부정은 어떻게 정확하게 하나요?

글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. 이 편의 학습자와 선생님은 가상 인물이며, 대화와 사례는 학습을 위해 구성했습니다. 먼저 상자 하나를 오늘 오후 3시에 확인하는 상황을 정하겠습니다.

맞습니다. 첫째, p의 내용을 확인합니다. 둘째, 그 내용 전체가 성립하지 않는 경우를 생각합니다. 셋째, 사람·대상·시점을 바꾸거나 새로운 이유를 더하지 않았는지 확인합니다. 그렇게 얻은 ¬p는 p가 참일 때 거짓이고, p가 거짓일 때 참입니다.

그렇습니다. 이 연재에서는 뜻이 정해진 내용을 참 또는 거짓으로 평가하는 고전논리를 공부합니다. 그 안에서 p와 ¬p는 동시에 참일 수 없고, 동시에 거짓일 수도 없습니다. 정확한 부정인지 살펴볼 때 이 두 가지를 확인하면 도움이 됩니다.

같은 시점을 기준으로 아라가 도서관 밖 공원에 있다고 가정해 봅시다. 그러면 “도서관 안에 있다”도 거짓이고 “집에 있다”도 거짓입니다. 두 내용이 함께 거짓인 경우가 있으므로 서로 정확한 부정이 아닙니다.

네. 부정은 원래 내용이 거짓인 경우를 빠뜨리지 않아야 합니다. 숫자로 확인하면 더 분명합니다. “이 수는 10보다 크다”의 부정을 “이 수는 10보다 작다”라고 하면 10 자체를 놓칩니다. 10에서는 두 내용이 모두 거짓이니까요.

맞습니다. 어떤 말을 반대 성질로 바꾸는 일과 그 내용이 성립하지 않는다고 말하는 일은 구별해야 합니다. “뜨겁지 않다”에서 곧바로 “차갑다”를 얻으려면, 그 상황에서 둘 중 하나만 가능하다는 추가 조건이 필요합니다. 그런 조건이 주어졌는지 확인해 주세요.

이번에는 같은 상자와 같은 확인 시점을 두고 두 글자의 뜻을 정하겠습니다.

좋습니다. 괄호는 ¬가 어디까지 적용되는지 알려 줍니다. ¬(p∧q)에서는 “둘 다 있다” 전체를 부정합니다. 반면 (¬p)∧q는 “연필은 없고 지우개는 있다”입니다. 두 식의 ¬가 부정하는 범위가 다릅니다.

네. 또 (¬p)∧(¬q)는 “연필도 없고 지우개도 없다”입니다. 이것도 전체 부정과 다릅니다. 연필만 있는 상자는 “둘 다 있지는 않다”에는 맞지만 “둘 다 없다”에는 맞지 않습니다.

그럴 때에는 뜻을 풀어서 적으면 됩니다. “둘 가운데 적어도 하나가 없다”라고 쓰거나 “연필도 없고 지우개도 없다”라고 쓰세요. 기호에서는 괄호를 분명히 하고, 일상어에서는 어떤 경우를 포함하는지 밝혀 주는 것이 좋습니다.

그 정보만으로는 적을 수 없습니다. 상자를 열어 보지 않은 동안에도 연필이 있을 수 있고 없을 수 있습니다. p인지 모른다는 사실은 p가 거짓이라는 사실과 다릅니다. 모르겠다는 것은 현재 우리의 정보에 관한 말입니다.

정확합니다. 마찬가지로 “민수가 신청서를 제출했다는 기록을 아직 찾지 못했다”에서 “민수는 제출하지 않았다”를 곧바로 얻을 수는 없습니다. 기록을 덜 확인했거나 다른 곳에 보관했을 가능성이 남아 있기 때문입니다.

예를 들어 모든 제출이 빠짐없이 기록되고, 정확한 대상과 기간의 기록 전체를 확인했다는 근거가 필요합니다. 그때에는 해당 기록에 없다는 사실을 제출 여부 판단에 사용할 수 있습니다. 단순히 아직 발견하지 못했다는 말에는 그런 조건이 들어 있지 않습니다.

네. 고전논리의 표는 p가 참인 경우와 거짓인 경우를 각각 계산합니다. 우리가 어느 경우인지 알고 있다는 뜻은 아닙니다. 참·거짓을 계산하는 규칙과 그 사실을 확인할 자료가 있는지를 함께 구별해 주세요.

가상의 모둠원 네 명이 오늘 정오까지 신청서를 제출하는 상황입니다. 대상은 아라·민수·지수·도윤, 정확히 이 네 명으로 정합니다. “네 명 모두 정오까지 제출했다”를 부정해 봅시다.

맞습니다. 한 명, 두 명, 세 명, 네 명이 제출하지 않은 경우를 모두 포함합니다. 특히 아무도 제출하지 않은 경우에도 “모두 제출했다”는 거짓입니다. 그래서 그 부정은 참입니다.

