잠깐 가정해서 조건문을 어떻게 증명하나요?

꼭 그렇지는 않습니다. 조건문을 증명할 때에는 전건이 참이라고 잠시 가정했을 때 후건이 따라오는지 살펴볼 수 있습니다. 가정했다는 이유만으로 실제 상자에 연필이 있다고 발표하지는 않습니다.

글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. p를 가정한다는 것은 이번 추론 구간에서 연필이 있는 경우를 살펴본다는 뜻입니다. 글자 p의 뜻을 새로 정하거나, 상자 속 물건을 바꾸는 행동이 아닙니다.

맞습니다. 오늘 배울 것은 그 가정을 어디서 시작하고 어디서 끝내며, 어떤 결과를 얻을 수 있는지 적는 방법입니다.

원래 전제는 지금 검토하는 논증이 처음부터 내세운 근거입니다. 임시 가정은 특정한 증명 방법을 쓰려고 그 안에 잠시 더하는 조건입니다. 두 종류 모두 추론할 때 사용할 수 있지만, 임시 가정에는 사용하는 구간을 표시합니다.

네. 그때 q는 원래 전제 p→q와 임시 가정 p를 사용해 얻은 결과입니다. p가 없어도 q가 따라온다고 바꾸어 읽으면 안 됩니다. 우리는 표의 “열린 임시 가정” 열에 현재 사용 가능한 임시 가정을 적겠습니다. 원래 전제는 그 열에 넣지 않고 근거 열에 따로 표시합니다.

가장 간단한 예로 (p∧q)→p를 증명해 보겠습니다. “연필과 지우개가 모두 있으면 연필이 있다”입니다. 조건문의 전건 전체가 무엇인가요?

첫째, p∧q를 가정했습니다. 둘째, 그 안에서 p를 얻었습니다. 셋째, 그 구간을 닫고 “p∧q이면 p”를 적었습니다. 이것을 조건문 도입이라고 합니다. 조건 증명이라고도 부릅니다.

정확합니다. 가정을 닫는다는 것은 그 가정이 거짓이라고 선언하는 일이 아닙니다. 그 가정을 더 이상 독립적인 근거로 쓰지 않으면서, 가정에서 결과까지의 관계를 조건문으로 적는 일입니다.

맞습니다. 6줄은 두 원래 전제에서 따라옵니다. 3줄의 p는 닫았으므로 이제 p가 실제로 참이라고 주장하지 않아도 됩니다. 하지만 원래 전제 두 개를 사용했다는 사실은 남습니다.

이것이 증명을 적는 이유입니다. 마지막 결과만 맞아 보이는지 묻는 대신, 각 결과가 어느 근거에서 나왔는지 확인할 수 있습니다.

그 열에는 임시 가정만 적습니다. 원래 전제가 남아 있는지 따로 보아야 합니다. 원래 전제 q에서 p→q를 증명하는 짧은 예를 보겠습니다.

네. 이 고전 명제논리의 규칙에서는 가정한 전건을 중간 계산에 꼭 사용해야 하는 것은 아닙니다. 후건 q가 원래 전제에서 주어졌으므로 p가 참인 경우에도 q를 쓸 수 있습니다. 다만 p→q를 얻은 논증에는 여전히 q라는 원래 전제가 있습니다.

p를 가정하고 p를 다시 적은 다음 구간을 닫으면 p→p를 얻습니다. 그렇다면 닫힌 구간의 p와 이 조건문을 써서 p를 증명해도 될까요?

4줄에서 문제가 생깁니다. 2줄은 이미 닫힌 구간 안의 식이어서 지금 전건으로 인용할 수 없습니다. 3줄의 p→p는 사용할 수 있지만, 그것만으로 p를 얻지는 못합니다.

맞습니다. 줄 번호와 함께 가정의 범위를 봅니다. 닫힌 구간 전체는 조건문 도입처럼 그 구간을 요구하는 규칙의 근거가 됩니다. 그 안의 결과 하나를 현재 사실처럼 꺼내는 것은 별개의 일입니다.

좋습니다. 목표의 큰 구조를 보면 필요한 일이 보입니다. 바깥의 →를 만들려면 p에서 출발합니다. 후건의 ∧를 만들려면 q와 r을 모두 얻습니다. q를 구한 시점에 곧바로 가정을 닫으면 아직 목표 전체를 얻지 못합니다.

