함께 시작해 볼까요?
상자 속 물건에 관한 논증을 검토하며 반례를 만드는 방법을 배웁니다. 결론을 거짓으로 놓고 전제를 하나씩 확인한 뒤, 반례의 실패 이유와 뜻·시점의 변화도 살펴봅니다. 진리표 한 줄을 우리말로 설명하고, 여러 연습에서 자신의 반례를 끝까지 검산합니다.
이번에는 어떤 경우를 찾나요?
13편의 진리표에서 반례가 되는 한 줄을 찾아봅니다.
지난 편에서는 진리표를 끝까지 만들고 전제들이 모두 참인 줄을 골랐어요. 이번에는 표를 전부 쓰지 않고도 판단할 수 있나요?
반례를 하나 찾으면 그 논증이 부당하다는 것을 확인할 수 있습니다. 우리가 찾을 것은 모든 전제가 참인데 결론은 거짓인 한 경우입니다. 먼저 글자의 뜻을 정해 두겠습니다.
p·q·r은 무엇을 뜻하나요?
p: 지금 이 상자 안에 연필이 들어 있다.
q: 지금 이 상자 안에 지우개가 들어 있다.
r: 지금 이 상자 안에 공책이 들어 있다.
같은 상자의 같은 시점에 관한 내용입니다. 각 종류가 하나 이상 있으면 해당 글자를 참으로 읽습니다. 여러 가능한 상태를 비교할 때에도 글자의 뜻을 그대로 유지합니다.
글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. 다음으로 논증의 전제와 결론을 따로 적습니다. “연필 또는 지우개가 있다. 연필이 있다. 따라서 지우개는 없다.”를 살펴볼까요?
전제는 p∨q와 p이고, 결론은 ¬q입니다. ∨는 둘 다 있는 경우도 포함했어요.
무엇을 참으로 두고 무엇을 거짓으로 두나요?
전제 1: p∨q
전제 2: p
결론: ¬q
반례를 찾을 때에는 두 전제를 모두 참으로 유지하면서 결론 ¬q가 거짓이 되는 상자의 상태를 찾습니다.
전제에 있는 조건을 지키면서 결론만 성립하지 않는 경우를 찾는군요.
네. “왠지 다른 경우도 있을 것 같다”에서 한 걸음 더 나아가, 어떤 물건이 있고 없는지 정확히 적어 보겠습니다.
연필과 지우개가 모두 있으면 어떻게 되나요?
후보 하나를 전제 두 개와 결론에 차례로 대입합니다.
상자에 연필과 지우개가 모두 있다고 해 볼게요. 그러면 결론인 “지우개가 없다”는 거짓입니다.
좋습니다. 이제 첫째 전제를 확인해 주세요. 연필 또는 지우개가 있다는 말은 참인가요?
둘 다 있으므로 적어도 하나는 있습니다. 첫째 전제 p∨q는 참입니다.
둘째 전제 p는 어떤가요?
연필이 있으니 참입니다. 두 전제가 모두 참이고 결론은 거짓이 됐어요.
| 확인할 내용 | 값 | 이유 |
|---|---|---|
| p∨q | 참 | 두 물건이 모두 있으므로 적어도 하나가 있습니다. |
| p | 참 | 연필이 있습니다. |
| ¬q | 거짓 | 지우개가 있으므로 “없다”는 거짓입니다. |
이 경우가 바로 반례입니다. 앞의 두 정보를 모두 받아들여도 지우개가 없다는 결론은 보장되지 않습니다. 반례를 하나 제시했으므로 이 논증은 부당합니다.
실제 상자에는 연필만 들어 있을 수도 있겠어요. 그때에는 결론도 참이지요?
네. 반례가 보여 주는 것은 주어진 전제만으로 결론의 참을 보장할 수 없다는 점입니다. 결론이 실제로 참인지, 실제 상자에 무엇이 있는지는 따로 확인합니다.
전제 p∨q, p에서 결론 ¬q를 이끌어 낸 논증의 반례를 완성해 보세요. p는 참, q는 ___입니다. 두 전제와 결론의 값도 적어 보세요.
