함께 시작해 볼까요?
기호 사전과 가장 바깥 연결사를 바탕으로 논리식을 우리말로 읽습니다. 괄호·부정·조건문의 방향을 지키며 자연스럽게 표현하고, 여섯 연습 문제로 빠뜨리거나 덧붙인 뜻을 점검합니다.
기호만 보면 내용을 알 수 있나요?
글자의 뜻을 적은 사전을 옆에 두고 읽습니다.
지난 편에서는 우리말을 기호로 옮겼어요. 이번에는 p∧¬q 같은 식을 보고 우리말로 읽는 연습이군요.
네. 기호는 어떻게 연결했는지 보여 줍니다. 무엇에 관한 내용인지는 p와 q에 어떤 뜻을 약속했는지 알아야 합니다. 글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. 이번 편은 9편의 상자 예시와 글자 약속을 이어 씁니다.
p·q·r의 뜻을 다시 확인할까요?
p: 지금 이 상자 안에 연필이 들어 있다.
q: 지금 이 상자 안에 지우개가 들어 있다.
r: 지금 이 상자 안에 공책이 들어 있다.
같은 상자의 같은 시점을 말합니다. 여러 참·거짓 조합을 가정해 비교할 때에도 각 글자의 뜻은 그대로입니다.
연필은 한 자루든 두 자루든 하나 이상 들어 있으면 p가 참입니다. q와 r도 해당 종류의 물건이 들어 있는지를 나타냅니다. 각 물건의 정확한 개수는 이 사전에 정하지 않았습니다.
| 기호 | 우선 이렇게 읽기 |
|---|---|
| ¬p | p라는 것은 사실이 아니다. |
| p∧q | p이고 q이다. |
| p∨q | p이거나 q이다. 적어도 하나가 참이다. |
| p→q | p이면 q이다. |
| p↔q | p이면 q이고, q이면 p이다. |
p∧¬q는 p와 ¬q가 모두 참이라는 뜻이니, “연필이 들어 있고 지우개는 들어 있지 않다”로 읽겠습니다.
좋습니다. p를 읽을 때에는 연필의 존재를, q를 읽을 때에는 지우개의 존재를 말합니다. 이제 기호가 여러 개 있는 식도 같은 방식으로 차근차근 풀어 보겠습니다.
어느 연결사부터 살펴보나요?
식 전체가 어떤 형태인지 찾은 뒤 그 부분들을 나눕니다.
(p∧q)→r에는 ∧와 →가 있어요. 왼쪽에 먼저 보이는 ∧부터 읽으면 되나요?
먼저 전체 구조를 봅시다. (p∧q)→r은 괄호 안의 p∧q와 오른쪽의 r을 →로 연결한 식입니다. 따라서 가장 바깥 연결사인 주연결사는 →입니다. “무엇이면 무엇이다”라는 형태를 잡고, 그 안의 두 부분을 풀어 읽습니다.
| 식 | 전체의 주연결사 | 그 연결사가 적용되는 부분 |
|---|---|---|
| (p∧q)→r | → | 왼쪽 p∧q / 오른쪽 r |
| p∧(q→r) | ∧ | 왼쪽 p / 오른쪽 q→r |
| ¬(p∨q) | ¬ | 부정할 부분 p∨q |
전체를 나눈 다음 p∧q를 다시 p와 q로 나누면 되겠네요. 마지막에는 사전에 적힌 글자의 뜻을 읽을 수 있고요.
그렇습니다. 전체의 연결 방식 확인 → 각 부분의 연결 방식 확인 → 글자의 뜻 대입 순서로 읽어 보세요. 부분들을 읽은 뒤에는 다시 전체로 합칩니다. 이때 괄호가 정한 범위를 지켜야 합니다.
짧은 논리식을 끝까지 풀어 읽어 볼까요?
기호에 충실하게 읽은 뒤 우리말 어순을 다듬습니다.
이번에는 (p∨q)→r을 읽어 보겠습니다. 주연결사는 무엇이고, 양쪽에는 무엇이 있나요?
주연결사는 →입니다. 왼쪽 조건은 p∨q, 오른쪽 내용은 r입니다. 왼쪽을 먼저 “연필이 있거나 지우개가 있다”로 읽겠습니다.
부분 읽기에서 자연스러운 표현까지 어떻게 가나요?
첫째, 왼쪽: p∨q는 “지금 이 상자에 연필이 있거나 지우개가 있다”입니다. 둘 중 적어도 하나가 있다는 뜻입니다.
둘째, 오른쪽: r은 “지금 이 상자에 공책이 있다”입니다.