바로 그 차이입니다. “일부만 제출했다”를 제출한 사람이 적어도 한 명 있고, 제출하지 않은 사람도 적어도 한 명 있다는 뜻으로 쓰면, 네 명 중 한 명부터 세 명이 제출한 경우입니다. “모두 제출한 것은 아니다”는 제출자가 0명인 경우까지 포함하므로 두 표현의 범위가 다릅니다.

좋습니다. “모두”를 부정할 때에는 해당 대상 가운데 조건에 맞지 않는 사람이 적어도 한 명 있다고 풀어 보세요. 그 한 명이 누구인지 아직 모를 수는 있어도, 모두에 대한 주장을 부정하려면 그런 예외가 있다는 뜻이 됩니다.

맞습니다. “적어도 한 명 제출했다”의 부정은 “한 명도 제출하지 않았다”입니다. 네 명 중 한 명이라도 제출했다면 원래 내용이 참이므로 그 부정은 거짓입니다. 두 명이나 네 명이 제출한 경우도 원래 내용에 포함됩니다.

정확합니다. 한 명만 제출해도 “아무도 제출하지 않았다”는 거짓입니다. 네 명 전원이 제출해도 거짓입니다. 따라서 그 부정은 제출자가 한 명부터 네 명까지인 경우를 모두 포함합니다.

그렇습니다. 이 편에서는 혼동을 줄이려고 “적어도 한 명”이라고 풀어서 씁니다. 또 “모두 제출하지 않았다”는 말은 부정의 범위를 다르게 읽을 수 있습니다. 전원이 미제출이라는 뜻인지, 전원 제출은 아니라는 뜻인지 확인하고 “제출자 0명” 또는 “미제출자가 적어도 한 명”으로 분명하게 적어 주세요.

가상 행사에서 “신청자가 5명 이상이다”를 부정해 봅시다. 먼저 5명 이상에 어떤 수가 들어가는지 말해 볼까요?

맞습니다. “이상”에 경계값 5가 포함되므로 그 부정인 “미만”에는 5가 들어가지 않습니다. “초과”와 “이하”의 관계도 확인해 봅시다.

좋습니다. 여기서는 사람 수가 정수라는 점을 사용했습니다. 길이처럼 소수로 나타낼 수 있는 수에서는 조심해야 합니다. “길이가 5cm 이상이다”의 부정도 “5cm 미만이다”이지만, 이것을 “4cm 이하이다”로 바꿀 수는 없습니다. 4.7cm처럼 그 사이 값이 있기 때문입니다.

맞습니다. 반면 “10보다 크다”의 부정은 “10 이하”이며, 정수여도 10을 포함합니다. “10 이상”과 “10보다 크다”는 경계값 10의 포함 여부가 다릅니다. 정확히 어느 범위를 부정했는지, 경계값 자체를 넣어 확인하면 실수를 줄일 수 있습니다.

가상의 연습실 사례입니다. p를 “민수는 오늘 이 연습실에서 피아노를 쳤다”로 정하겠습니다. p의 부정은 “민수는 오늘 이 연습실에서 피아노를 치지 않았다”입니다. 이것만으로 연주하지 않은 이유까지 알 수 있나요?

맞습니다. “안 했다”라는 표현을 언제나 일부러 하지 않았다는 뜻으로만 읽어서는 안 됩니다. 안은 어떤 사건이나 사실이 성립하지 않는다는 단순 부정에도 쓰입니다. 행위자의 의도는 맥락과 추가 설명을 살펴야 합니다.

네. 여기서 “치지 못했다”는 연습실이 잠겨 연주를 실행할 수 없었다는 뜻으로 씁니다. 이처럼 능력이나 여건 때문에 하지 못했다는 설명은 단순히 하지 않았다는 내용보다 더 많은 것을 말합니다. ¬p만 주어졌다고 그 이유까지 따라오지는 않습니다.

그렇습니다. 금지는 어떤 행동을 허용하는지에 관한 규범이고, p는 행동이 실제로 있었는지에 관한 사실입니다. 금지 안내가 있다는 이유만으로 ¬p라고 적으면 두 내용을 섞게 됩니다.

맞습니다. 또 금지 규정이 없다는 말에서 별도의 허가를 받았다는 사실까지 얻을 수는 없습니다. 부정하는 대상이 행동 사실인지, 할 수 있었다는 설명인지, 규정에 관한 내용인지 먼저 분명히 해 주세요.

상자 예시로 돌아갑니다. p는 “이 상자에 연필이 있다”, q는 “이 상자에 지우개가 있다”입니다. 같은 시점을 기준으로 “둘 다 있다”를 부정하면 어떤 상자를 포함할까요?

