보올의 x와 1은 처음부터 참·거짓 숫자였을까?

x는 수치보다 ‘어떤 대상들을 고르는가’에서 출발했습니다

1854년 『사고의 법칙』에서 보올은 일정한 담화 우주 안의 대상 가운데 어떤 클래스를 골라내는 기호를 다룹니다. x는 대상에 1 또는 0을 붙여 x에 속하는지 가르는 선택 기호로 해석할 수 있습니다.

그래서 x²=x는 같은 조건으로 한 번 더 골라도 남는 클래스가 달라지지 않는다는 뜻을 가집니다. 이것은 보통 수 전체에 성립하는 산술 등식이 아니라 클래스 기호에 붙는 특별한 법칙입니다.

보올의 1은 지금 말하고 있는 모든 대상을 담은 담화 우주를 가리킵니다. 1-x는 그 우주 안에서 x가 아닌 대상, 0은 아무 대상도 없는 클래스를 나타냅니다.

참·거짓 해석과 연결되는 길은 분명히 있지만, 1854년의 클래스 계산을 곧바로 현대 컴퓨터의 비트 표기라고 부르면 역사적 역할이 납작해집니다. 원문의 클래스 해석과 이후의 명제·회로 해석을 구분해야 합니다.

xy는 x이면서 y인 대상을 고릅니다. x와 y가 겹칠 때 x+y만으로 합집합을 나타내면 겹친 대상을 두 번 세는 문제가 생깁니다. 아래 활동은 현대 유한 집합에서 x+y-xy가 적어도 하나에 속하는 대상을 한 번씩 남긴다는 관계를 보여 줍니다.

이 표현 하나로 보올의 모든 계산을 현대 불 대수와 같다고 결론내리면 안 됩니다. 역사적 표기에는 연산이 허용되는 조건과 해석상의 제약이 있었고, 이후 제번스·퍼스 등은 이를 바꾸어 갔습니다.