셋째, 구조를 그대로 읽기: “만약 연필이 있거나 지우개가 있다면, 공책이 있다.”
넷째, 다듬어 읽기: “지금 이 상자에 연필과 지우개 가운데 적어도 하나가 들어 있으면, 공책이 들어 있다.”
“적어도 하나”라고 하면 두 물건이 모두 있는 경우도 조건에 들어간다는 점이 분명해지네요.
네. 우리말을 다듬을 때에도 ∨의 그 뜻을 유지해야 합니다. 조건을 “연필과 지우개가 모두 있으면”으로 바꾸면 ∨를 ∧로 바꾼 것이 됩니다.
지우개만 있고 공책은 없으면 어떻게 되나요?
연필은 없고 지우개는 있으며 공책은 없다고 가정합니다. p는 거짓, q는 참, r은 거짓입니다.
p∨q는 참이고 r은 거짓이므로 (p∨q)→r은 거짓입니다. 우리말로 읽어도 지우개가 있어서 조건은 충족했는데 공책이 없으므로, 방금 옮긴 주장에 어긋납니다.
¬가 부정하는 부분을 어떻게 읽나요?
“모두 있는 것은 아니다”와 “모두 없다”를 구별합니다.
¬(p∧q)를 짧게 “연필과 지우개가 둘 다 없다”라고 읽으면 되나요?
먼저 괄호 안을 읽어 주세요. p∧q는 “연필과 지우개가 모두 있다”입니다. 그 전체에 ¬가 붙었으므로 “연필과 지우개가 모두 있다는 것은 사실이 아니다”가 됩니다. 즉 두 물건 가운데 적어도 하나는 없습니다.
연필은 있고 지우개만 없는 경우에도, 둘 다 있다는 것은 사실이 아니니까 ¬(p∧q)가 참이겠네요. “둘 다 없다”라고 읽으면 그 경우를 빠뜨리겠어요.
| 식 | 우리말로 읽기 |
|---|---|
| ¬(p∧q) | 연필과 지우개가 모두 있다는 것은 사실이 아니다. 적어도 하나는 없다. |
| ¬p∧¬q | 연필도 없고 지우개도 없다. |
| ¬p∧q | 연필은 없고 지우개는 있다. |
이 세 식은 부정하는 범위가 다릅니다. 읽다가 헷갈리면 “사실이 아니다”를 부정할 내용 전체 뒤에 붙여 보세요. 예를 들어 ¬(p∨q)는 “연필이나 지우개가 적어도 하나 있다는 것은 사실이 아니다”입니다. 그래서 연필도 없고 지우개도 없다는 뜻이 됩니다.
괄호 안에 또 다른 연결사가 있으면 어떻게 하나요?
짧은 부분부터 완성해서 전체의 두 선택지를 분명히 읽습니다.
p∨(q∧¬r)에는 ∨, ∧, ¬가 있어요. 전체는 ∨로 연결했고, 오른쪽에 q∧¬r이 있다는 것까지는 알겠습니다.
그 오른쪽을 다시 나눠 보세요. q와 ¬r을 ∧로 연결했습니다. ¬r부터 뜻을 대입한 다음 q와 합치면 됩니다.
p∨(q∧¬r)을 네 번에 나누어 읽을까요?
첫째: ¬r은 “공책이 들어 있지 않다”입니다.
둘째: q∧¬r은 “지우개가 들어 있고 공책은 들어 있지 않다”입니다.
셋째: 왼쪽 p는 “연필이 들어 있다”입니다.
넷째: 전체는 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다는 뜻입니다. ① 연필이 들어 있다. ② 지우개가 들어 있고 공책은 들어 있지 않다.
오른쪽 조건에서 지우개가 있다는 것과 공책이 없다는 것을 함께 묶어야겠네요. 공책이 없다는 조건을 전체에 붙이면 달라질 것 같아요.
정확합니다. 원래 식에서는 연필이 있기만 해도 왼쪽 p가 참이어서 전체가 참입니다. 그때 공책이 있어도 괜찮습니다. “연필이나 지우개가 있고, 공책은 반드시 없다”로 읽으면 (p∨q)∧¬r이 되어 다른 식이 됩니다.
| 가정한 상자 상태 | 왼쪽 p | 오른쪽 q∧¬r | 전체 |
|---|---|---|---|
| 연필 없음, 지우개 있음, 공책 없음 | 거짓 | 참 | 참 |
| 연필 있음, 지우개 없음, 공책 있음 | 참 | 거짓 | 참 |
둘째 줄은 부정의 범위를 확인하는 데 도움이 됩니다. 공책이 있어도 연필이 있어서 전체가 참입니다. 또한 두 선택지가 함께 참인 경우도 ∨에 포함됩니다.