답과 풀이 확인하기
q는 참입니다. p∨q와 p는 참이고, ¬q는 거짓입니다.
결론 ¬q를 거짓으로 만들려면 q를 참으로 둡니다. 둘째 전제 p도 참으로 두면 첫째 전제 p∨q가 함께 참이 됩니다. 연필과 지우개가 모두 있는 상자로 설명할 수 있습니다.
결론만 거짓이면 반례가 되나요?
모든 전제를 확인해야 하는 이유를 살펴봅니다.
이번에는 다른 논증입니다. “연필 또는 지우개가 있다. 연필은 없다. 따라서 지우개가 있다.” 전제와 결론을 적어 주세요.
전제는 p∨q와 ¬p, 결론은 q입니다. 결론을 거짓으로 만들려면 지우개가 없어야겠어요.
그렇습니다. 지우개는 없고 연필은 있는 경우를 골랐다고 해 봅시다. 첫째 전제는 참이고 결론은 거짓입니다. 둘째 전제도 확인해 볼까요?
연필이 있으니 “연필이 없다”는 거짓입니다. 전제 하나를 어겼어요.
| 후보 | p∨q | ¬p | 결론 q |
|---|---|---|---|
| 연필 있음 · 지우개 없음 | 참 | 거짓 | 거짓 |
| 연필 없음 · 지우개 없음 | 거짓 | 참 | 거짓 |
둘째 후보에서는 ¬p가 참이지만 p∨q가 거짓이네요. 둘 다 반례의 조건을 채우지 못합니다.
맞습니다. 결론을 거짓으로 만드는 일과 모든 전제를 참으로 유지하는 일을 같은 후보에서 함께 해야 합니다. 서로 다른 두 후보의 참인 전제만 모아 사용할 수는 없습니다.
전제 p→q, p / 결론 q인 논증에서 p=거짓, q=거짓을 반례로 제시했습니다. 어느 부분을 고쳐 설명해야 하나요?
답과 풀이 확인하기
둘째 전제 p가 거짓이므로 반례가 되지 않는다고 설명해야 합니다.
p→q는 참이고 결론 q는 거짓입니다. 그러나 논증의 전제에는 p도 있습니다. p가 거짓인 이 배정은 모든 전제가 참이라는 조건을 충족하지 못합니다.
결론을 거짓으로 놓고 거꾸로 찾을 수 있나요?
결론에서 필요한 값을 정한 뒤 전제의 값을 맞춥니다.
6편에서 다룬 “연필이 있으면 지우개가 있다. 지우개가 있다. 따라서 연필이 있다.”를 반례 만들기 연습으로 다시 살펴보겠습니다.
전제는 p→q와 q, 결론은 p입니다. 결론 p를 거짓으로 놓으면 연필이 없는 경우가 됩니다.
이제 둘째 전제 q를 참으로 놓아 주세요. 어떤 상자가 되나요?
연필은 없고 지우개는 있습니다. p는 거짓, q는 참입니다.
마지막으로 첫째 전제 p→q를 계산합니다. 앞부분 p가 거짓이고 뒷부분 q가 참이면 조건문 전체는 어떤 값인가요?
참입니다. 그래서 두 전제가 모두 참이고 결론 p는 거짓이 됩니다.
어느 부분부터 값을 정했나요?
- 결론 p를 거짓으로 둡니다.
- 전제 q를 참으로 둡니다.
- 남은 전제 p→q의 값을 계산합니다. 거짓→참이므로 참입니다.
- p=거짓, q=참을 모든 전제와 결론에 다시 넣어 확인합니다.
이렇게 결론의 값부터 정하면 살펴볼 후보가 줄어듭니다. 다만 결론이 거짓이 되는 경우가 여러 가지라면, 한 선택이 실패했을 때 다른 선택도 남아 있는지 확인해야 합니다.
전제 p→q, ¬p / 결론 ¬q의 반례를 결론에서 거꾸로 찾아보세요. ¬q를 거짓으로 만드는 q의 값과 ¬p를 참으로 만드는 p의 값은 무엇인가요?
