면 안 됩니다.

다음 두 뜻을 구별해야 합니다. 첫째는 “연필과 지우개가 모두 있거나, 공책이 있다”입니다. 둘째는 “연필이 있으며, 지우개와 공책 가운데 적어도 하나가 있다”입니다.

좋습니다. 글쓴이나 말한 사람에게 그 뜻을 확인하세요. 확인할 수 없다면 가능한 두 해석을 나란히 적고, 아직 어느 뜻인지 정해지지 않았다고 표시합니다. 기호의 계산 순서에 관한 약속이 원래 말의 의도까지 정해 주지는 않습니다.

이번에도 p는 지금 이 상자에 연필이 있다는 뜻, q는 지우개가 있다는 뜻, r은 공책이 있다는 뜻입니다. 여섯 문제를 각각 따로 풀어 보세요. 기호를 적은 뒤 우리말로 다시 읽는 것까지 해 보겠습니다.

그 순서로 연습해 주세요. 다음 편에서는 완성된 기호를 받아 우리말로 풀어 읽겠습니다. 내가 쓴 식을 직접 읽어 확인하는 데에도 같은 방법을 쓸 수 있습니다.