↔는 두 방향으로 어떻게 읽나요?
양쪽 내용이 무엇인지 정한 뒤 화살표를 하나씩 읽습니다.
이번에는 p↔(q∧r)입니다. 왼쪽은 p, 오른쪽은 q∧r입니다. 두 방향으로 풀어서 읽어 볼까요?
첫 방향은 p→(q∧r)이므로 “연필이 들어 있으면 지우개와 공책이 모두 들어 있다”입니다. 반대 방향은 (q∧r)→p이므로 “지우개와 공책이 모두 들어 있으면 연필이 들어 있다”입니다.
한번에 자연스럽게 말해 볼까요?
기호: p↔(q∧r)
뜻을 풀어 읽기: “연필이 들어 있으려면 지우개와 공책이 모두 있어야 하고, 그 두 물건이 모두 들어 있으면 연필도 들어 있다.”
앞부분은 p→(q∧r), 뒷부분은 (q∧r)→p입니다. 양쪽 모두 q∧r 전체를 하나의 내용으로 다룹니다.
그 식이 참이면 세 물건이 모두 들어 있는 건가요?
p와 q∧r의 참·거짓이 같은 것입니다. 예를 들어 연필은 없고, 지우개는 있고, 공책은 없다고 가정해 봅시다. p가 거짓이고 q∧r도 거짓입니다. 그러면 p↔(q∧r)은 참입니다. ↔를 읽을 때에는 양쪽이 모두 거짓인 경우도 기억해 주세요.
두 방향을 모두 말한다는 것과 물건이 모두 실제로 있다는 것은 다르군요. 식을 읽은 뒤 실제로 참인지 판단하려면 각각의 내용을 확인해야겠어요.
순서를 바꾸어 읽어도 뜻이 같나요?
연결사에 따라 순서를 바꿀 수 있는지가 달라집니다.
p∧q를 “지우개가 들어 있고 연필이 들어 있다”라고 읽어도 되나요? 사전에 적힌 순서와 반대인데요.
그렇게 읽어도 두 물건이 모두 있다는 조건은 같습니다. p∧q와 q∧p의 참·거짓은 모든 조합에서 같기 때문입니다. 두 물건을 넣은 시간 순서는 어느 쪽에도 들어 있지 않습니다.
그러면 p→q도 “지우개가 들어 있으면 연필이 들어 있다”라고 바꿔 읽을 수 있나요?
그렇게 바꾸면 q→p입니다. 조건문의 방향을 뒤집은 것이지요. 연필은 없고 지우개만 있는 경우를 생각해 보세요. p→q는 참이고 q→p는 거짓이므로 두 식의 뜻이 다릅니다.
| p | q | p→q | q→p |
|---|---|---|---|
| 참 | 참 | 참 | 참 |
| 참 | 거짓 | 거짓 | 참 |
| 거짓 | 참 | 참 | 거짓 |
| 거짓 | 거짓 | 참 | 참 |
우리말로 다듬을 때 무엇을 지켜야 하나요?
대상·시점·연결 관계를 그대로 두고 표현을 다듬습니다.
p→q를 “연필이 들어 있기 때문에 지우개가 들어 있다”라고 읽으면 더 자연스럽지 않나요?
그렇게 읽으면 원인이라는 뜻을 추가합니다. 이번에 쓰는 →는 고전 명제논리의 실질조건문입니다. “연필이 들어 있으면 지우개가 들어 있다”라는 조건의 참·거짓을 나타내며, 연필이 지우개의 존재를 일으킨다는 설명까지 담지는 않습니다.
| 식 | 기호에 맞는 읽기 | 새로운 뜻이 들어간 읽기 |
|---|---|---|
| p→q | 연필이 들어 있으면 지우개가 들어 있다. | 연필 때문에 지우개가 들어 있다. → 원인을 추가함 |
| p∧q | 연필과 지우개가 모두 들어 있다. | 연필을 넣은 다음 지우개를 넣었다. → 넣은 행위와 시간 순서를 추가함 |
| ¬p | 지금 이 상자에 연필이 없다. | 지금 이 상자에 물건이 전혀 없다. → 다른 물건까지 포함함 |
지금 이 상자를 말하던 p를 내일의 상자나 옆에 있는 상자에 관한 말로 바꿔 읽어도 안 되겠네요.
맞습니다. 사람이 주어인 예시에서도 같은 사람을 계속 가리켜야 합니다. 뜻을 줄여 읽을 수는 있지만 대상을 바꿀 수는 없습니다. 처음 적은 기호 사전과 다듬은 표현을 나란히 두고 확인해 주세요.