답과 풀이 확인하기
q=참, p=거짓입니다. 이때 두 전제는 참이고 결론은 거짓입니다.
¬q가 거짓이려면 q가 참이어야 합니다. ¬p가 참이려면 p가 거짓이어야 합니다. p→q는 거짓→참이므로 참입니다. 연필은 없고 지우개는 있는 상태가 반례입니다.
결론이 조건문이면 어떻게 시작하나요?
조건문 전체가 거짓이 되는 값을 먼저 정합니다.
세 글자가 나오면 어디부터 보나요?
전제 1: p→q
전제 2: q∨r
결론: p→r
“연필이 있으면 지우개가 있다. 지우개 또는 공책이 있다. 따라서 연필이 있으면 공책이 있다”라는 논증입니다.
결론 p→r을 거짓으로 만들려면 p가 참이고 r이 거짓이어야 합니다. 연필은 있고 공책은 없는 상태군요.
좋습니다. 그 상태에서 첫째 전제 p→q가 참이 되려면 q는 어떤 값이어야 할까요?
p가 참이므로 q도 참이어야 합니다. 지우개를 넣어야겠어요.
그렇게 정한 q와 r을 둘째 전제 q∨r에 넣어 보세요.
q는 참이고 r은 거짓이니 q∨r은 참입니다. 두 전제를 모두 만족했어요.
| 항목 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| 전제 p→q | 참→참 | 참 |
| 전제 q∨r | 참∨거짓 | 참 |
| 결론 p→r | 참→거짓 | 거짓 |
따라서 반례는 연필과 지우개는 있고 공책은 없는 상태입니다. 둘째 전제가 “지우개 또는 공책”이라고 했으므로 공책이 없어도 지우개가 있으면 참입니다.
둘째 전제를 보다가 “지우개와 공책이 모두 있다”로 바꾸면 반례를 찾지 못하겠네요. ∨의 뜻을 그대로 지켜야겠어요.
위 반례를 글자만 적지 말고 우리말 세 가지로 검산해 보세요. 첫째 전제, 둘째 전제, 결론이 각각 왜 그 값을 갖나요?
답과 풀이 확인하기
연필과 지우개가 있어서 첫째 전제는 참입니다. 지우개가 있어서 둘째 전제도 참입니다. 연필이 있는데 공책이 없으므로 결론은 거짓입니다.
반례 설명에는 물건의 배치뿐 아니라 각 전제와 결론의 값이 들어가야 합니다. 지우개가 있다는 정보가 q∨r을 참으로 만들지만, 공책의 존재까지 보장하지는 않습니다.
전제가 하나 더 생겨도 같은 반례를 쓸 수 있나요?
새 전제까지 포함해 반례를 다시 확인합니다.
다음 논증을 보겠습니다. 전제는 p∨q와 p→r이고 결론은 r입니다. 공책이 없는데 두 전제가 참인 경우를 만들어 볼까요?
r을 거짓으로 둡니다. p→r을 참으로 유지하려면 p도 거짓이어야겠어요. p∨q가 참이어야 하니 q는 참으로 두겠습니다.
정확합니다. 연필은 없고 지우개만 있으며 공책은 없는 상태가 반례입니다. 여기에 q→r, 즉 “지우개가 있으면 공책이 있다”를 새 전제로 더해 보겠습니다.
아까 반례에서는 q가 참이고 r이 거짓이었으니 새 전제 q→r이 거짓입니다. 그 반례는 새 논증에는 적용할 수 없군요.
네. 이제 새 논증에 다른 반례가 있는지도 살펴야 합니다. 여전히 결론 r을 거짓으로 놓겠습니다. p→r과 q→r이 모두 참이려면 p와 q는 어떻게 돼야 하나요?
둘 다 거짓이어야 합니다. 그러면 첫째 전제 p∨q가 거짓이 됩니다.
어느 경우에 공책을 얻을 수 있나요?