그렇습니다. “연필이 없거나 지우개가 없다”라고 쓰면 됩니다. 여기의 또는은 양쪽이 모두 참인 경우도 포함합니다. 따라서 ¬(p∧q)는 (¬p)∨(¬q)와 같은 참·거짓을 가집니다. 네 경우를 함께 확인해 봅시다.

둘째 줄에서는 연필은 있고 지우개는 없습니다. 둘 다 있다는 주장이 거짓이므로 그 부정은 참입니다. 오른쪽에서는 ¬q가 참이어서 또는 전체가 참입니다. 셋째 줄은 반대로 연필이 없고 지우개가 있습니다. 이번에는 ¬p가 참이므로 두 식이 모두 참입니다.

맞습니다. 이 관계를 드모르간 법칙이라고 부릅니다. 통째로 부정한 연언을 풀어 쓸 때에는 각 부분을 부정하고 ∧를 ∨로 바꿉니다. ∧를 그대로 둔 ¬p∧¬q는 넷째 줄만 참이므로 원래의 전체 부정과 다릅니다.

맞습니다. 어느 하나라도 있으면 p∨q가 참이므로 그 부정은 거짓입니다. 양쪽이 모두 없을 때에만 전체 부정이 참입니다. 그래서 ¬(p∨q)는 (¬p)∧(¬q)와 같은 참·거짓을 가집니다.

둘째 줄은 연필이 있으므로 p∨q가 참이고, 셋째 줄은 지우개가 있으므로 p∨q가 참입니다. 그래서 두 줄 모두 전체 부정은 거짓입니다. 오른쪽에서도 각각 ¬p 또는 ¬q가 거짓이므로 “둘 다 없다”는 성립하지 않습니다.

좋습니다. 이것도 드모르간 법칙입니다. 두 법칙을 이름만으로 외우기보다 “둘 다 있다”가 거짓인 경우와 “적어도 하나 있다”가 거짓인 경우를 각각 생각해 보세요. 그래야 왜 연결 기호도 바뀌는지 이해할 수 있습니다.

이제 6편에서 배운 고전 명제논리의 실질조건문을 부정하겠습니다. 번호와 테두리 색을 따로 정해 만든 가상 카드가 있습니다. 번호는 정수로 붙입니다. p는 “선택한 이 카드의 번호는 짝수이다”, q는 “이 카드의 테두리는 파란색이다”입니다.

맞습니다. “이 카드는 짝수 번호인데 테두리가 파란색이 아니다”라고 읽습니다. ¬(p→q)는 p∧¬q와 같은 참·거짓을 가집니다. 짝수라는 앞부분을 유지하고, 파란색이라는 뒷부분을 부정해서 둘 다 성립한다고 말합니다.

셋째 줄과 넷째 줄은 번호가 짝수가 아닙니다. 이 두 줄에서 실질조건문은 참이므로 그 부정은 거짓입니다. 테두리가 파란색이 아니라는 사실만으로는 부족합니다. 번호가 짝수라는 사실도 함께 있어야 조건문 전체를 부정하는 경우가 됩니다.

정확합니다. ¬p→¬q처럼 양쪽을 부정해도 전체 부정이 되지 않습니다. 먼저 ¬가 조건문 전체에 적용된다는 것을 괄호로 표시한 다음, 조건문이 거짓인 경우를 찾아야 합니다.

이번에는 대상이 한 장에서 카드 전체로 바뀌었습니다. 그 규칙의 부정은 “짝수 번호이면서 파란 테두리가 아닌 카드가 적어도 한 장 있다”입니다. 그런 카드 한 장이면 모두에 대한 규칙의 반례가 됩니다. 나머지 카드의 테두리 색은 이 부정만으로 정해지지 않습니다.

좋습니다. 짝수·파랑과 홀수·파랑 아님에서는 두 값이 같으므로 쌍조건문이 참입니다. 이 두 경우를 제외하면 짝수·파랑 아님, 홀수·파랑의 두 경우가 남습니다. 여기서 ¬(p↔q)가 참입니다.

맞습니다. 두 가지 참인 경우를 식으로 풀면 (p∧¬q)∨(¬p∧q)입니다. 첫 괄호는 p만 참인 경우, 둘째 괄호는 q만 참인 경우를 나타냅니다. 이 두 경우 가운데 하나가 성립하므로 p와 q 중 정확히 하나만 참이라고 읽을 수 있습니다.

그렇습니다. p와 q가 모두 참인 첫째 줄에서 직접 계산해 봅시다. ¬p와 ¬q는 모두 거짓이고, 두 거짓을 ↔로 연결하면 참입니다. 원래 p↔q도 참이었으므로 전체의 부정이 될 수 없습니다. 두 값을 함께 뒤집으면 같던 값은 여전히 같고, 다르던 값은 여전히 다릅니다.

