‘그리고’로 묶으면 언제 참인가요?

좋습니다. 책상 위에 상자 하나가 있다고 생각해 보세요. 연필과 지우개가 들어 있는지 확인할 겁니다. 이번에 쓰는 상자와 물건은 설명을 위한 가상 사례입니다. 다른 상자로 바꾸거나 중간에 물건을 옮기지 않고, 같은 때의 모습을 살펴보겠습니다.

네. 글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. 오늘은 이미 약속한 두 내용을 연결합니다. 상자를 열어 보니 연필도 들어 있고 지우개도 들어 있습니다. 이것을 한 번에 어떻게 설명하겠어요?

그 설명에서 “그리고”의 역할을 하는 기호가 ∧입니다. 두 명제를 이 기호로 연결해 p∧q라고 씁니다. 두 내용이 모두 성립한다고 말하는 것이지요.

기호만 소리 내어 읽을 때는 그렇게 읽어도 좋습니다. 뜻까지 설명할 때는 글자마다 약속한 내용을 넣어 주세요. 첫째, p가 무슨 뜻인지 확인해 볼까요?

둘째, q의 뜻을 확인해 볼까요?

정확합니다. 자연스럽게 말하면 “이 상자 안에 연필과 지우개가 모두 들어 있다”라고 할 수 있습니다. p∧q는 두 내용이 모두 참일 때 참입니다. 이렇게 ∧로 연결하는 것을 논리학에서는 연언이라고 부릅니다. 지금은 “그리고로 연결한다”는 뜻과 함께 익혀 두세요.

네. 어느 한쪽을 빠뜨리면 “모두 들어 있다”는 설명을 확인한 것이 되지 않습니다. 기호의 모양이 낯설 때마다 p와 q를 원래 말로 풀어 읽어 보세요.

이번에는 가능한 다른 모습을 생각해 봅시다. 상자 안에 연필만 있고 지우개는 없습니다. p와 q를 각각 판단해 주세요.

그러면 “연필과 지우개가 모두 들어 있다”는 p∧q는 어떤가요?

좋습니다. 이번에는 지우개만 들어 있다고 해 봅시다. p는 거짓, q는 참입니다. 이때도 두 물건이 모두 있다는 p∧q는 거짓입니다. 어느 쪽이 거짓인지에 따라 이유를 구체적으로 설명할 수 있겠지요.

맞습니다. 한 부분만 참인 경우에는 그 부분이 참이라는 사실은 그대로 인정합니다. 다만 “둘 다 참이다”라는 전체 판단에는 두 부분이 모두 맞아야 합니다. 여기서는 참이나 거짓으로 판단하므로 “절반쯤 참”이라는 값을 따로 쓰지 않습니다.

네. p에는 참과 거짓 두 경우가 있고, 각각의 경우에 q도 참 또는 거짓일 수 있습니다. 그래서 네 가지 조합을 적습니다. 각 조합에서 p∧q가 참인지 거짓인지를 함께 적은 표를 진리표라고 합니다.

첫째 줄을 실제 상자에 맞춰 읽어 볼까요? p가 참이고 q도 참입니다. 연필과 지우개가 모두 있으니 p∧q는 참입니다.

셋째 줄에는 연필이 없고 지우개가 있습니다. p가 거짓이므로 “연필과 지우개가 모두 있다”는 설명은 거짓입니다. 넷째 줄에는 두 물건이 모두 없습니다. p도 거짓이고 q도 거짓이므로 p∧q도 거짓입니다.

그렇게 익히면 좋습니다. 네 줄은 한 상자가 동시에 네 모습이라는 뜻이 아닙니다. 생각해 볼 수 있는 네 경우를 따로따로 적은 것입니다. 실제 상자를 확인하면 그중 어느 경우에 해당하는지 알 수 있습니다.

지금 알고 있는 것은 p가 참이라는 사실입니다. q는 아직 확인해야 합니다. 지우개가 있으면 p∧q는 참이고, 없으면 거짓입니다. 그래서 현재 정보만으로는 p∧q의 참·거짓을 결정할 수 없습니다.

그렇습니다. 모른다는 말은 우리의 확인 상태를 나타냅니다. 지우개가 실제로 들어 있는지는 별개의 일이지요. 이번에는 연필이 없다는 사실을 확실히 확인했다고 해 봅시다. 지우개가 있는지는 아직 모릅니다. p∧q는 어떤가요?

맞습니다. 참이라고 판단하려면 두 부분이 모두 참인지 확인해야 합니다. 거짓이라고 판단할 때는 한 부분이 거짓이라는 사실만 확인해도 충분합니다. 지금은 연필이 없다는 사실이 그 근거입니다.

그때는 세 경우가 가능합니다. 연필만 있을 수도, 지우개만 있을 수도, 두 가지 모두 없을 수도 있습니다. p∧q가 거짓이라는 정보로 알 수 있는 것은 두 내용이 모두 참인 경우는 아니라는 것까지입니다. 어느 물건이 없는지는 더 확인해야 합니다.

네. 두 물건이 모두 들어 있는지는 어느 쪽부터 말해도 같습니다. 같은 p와 q를 쓰는 동안에는 p∧q와 q∧p의 참·거짓이 같습니다. ∧는 왼쪽에 적힌 내용을 먼저 확인하라는 뜻도 담고 있지 않습니다.

일상의 표현에는 상황에 따라 시간 순서가 함께 전해집니다. 논리 기호 ∧로 나타낸 내용은 두 일이 모두 일어났다는 것까지입니다. 손을 씻은 일과 간식을 먹은 일의 순서를 정확히 전하려면 “손을 씻은 뒤 간식을 먹었다”처럼 순서를 따로 밝혀야 합니다.

잘 구별했습니다. 어떤 내용을 기호로 옮겼는지 확인하는 이유가 여기에도 있습니다. 연필과 지우개가 지금 들어 있다는 이번 사례는 두 물건의 유무를 함께 말합니다. 누가 먼저 넣었는지, 왜 넣었는지는 이 기호만으로 알 수 없습니다.

좋습니다. 첫째, p를 원래 뜻으로 읽습니다. 둘째, ¬q를 읽습니다. 셋째, 두 내용을 ∧로 연결합니다. 이번에는 p와 ¬q가 모두 참인지 확인합니다.

네. 반대로 연필과 지우개가 모두 들어 있다면 q가 참이므로 ¬q는 거짓입니다. 이때 p∧¬q는 거짓이 됩니다. 앞에서 배운 p∧q와 구별해야 할 부분은 바로 q 앞의 ¬입니다.

정확합니다. 기호를 읽을 때 어느 부분을 부정하는지 확인하면 뜻을 유지할 수 있습니다. 이번 예에서 ¬는 바로 뒤의 q에 붙어 있습니다. 전체를 부정하는 표현과 괄호는 이후에 차근차근 배우겠습니다.

좋습니다. 정답과 해설을 펼쳐 확인할 수 있습니다. 먼저 스스로 답하고, “어느 부분이 참이고 어느 부분이 거짓이라서 전체가 이렇게 된다”고 설명해 보세요.

좋습니다. 다음 편에서는 “또는”을 나타내는 ∨를 읽습니다. 같은 연필과 지우개 사례에서 “둘 다”가 “적어도 하나”로 바뀌면 어떤 경우가 참이 되는지 살펴보겠습니다.