전제는 p∨q, p→r, q→r입니다.
결론 r이 거짓이라고 해 보면, 두 조건문을 참으로 만들기 위해 p와 q가 모두 거짓이어야 합니다. 그러면 p∨q를 참으로 둘 수 없습니다.
따라서 전제가 모두 참이고 r이 거짓인 배정은 없습니다. 이 세 전제를 가진 논증은 타당합니다.
전제를 추가한 뒤에는 그 전제를 실제로 받아들일 근거도 확인해야 합니다. 원하는 결론을 얻으려고 새로운 조건을 임의로 사실처럼 적어 넣을 수는 없습니다.
전제 p∨q, p→r / 결론 r의 반례 p=거짓, q=참, r=거짓에 전제 ¬q를 추가했습니다. 이 배정이 새 논증의 반례로도 남아 있나요?
답과 풀이 확인하기
남아 있지 않습니다. 새 전제 ¬q가 거짓이 됩니다.
반례는 논증에 들어 있는 전제 전부를 참으로 만들어야 합니다. 이 배정에서는 q가 참이므로 ¬q는 거짓입니다. 새 논증의 타당성을 판단하려면 변경된 전제 전체를 다시 살펴야 합니다.
대상이나 시점을 바꾸면 반례가 되나요?
처음에 정한 글자의 뜻을 같은 경우 안에서 유지합니다.
연필이 오전에는 있었는데 오후에는 없어진 상황도 반례로 쓸 수 있나요?
원래 논증이 어느 시점에 관한 것인지 확인해야 합니다. 이 편의 p는 “지금 이 상자 안에 연필이 있다”로 정했습니다. 전제를 읽을 때의 “지금”과 결론을 읽을 때의 “지금”을 같은 시점으로 유지합니다.
오전의 전제와 오후의 결론을 함께 쓰면 어떻게 되나요?
검토할 논증은 전제 p∧q에서 결론 p를 얻는 것입니다.
오전 10시에는 연필과 지우개가 모두 있고, 오후 2시에는 연필을 꺼냈다고 해 봅시다.
오전의 p∧q가 참이고 오후의 p가 거짓이라는 사실은, 같은 시점의 p∧q가 참인데 p가 거짓인 경우를 보여 주지 않습니다. 서로 다른 때의 내용을 섞었습니다.
오후에 연필이 없다면 오후의 p∧q도 거짓입니다. 같은 때로 맞춰 보면 전제와 결론을 원하는 값으로 동시에 만들지 못하네요.
맞습니다. 상자도 같아야 합니다. 전제에서는 왼쪽 상자, 결론에서는 오른쪽 상자를 읽으면 같은 p를 다른 뜻으로 사용하게 됩니다.
“이 상자에 연필과 지우개가 있다. 따라서 이 상자에 연필이 있다”에 대해, 다른 상자에는 연필이 없다고 반박했습니다. 이 반박이 반례의 조건을 충족하나요?
답과 풀이 확인하기
충족하지 않습니다. 전제와 결론이 가리키는 상자가 달라졌습니다.
원래 논증의 같은 상자에서 연필과 지우개가 모두 있는데 연필은 없는 경우를 제시해야 합니다. 다른 상자의 상태는 원래 결론의 거짓을 보여 주지 않습니다.
상상한 경우도 반례가 될 수 있나요?
논증 형식의 검토와 실제 사실 확인의 목적을 구별합니다.
우리가 만든 상자는 가상 상황이지요. 실제로 그런 상자를 발견해야만 논증이 부당하다고 말할 수 있나요?
지금 검토하는 것은 이 전제들만으로 결론이 보장되는가입니다. 각 글자에 정한 뜻을 유지하고 전제들을 모두 만족하는 가능한 상태를 제시하면, 결론이 보장되지 않는다는 것을 보여 줄 수 있습니다. 이 수업의 연필·지우개·공책은 각각 넣고 뺄 수 있는 별개의 물건입니다.