다시 p를 “이 상자에 연필이 있다”로 정합니다. ¬p는 “이 상자에 연필이 없다”입니다. ¬¬p는 이 두 번째 내용 전체를 다시 부정한 것입니다.

첫째 줄에서는 p가 참이어서 첫 부정은 거짓, 두 번째 부정은 참입니다. 둘째 줄에서는 p가 거짓이어서 첫 부정은 참, 두 번째 부정은 거짓입니다. 두 줄 모두 p와 ¬¬p의 값이 같습니다. 고전논리에서 이것을 이중 부정의 관계로 사용합니다.

그 경우에는 첫 번째 단어의 뜻을 살펴야 합니다. p를 “이 음식을 좋아한다”로 정했다고 합시다. “이 음식을 싫어한다”는 p의 정확한 부정이라고 보장되지 않습니다. 좋아하지도 싫어하지도 않는 경우가 있을 수 있기 때문입니다.

맞습니다. 일상에서 “나쁘지 않다”를 칭찬으로 쓰기도 하지만, 그때의 평가 정도와 뉘앙스는 별도로 살펴야 합니다. 이중 부정 규칙은 같은 내용 p의 정확한 부정을 다시 부정했을 때 적용합니다. 부정적인 느낌의 단어 두 개가 있다는 이유만으로 적용하는 규칙은 아닙니다.

일상 대화에서는 참석자가 있는 상황을 먼저 떠올리기 쉽습니다. 여기서는 현대 고전논리의 형식적 해석을 분명히 정하겠습니다. “참석자라면 누구나 명찰을 달았다”를, “참석자 중 명찰을 달지 않은 사람이 한 명도 없다”는 뜻으로 평가합니다.

네. 해당 조건을 어긴 대상이 없어서 참으로 평가하며, 이런 경우를 공허하게 참이라고 부릅니다. 이 판단은 누군가 실제로 명찰을 달았다는 증거가 아닙니다. “명찰을 단 참석자가 적어도 한 명 있다”는 말은 참석자가 0명이므로 거짓입니다.

맞습니다. 여기서 비어 있는 것은 참석자에 해당하는 사람들의 모임입니다. 세상에 사람이나 대상이 아예 없다는 가정을 하는 것은 아닙니다. 또 “모두 명찰을 달았다”에 “참석자가 적어도 한 명 있었다”는 조건을 명시적으로 더하면, 참석자 0명에서는 그 전체 주장이 거짓입니다.

그렇습니다. 실제 보고에서는 “참석자가 0명이었다”라고 사실을 분명히 적는 편이 좋습니다. 일상 표현에 참석자의 존재를 전제한 뜻이 있는지, 논리 연습에서 존재 조건을 따로 두었는지 구별해야 합니다. 형식적 참의 정의가 일상에서 필요한 설명을 모두 대신해 주지는 않습니다.

어떤 기준으로 크다고 했는지 불분명하다면 부정한 뒤에도 그 문제가 남습니다. 비교 대상, 나이, 사용한 기준을 확인해야 합니다. ¬를 붙인 것만으로 키의 경계가 새로 정해지지는 않습니다.

네. 그 약속에서는 부정이 “측정한 키가 180cm 미만이다”가 됩니다. 정확히 180cm이면 원래 내용은 참이고 부정은 거짓입니다. 다만 이것은 해당 연습을 위한 뜻 약속입니다. 모든 일상 대화에서 키가 크다는 말이 반드시 그 기준이라는 주장은 아닙니다.

맞습니다. “모든 사람이 이 책을 좋아하지 않는다”는 표현에서는 좋아한다는 말의 뜻뿐 아니라, 모두와 부정의 범위도 확인해야 합니다. “좋아하는 사람이 한 명도 없다”는 뜻인지, “좋아하지 않는 사람이 적어도 한 명 있다”는 뜻인지에 따라 포함하는 경우가 달라집니다.

좋습니다. 정확한 부정은 정확한 뜻에서 출발합니다. 대상과 시점, 기준, 수의 범위, 괄호의 범위를 확인하세요. 그다음 원래 내용과 부정이 동시에 참인 경우나 동시에 거짓인 경우가 생기는지 시험해 보세요. 그런 경우가 남는다면 부정의 대상이나 표현을 다시 살펴야 합니다.

이번에는 정답 기호만 쓰지 말고, 어떤 대상과 범위를 부정했는지도 말해 보세요. 각 문제의 답과 풀이 확인하기를 누르면 해설을 볼 수 있습니다.

좋습니다. 다음 편에서는 일상어를 연결 기호로 옮기는 과정을 살펴봅니다. 그때에도 오늘 확인한 대상·시점·뜻·부정의 범위를 그대로 적용하면 됩니다. 무엇을 주장했는지 분명히 읽는 일이 정확한 기호 풀이의 출발점입니다.