중단된 경기에서는 무엇을 나눌지 먼저 정합니다
A와 B가 먼저3점을 얻는 놀이를 하고 있습니다. 각 회차의 승자는 동전의 앞·뒷면처럼 같은 가능성으로 결정되며 앞선 결과가 다음 회차의 가능성을 바꾸지 않는다고 가정합니다. 승자가 받기로 한 가상 점수권은8000점입니다. 경기가2대1에서 중단되자 두 사람은 현재 점수대로 나눌지, 끝까지 했을 때의 기회를 반영할지 이야기합니다.
현재 점수는 이미 일어난 결과입니다. 앞으로 이길 확률은 중단 뒤 가능한 경기를 조건에 맞추어 센 값입니다. 어느 쪽을 배분 기준으로 삼는지 먼저 합의해야 같은 계산을 보고도 서로 다른 뜻으로 해석하는 일을 줄일 수 있습니다. 여기서는 남아 있는 우승 기회를 반영한다는 기준을 선택해 계산합니다.
파스칼의 편지에서는 한 회차 뒤의 두 경우를 비교합니다
파스칼은1654년7월29일 페르마에게 보낸 편지에서3점을 먼저 얻는 두 사람의2대1 상태를 다룹니다. 총64피스톨을 놓고 다음 회차를 이기면64, 지면 동점 상태이므로32라는 두 경우를 비교해48과16의 배분을 설명합니다. 이 글의8000점은 원문의 화폐를 현대 가치로 환산한 금액이 아니라 자체 교육용 수치입니다.
우리의 점수권에서 A가 다음 회차에 이기면 경기는 끝나고8000점을 받습니다. B가 이기면2대2이므로 두 사람의 남은 우승 가능성이 같아 A의 몫은4000점입니다. 다음 회차의 두 경우가 같은 가능성이므로 중단 시점 A의 기대 몫은(8000+4000)÷2=6000점입니다. B는2000점을 받게 됩니다.
참고 · 블레즈 파스칼 · 피에르 드 페르마, UCI 공개 영문 번역본 — 중단된 경기의 몫을 구하는 편지 ↗
길이가 다른 종료 경로를 같은 무게로 세면 어긋납니다
A승, B승 뒤 A승, B승 뒤 B승이라는 세 종료 경로만 적고 세 경로가 똑같이 일어난다고 세면 A의 몫을2/3으로 계산하게 됩니다. 그러나 첫 경로는 확률1/2이고 나머지는 각각1/4입니다. 경로가 세 줄이라는 사실과 세 줄의 확률이 같다는 사실은 별개입니다.
두 회차의 결과를 모두 펼치면 AA·AB·BA·BB가 나옵니다. 각 경우의 확률은1/4입니다. AA와 AB에서는 첫 회차에 A가 이미 우승했으므로 두 번째 글자는 우승자를 바꾸지 않는 계산용 연장입니다. BA에서도 A가 이겨 세 경우가 A에게, BB 한 경우가 B에게 해당합니다. 활동은 실제로 우승 뒤 경기를 계속한다고 가정하지 않습니다.
같은 한 점 차이여도 남은 경기의 구조가 다릅니다
활동에서 A와 B의 점수를1대0으로 바꾸어 보세요. 여전히 한 점 차이지만 각자3점까지 남은 횟수가 달라졌습니다. 이때 A의 우승 확률은11/16이고 기대 몫은5500점입니다.2대1일 때의3/4을 모든 한 점 차이 경기에 그대로 적용할 수 없습니다.
동점 상태에서는 두 사람의 조건이 대칭이어서 우승 확률이 각각1/2입니다. 어느 한쪽이 실제로 더 잘하거나 피로 때문에 다음 회차의 확률이 달라진다면 이 모형의 숫자를 그대로 쓸 수 없습니다. 승률과 독립이라는 가정을 바꾸는 순간 새 계산이 필요합니다.
계산의 답과 배분 규칙의 승인을 구분합니다
기댓값 배분은 지금의 우승 기회를 보존한다는 기준 아래에서 얻은 결과입니다. 처음부터 중단 때는 반씩 나누기로 합의했다면 그 규칙도 검토해야 합니다. 수학적 계산 하나가 모든 상황의 유일한 공정성 기준을 정해 주지는 않습니다.
두 사람 역할을 바꾸어 읽고 현재 점수, 남은 회차의 가정, 배분 기준, 계산 결과를 따로 적어 보세요. 원문을 읽을 때도 당시 사용한 수치와 이 페이지의 자체 점수권 모형을 구분하면 역사적 설명과 새 상황의 계산을 함께 확인할 수 있습니다.