상자에 연필과 지우개가 함께 있는 상태를 생각할 수 있으니, 처음의 “연필 또는 지우개가 있다”와 “연필이 있다”라는 두 전제만으로 “지우개가 없다”는 결론은 보장되지 않는다고 판단할 수 있겠네요.
네. 다만 실제 물건에 관한 주장이 사실과 다른지를 밝히려면 관찰 자료가 필요합니다. 예를 들어 “오늘 검사한 상자 20개에는 지우개가 하나도 없었다”라는 보고를 사실로 반박하려면, 그 20개 가운데 지우개가 들어 있던 상자를 확인해야 합니다. 가상의 21번째 상자를 만들어서는 그 보고를 반박할 수 없습니다.
어떤 결론이 전제에서 따라오는지 검토하는 일과, 특정 보고가 실제와 맞는지 확인하는 일의 목적이 다르군요.
그렇습니다. 또한 실제 표현에 특별한 뜻 관계가 있다면 기호화에서 그 관계도 고려해야 합니다. 이 연재의 상자 예시는 그런 추가 관계가 끼어들지 않도록 물건과 시점을 분명하게 정해 두었습니다.
반례를 찾지 못하면 타당하다고 해도 되나요?
몇 가지 시도의 실패와 모든 후보의 검토를 구별합니다.
후보 세 개를 만들었는데 전제 하나씩이 거짓이었어요. 그럼 타당하다고 결론 내려도 될까요?
먼저 가능한 경우를 빠짐없이 확인했는지 살펴야 합니다. p와 q를 쓰는 논증에는 네 배정이 있습니다. 세 배정에서 반례가 없더라도 남은 한 배정이 반례일 수 있습니다.
살피지 않은 줄에서 반례가 나올 수 있나요?
전제 p∨q에서 결론 p↔q를 얻는 논증을 생각해 봅시다.
p와 q가 모두 참인 경우에는 전제와 결론이 모두 참입니다. 모두 거짓인 경우에는 전제가 거짓입니다. 이 두 경우만 보고 타당하다고 결정할 수 없습니다.
p=참, q=거짓을 넣으면 p∨q는 참인데 p↔q는 거짓입니다. 이 한 줄이 반례입니다.
확인한 두 줄에서 실패했다는 말과, 네 줄 어디에도 반례가 없다는 말은 다르네요.
네. 전체 진리표는 관련된 모든 배정을 확인하는 한 방법입니다. 조건을 거꾸로 따져 모든 후보가 막힌다는 것을 보여 주는 방법도 있습니다. 간단한 전건긍정에서 해 볼까요? 전제 p→q와 p, 결론 q입니다.
결론을 거짓으로 만들려면 q=거짓입니다. 둘째 전제를 참으로 만들려면 p=참입니다. 두 값이 모두 정해졌어요. 이때 첫째 전제 p→q는 거짓입니다.
정확합니다. 반례가 되려면 반드시 그 두 값이어야 하는데, 그 배정은 첫째 전제를 거짓으로 만듭니다. 남은 다른 반례 후보가 없으므로 이 논증이 타당하다고 확인할 수 있습니다. 반례를 찾는 중에 여러 갈래가 생겼다면 각 갈래를 모두 확인해야 합니다.
전제 p∨q / 결론 p↔q인 논증에서 p=q=참인 경우와 p=q=거짓인 경우만 검사했습니다. 다음으로 확인할 반례 후보 하나와 그 결과를 적어 보세요.
답과 풀이 확인하기
p=참, q=거짓을 넣으면 전제는 참이고 결론은 거짓입니다.
또는 p=거짓, q=참도 반례입니다. 두 값이 다른 경우에는 ∨가 참이면서 ↔는 거짓입니다. 일부 배정만 확인한 결과를 전체 배정의 결과로 넓히지 않습니다.
두 식이 다르다는 반례도 같은 방식으로 찾나요?
비동치와 한 방향의 추론을 각각 확인합니다.
이번에는 p→q와 q→p가 동치인지 묻겠습니다. 비동치를 보이려면 어떤 경우를 찾으면 될까요?