이번에는 원래 전제 p→(q→r)에서 (p∧q)→r을 얻어 보겠습니다. 무엇을 가정해야 하나요?

5줄에서는 아직 r을 얻지 않았습니다. 바깥 조건문 p→(q→r)의 후건 전체인 q→r을 얻었습니다. 그다음 q를 사용해야 r까지 갑니다.

p→(q→p)는 원래 전제 없이도 증명할 수 있습니다. 바깥 조건문의 전건 p를 가정한 뒤, 안쪽 조건문 q→p를 만들면 됩니다.

3줄에서 1줄을 쓸 수 있는 이유는 바깥 p 가정이 아직 열려 있기 때문입니다. 4줄에서는 q 가정만 닫았습니다. 따라서 q→p는 여전히 바깥의 p 가정 아래 있습니다. 5줄에서 p 가정까지 닫아야 마지막 조건문이 나옵니다.

맞습니다. 이 표에서는 안쪽 구간을 끝낸 뒤 그 결과 q→p를 바깥 구간에 적습니다. 그러고 나서 바깥 구간의 시작 p와 마지막 q→p를 연결합니다. 조건문의 괄호가 증명의 순서를 보여 줍니다.

안 됩니다. 2줄의 q는 닫힌 안쪽 구간에 있습니다. 현재 열린 가정은 p뿐입니다. 4줄에서 얻은 q→p를 사용하는 것은 가능하지만, 닫힌 2줄의 q를 새 근거로 삼을 수는 없습니다.

또한 마지막 5줄의 p→(q→p)가 증명되었다고 p나 q가 실제로 참이라는 결론이 생기지는 않습니다. 가정 없이 얻은 식 전체와 그 안에 들어 있는 부분을 구별하세요.

쌍조건문에는 두 방향이 필요합니다. p를 가정해 q를 얻는 과정과, q를 가정해 p를 얻는 과정을 각각 보여야 합니다. 한쪽 방향을 끝냈다고 다른 쪽을 생략할 수 없습니다.

맞습니다. 첫 구간은 이미 닫혔습니다. 각 방향이 자기 가정과 사용할 수 있는 원래 전제에서 성립해야 합니다. 또 이 예에서는 원래 전제가 없지만, 다른 예에서 원래 전제를 썼다면 쌍조건문 역시 그 전제에 기대고 있습니다.

원래 전제들이 모두 참인 어떤 배정을 생각해 봅시다. p를 가정한 구간에서 규칙을 바르게 써서 q를 얻었다면, p도 참인 경우에는 q가 참이어야 합니다. 그래서 원래 전제들이 참인데 p는 참이고 q는 거짓인 경우가 생기지 않습니다.

네. p가 거짓인 배정에서는 실질조건문 p→q가 참입니다. p가 참인 배정에서는 증명 과정이 q의 참을 보장합니다. 이 설명은 중간의 규칙을 바르게 쓰고 가정의 범위를 지켰다는 조건 아래에서 성립합니다.

진리표는 가능한 배정을 직접 확인합니다. 증명은 허용된 추론을 연결합니다. 짧은 예에서는 두 방법으로 대조하면 잘못된 줄이나 가정의 사용을 발견하기 좋습니다. 증명이 된다고 원래 전제의 실제 사실 확인까지 끝난 것은 아닙니다.

마지막으로 원래 전제 q→r에서 (p∧q)→(p∧r)를 증명해 보겠습니다. 답을 펼치기 전에, 어떤 식을 가정하고 무엇을 끝에 얻어야 할지 먼저 말해 보세요.

맞습니다. 이제 자기가 쓴 증명에 세 가지를 물어보세요. 이 줄의 근거는 무엇인가요? 지금도 사용할 수 있는 근거인가요? 마지막에 어떤 가정을 닫았나요? 줄 번호만 맞추는 것보다 이 질문들이 중요합니다.

다음 편에서는 이렇게 가정의 범위를 표시하는 방법으로 경우를 나누어 살피고, 어떤 가정에서 모순이 생기는지도 검토하겠습니다.