표현이 달라도 같은 뜻인지 어떻게 확인하나요?
모든 참·거짓 조합에서 두 표현의 결과가 같은지 비교합니다.
“연필과 지우개가 모두 있다는 것은 사실이 아니다”와 “연필이 없거나 지우개가 없다”는 서로 다르게 쓰였어요. 그래도 같은 조건을 말하나요?
뒤의 “없거나”를 적어도 하나가 없다는 뜻으로 읽으면 같습니다. 첫 표현은 ¬(p∧q), 둘째 표현은 ¬p∨¬q입니다. 8편에서 다룬 부정을 다시 읽는 예시이지요. 네 조합을 모두 비교해 보겠습니다.
| p | q | ¬(p∧q) | ¬p∨¬q |
|---|---|---|---|
| 참 | 참 | 거짓 | 거짓 |
| 참 | 거짓 | 참 | 참 |
| 거짓 | 참 | 참 | 참 |
| 거짓 | 거짓 | 참 | 참 |
둘 다 있으면 두 표현 모두 거짓이고, 하나라도 없으면 둘 다 참이네요. 둘 다 없는 마지막 줄도 포함되고요.
맞습니다. 이렇게 모든 참·거짓 조합에서 결과가 같은 두 식을 논리적으로 동치라고 합니다. 그래서 두 표현을 바꾸어 써도 이 범위에서 주장하는 참·거짓 조건이 같습니다. 어느 한 경우에서 결과가 같다는 것만으로는 동치라고 할 수 없습니다.
“연필도 지우개도 없다”도 같은가요?
“연필도 지우개도 없다”는 ¬p∧¬q입니다. 연필만 있는 경우를 넣으면 이 식은 거짓입니다. 하지만 ¬(p∧q)는 지우개가 없어서 참입니다.
결과가 다른 경우가 하나 있으므로 두 식은 동치가 아닙니다. 자연스럽게 들리는 표현이라도, 원래 식과 같은 경우를 참으로 만드는지 확인해 주세요.
여기서 같다고 확인한 것은 참·거짓 조건입니다. 말의 길이와 강조, 듣는 사람이 느끼는 어감까지 모두 같다는 뜻은 아닙니다. 필요한 뜻을 보존하면서 읽기 쉬운 표현을 고르면 됩니다.
혼자서 읽고 다시 확인해 볼까요?
주연결사를 찾고, 부분을 읽고, 다듬은 표현을 사례로 점검합니다.
p는 지금 이 상자에 연필이 있다는 뜻, q는 지우개가 있다는 뜻, r은 공책이 있다는 뜻입니다. 사전은 그대로 두고 여섯 문제를 풀어 보세요. 답을 외우기보다 내가 읽은 표현이 어느 경우에 참인지 확인해 주세요.
1. ¬p∧(q∨r)의 주연결사를 찾고, 우리말로 읽어 보세요.
답과 풀이 확인하기
주연결사는 ∧입니다. “지금 이 상자에 연필은 없고, 지우개와 공책 가운데 적어도 하나는 들어 있다.”
왼쪽 ¬p는 연필이 없다는 뜻입니다. 오른쪽 q∨r은 지우개와 공책 가운데 적어도 하나가 있다는 뜻입니다. 이 두 내용을 모두 주장합니다. 지우개와 공책이 함께 있는 경우도 오른쪽 조건에 포함됩니다.
2. (p∧q)→¬r을 읽어 보세요. 공책이 없다는 것이 언제나 따로 주장된 것인가요?
답과 풀이 확인하기
“지금 이 상자에 연필과 지우개가 모두 들어 있으면, 공책은 들어 있지 않다.” 공책이 없다는 ¬r 자체를 따로 주장한 것은 아닙니다.
조건은 p∧q이고, 그 조건 아래 말하는 내용은 ¬r입니다. 연필이 없고 지우개와 공책이 있는 경우를 생각해 보세요. p∧q가 거짓이므로 원래 조건문은 참이지만, 공책은 실제로 있습니다.
3. ¬(p→q)를 먼저 괄호에 충실하게 읽고, 그 식이 참일 때의 상자 상태를 말해 보세요.
답과 풀이 확인하기
“연필이 들어 있으면 지우개가 들어 있다는 조건문은 거짓이다.” 그러므로 연필은 들어 있고 지우개는 들어 있지 않은 상태입니다.
부정은 p→q 전체에 붙습니다. p→q가 거짓인 경우는 p가 참이고 q가 거짓일 때뿐이므로 p∧¬q와 같은 조건입니다. “연필이 없으면 지우개가 없다”라는 ¬p→¬q와 구별해 주세요.