두 식의 값이 서로 다른 배정을 하나 찾으면 됩니다. 어느 쪽이 참인지는 둘 다 가능한가요?
네. 동치 여부를 물을 때에는 한쪽은 참이고 다른 쪽은 거짓인 배정이면 됩니다. 다음 두 줄을 살펴보세요.
| p | q | p→q | q→p |
|---|---|---|---|
| 거짓 | 참 | 참 | 거짓 |
| 참 | 거짓 | 거짓 | 참 |
두 줄 모두 두 식이 동치가 아님을 보여 줍니다.
그렇습니다. 이제 질문을 바꿔, p→q를 전제로 q→p를 결론 내리는 논증의 반례를 묻겠습니다. 어느 줄을 골라야 하나요?
첫째 줄입니다. 전제인 p→q가 참이고 결론인 q→p가 거짓이어야 하니까요. 둘째 줄에서는 전제가 거짓이라 그 방향의 반례로 쓸 수 없습니다.
바로 그 차이입니다. 동치는 두 식의 값이 항상 같은지를 묻습니다. 논증의 반례는 전제와 결론의 역할에 맞추어 값의 방향까지 확인합니다.
p=참, q=거짓인 배정은 ① p→q와 q→p가 동치라는 주장, ② p→q에서 q→p가 따라온다는 주장 가운데 무엇을 반박하나요?
답과 풀이 확인하기
①은 반박합니다. ②에 대한 반례는 아닙니다.
이 배정에서 p→q는 거짓이고 q→p는 참이므로 값이 다릅니다. 따라서 동치는 성립하지 않습니다. 그러나 ②에서는 전제 p→q가 참이어야 하므로 이 배정은 반례의 조건을 채우지 못합니다.
혼자 만든 반례를 끝까지 확인해 볼까요?
배정을 찾고 모든 전제와 결론의 값을 적어 봅니다.
이제 새 논증을 직접 검토해 보세요. 반례를 찾았으면 배정만 쓰고 멈추지 말고, 각 전제의 값과 결론의 값까지 확인해 주세요. 타당하다고 판단했다면 반례가 될 모든 후보를 어떻게 제외했는지도 설명합니다.
전제 p→(q∨r), p / 결론 q의 반례를 하나 만들어 보세요. p·q·r의 값을 모두 적고 물건의 배치로도 설명해 보세요.
답과 풀이 확인하기
p=참, q=거짓, r=참입니다. 연필과 공책은 있고 지우개는 없습니다.
q를 거짓으로 두고 전제 p를 참으로 둡니다. 첫째 전제가 참이려면 q∨r이 참이어야 하므로 r을 참으로 두면 됩니다. p→(q∨r)는 참→참으로 참이고, p도 참입니다. 결론 q는 거짓입니다.
전제 p∨q, ¬p / 결론 q의 반례를 찾을 수 있나요? q를 거짓으로 놓고 나머지 값을 정해 보세요.
답과 풀이 확인하기
반례가 없습니다. 이 논증은 타당합니다.
q를 거짓으로 놓고 ¬p를 참으로 유지하려면 p도 거짓이어야 합니다. 그러면 p∨q가 거짓이 됩니다. 결론을 거짓으로 하면서 전제 둘을 모두 참으로 만들 방법이 없습니다.
전제 p→q, ¬q / 결론 ¬p의 반례를 찾는 사람이 “p=참, q=거짓”이라고 적었습니다. 전제와 결론의 값을 확인하고 판단해 보세요.
답과 풀이 확인하기
결론 ¬p는 거짓이지만 전제 p→q도 거짓이므로 반례가 아닙니다. 이 논증에는 반례가 없습니다.
결론 ¬p를 거짓으로 만들려면 p=참이어야 합니다. 전제 ¬q를 참으로 만들려면 q=거짓이어야 합니다. 그러면 첫째 전제가 반드시 거짓이 됩니다. 반례가 될 값이 모두 정해진 뒤 전제와 충돌하므로 후건부정은 타당합니다.