4. r↔¬p를 두 방향으로 풀어 읽어 보세요.
답과 풀이 확인하기
“지금 이 상자에 공책이 들어 있으면 연필은 들어 있지 않다. 그리고 연필이 들어 있지 않으면 공책이 들어 있다.”
첫째 방향은 r→¬p이고, 둘째 방향은 ¬p→r입니다. r과 ¬p 사이의 두 방향을 모두 읽어야 합니다. 연필이 실제로 있는지 없는지는 ↔의 뜻을 읽는 일과 별도로 확인합니다.
5. p∨(q∧r)을 “연필이나 지우개가 들어 있고, 공책은 반드시 들어 있다”로 읽었습니다. 맞나요? 구체적인 경우를 들어 확인해 보세요.
답과 풀이 확인하기
그렇게 읽으면 (p∨q)∧r이 되어 뜻이 달라집니다. 원래 식은 “연필이 있거나, 지우개와 공책이 모두 있다”는 뜻이며 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립하면 됩니다.
연필만 있고 지우개와 공책은 없는 경우를 넣어 보세요. 원래 p∨(q∧r)은 p가 참이므로 참입니다. 하지만 공책이 반드시 있어야 한다고 읽은 (p∨q)∧r은 거짓입니다. 공책이 있다는 조건은 원래 식의 오른쪽 부분 안에 있습니다.
6. p→q를 읽은 두 표현입니다. ① “연필이 들어 있으려면 지우개가 들어 있어야 한다.” ② “지우개가 들어 있으면 연필이 들어 있다.” 어느 쪽이 원래 방향을 지켰나요?
답과 풀이 확인하기
①이 p→q의 방향을 지켰습니다. ②는 q→p입니다.
①은 연필이 있다는 p에 지우개가 있다는 q가 필요하다는 뜻입니다. 연필은 없고 지우개만 있는 경우에 p→q와 ①은 참이지만 ②는 거짓입니다. 필요조건을 나타내는 표현과 조건문의 역을 구별할 수 있습니다.
사전을 확인하고 가장 바깥 연결사부터 구조를 나누면 읽을 수 있겠어요. 부분마다 뜻을 넣은 뒤 자연스럽게 다듬고, 기호에 없는 내용을 보태지는 않았는지 확인하겠습니다.
이제 식 하나를 골라 직접 설명을 적어 보세요. 어떤 글자 약속을 썼는지, 주연결사는 무엇인지, 전체를 어떻게 읽었는지 적으면 됩니다. 마지막으로 그 표현이 참인 경우 하나와 거짓인 경우 하나를 떠올려 보세요. 오늘 연습한 식들은 두 경우를 모두 찾을 수 있습니다.
오늘 익힌 내용을 어떻게 설명할까요?
예시를 하나 정해서 설명해 보세요. 다시 생각해 보고 싶은 질문도 함께 적을 수 있습니다.
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참고한 논리학 자료
4개 자료개념의 정의와 기호의 뜻을 아래 자료로 확인했습니다. 대화와 생활 예시는 학습을 위해 작성했습니다.
01Open Logic Project, forall x: Calgary — 6. Sentences of TFL
6.2~6.3의 복합식 구성, 주연결사, 괄호의 역할을 확인했습니다. 가장 바깥 구조에서 부분을 나누고 글자까지 풀어 읽는 절차에 반영했습니다.
원문 확인02Stanford, Introduction to Logic — Chapter 2. Propositional Logic
2.2~2.4에서 연결사의 뜻, 괄호에 따른 구조 차이, 부분식의 참·거짓을 차례로 계산하는 방법을 확인했습니다. 상자 속 물건을 대입하는 예시와 연습은 새로 구성했습니다.
원문 확인03Open Logic Project, forall x: Calgary — 10. Truth-functional connectives
10.1~10.3에서 참·거짓 조건을 나타내는 기호의 역할과 일상어의 강조·뉘앙스·조건 표현을 모두 보존하지는 못한다는 한계를 확인했습니다. 기호를 읽으며 원인이나 시간 순서를 임의로 덧붙이지 않는 설명에 반영했습니다.
원문 확인04Open Logic Project, forall x: Calgary — 12. Semantic concepts
12.2에서 모든 참·거짓 배정에서 결과가 같을 때 두 식이 동치라는 정의와 진리표로 확인하는 방법을 참고했습니다. 이 글의 표는 연언의 부정과 부정들의 선언을 비교하도록 구성했습니다.
원문 확인기초 논리학 · 제10편
기호를 우리말로 어떻게 풀어 읽나요?