반례를 찾는 문제와 타당한 논증을 확인하는 문제가 섞여 있으니, 무조건 값을 하나 만들어 내려고 하면 안 되겠어요.
네. 문제의 조건을 만족하는 경우가 실제로 있는지 확인하는 것이 목적입니다. “없다”는 결론에는 모든 후보를 배제했다는 이유가 필요합니다.
반례를 다른 사람에게 어떻게 설명하나요?
대상과 조건, 검산 결과를 짧게 정리합니다.
혼자 풀 때는 글자와 참·거짓만 적어도 이해했는데, 다른 사람에게 설명하려니 어디부터 말해야 할지 모르겠어요.
세 가지를 순서대로 말해 보세요. 첫째, 어떤 논증을 검토하는지 전제와 결론을 적습니다. 둘째, 글자의 뜻을 지키는 구체적인 후보를 만듭니다. 셋째, 그 후보에서 각 전제는 참이고 결론은 거짓임을 확인합니다.
처음의 상자 논증을 어떻게 정리하나요?
검토한 논증: 연필 또는 지우개가 있고 연필이 있으므로, 지우개는 없다는 논증입니다.
반례 후보: 같은 상자의 같은 시점에 연필과 지우개가 모두 들어 있다고 생각합니다.
확인: 적어도 하나 있다는 말과 연필이 있다는 말은 모두 참입니다. 지우개가 없다는 결론은 거짓입니다. 따라서 이 전제들만으로 그 결론을 보장할 수 없습니다.
무엇을 반박했는지도 정확하게 말해야겠어요. 지우개가 실제로 있다는 사실을 확인한 것은 아니고, 앞의 두 정보만으로 없다고 확정할 수 없다는 것을 밝혔습니다.
좋습니다. 반례를 검토하다 보면 모든 전제를 함께 참으로 만드는 것 자체가 가능한지도 궁금해집니다. 다음 편에서는 그 질문을 다룹니다. 언제나 참인 식, 언제나 거짓인 식, 여러 조건이 함께 성립하는 경우를 각각 살펴보겠습니다.
오늘 연습한 논증 가운데 하나를 골라 “반례의 후보는 …입니다. 전제들은 …이므로 모두 참입니다. 결론은 …이므로 거짓입니다”를 완성해 보세요.
답과 풀이 확인하기
예: p→q, q에서 p를 얻는 논증의 반례는 연필은 없고 지우개는 있는 상태입니다.
이때 p→q는 거짓→참이므로 참이고, q도 참입니다. 결론 p는 거짓입니다. 자신의 답에서도 같은 대상·시점·글자의 뜻을 유지했는지, 전제를 하나도 빠뜨리지 않았는지 확인하세요.
오늘 익힌 내용을 어떻게 설명할까요?
예시를 하나 정해서 설명해 보세요. 다시 생각해 보고 싶은 질문도 함께 적을 수 있습니다.
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참고한 논리학 자료
3개 자료개념의 정의와 기호의 뜻을 아래 자료로 확인했습니다. 대화와 생활 예시는 학습을 위해 작성했습니다.
01Open Logic Project, forall x: Calgary — 2. The scope of logic
2.1~2.3절에서 논리적 귀결·타당성과 반례의 관계를 확인했습니다. 상자와 물건, 잘못된 반례 후보, 연습 대화는 이 연재를 위해 새로 작성했습니다.
원문 확인02Open Logic Project, forall x: Calgary — 12. Semantic concepts
12.2절의 동치와 12.4절의 논리적 귀결을 구별했습니다. 비동치를 보이는 배정과 특정 방향의 추론에 대한 반례가 요구하는 조건을 대조했습니다.
원문 확인03Open Logic Project, forall x: Calgary — 15. Partial truth tables
Equivalence와 Validity and entailment 항목에서 한 배정으로 비동치·부당성을 확인하는 방법을 참고했습니다. 참·거짓을 거꾸로 정하는 예시와 모든 후보를 확인해야 한다는 설명은 자체 구성했습니다.
원문 확인기초 논리학 · 제14편
반례 하나로 논증을 어떻게 검토하나요?