‘딱 한 명’과 ‘적어도 두 명’을 어떻게 쓰나요?

오늘은 명단에서 실제 사람을 골라 보며 만들겠습니다. 먼저 누구를 살펴볼지, 어떤 조건을 만족하는 사람을 셀지 정해 두겠습니다.

그렇습니다. 오늘 “신청자 수”라고 하면 P를 만족하는 서로 다른 사람의 수를 말합니다. 신청서를 몇 장 냈는지나 이름을 몇 번 적었는지는 세지 않습니다.

기호 ∃는 조건에 맞는 대상이 적어도 하나 있다는 뜻입니다. ∃xP(x)는 신청자가 1명이어도, 2명이어도, 더 많아도 참입니다. 신청자가 아무도 없을 때 거짓입니다.

네. 존재문을 확인하기 위해 고른 사람을 증거 대상, 또는 증인이라고 부릅니다. 한 증인을 골라 보여 주는 일은 다른 신청자가 없음을 확인하는 일이 아닙니다.

이 식에는 x와 y가 서로 달라야 한다는 조건이 없습니다. 같은 사람이 두 자리를 모두 충족할 수 있는지 확인해 보겠습니다.

그렇습니다. ∃를 두 번 적었다는 사실은 두 번의 선택 자리를 마련합니다. 두 선택의 결과가 서로 다른 대상이어야 한다는 요구는 별도로 적어야 합니다.

맞습니다. 먼저 신청자를 고르는 두 조건을 유지하고, 그 둘이 서로 다른 사람이라는 조건을 ∧로 덧붙이겠습니다.

네. 서로 다른 신청자 두 명을 고를 수 있으면 됩니다. 세 명이 신청한 별도 명단에서도 그중 두 명을 고를 수 있습니다. 이 식에 “나머지 사람은 신청하지 않았다”는 조건을 넣지 않았기 때문입니다.

그렇습니다. 그러므로 “서로 다른 신청자가 적어도 두 명 있다”는 식 전체를 부정해서 만들 수 있습니다.

바로 그 방식으로 전칭양화사를 사용해 보겠습니다. 영역의 어떤 두 대상을 x와 y에 배정하든, 둘 다 신청자라면 같은 사람이어야 한다고 씁니다.

허용하는 수를 먼저 적어 보겠습니다. 많아야 한 명은 0명 또는 1명을 허용합니다. “한 명이 있다”는 정보가 필요하면 그 조건을 따로 더해야 합니다.

전체 영역에는 네 사람이 있습니다. 비어 있는 것은 신청자 집합입니다. 전칭 조건문의 앞부분 “둘 다 신청자다”를 충족하는 배정이 없어서 반례가 없는 것입니다. 이 과정을 공허하게 참이라고 설명합니다.

그렇습니다. 존재를 확인해서 0명을 제외하고, 많아야 한 명을 확인해서 2명 이상을 제외합니다. 두 조건을 모두 만족하는 인원수는 1명입니다.

x·y·z는 모두 영역의 대상을 배정받는 변수입니다. 뒤쪽 전칭문에서 묶인 변수의 글자를 맞추어 바꾸어도 같은 내용을 말합니다. 여기서는 앞쪽의 존재 확인과 뒤쪽의 모든 쌍 확인을 눈으로 나누어 읽기 쉽게 이름을 달리 적었습니다.

신청자 한 사람을 x에 배정해 둔다고 생각해 보세요. 그 사람에게 P가 참이어야 합니다. 그다음 영역의 모든 y를 살펴, 신청한 사람이라면 바로 그 x와 같은 사람인지 확인합니다.

네. y에 아라를 배정하면 P(y)는 참이고 y=x도 참입니다. y에 보라·찬우·다미 중 누구를 배정해도 P(y)가 거짓이므로 조건문은 참입니다. 모든 y를 확인한 뒤 전체 식이 참이라고 판단합니다.

이 편에서 “아라만 신청했다”는 아라가 신청했고, 다른 사람은 아무도 신청하지 않았다는 뜻으로 정하겠습니다. 먼저 아라의 신청 사실 P(a)를 적습니다. 그다음 신청한 사람이면 아라와 같은 사람이라고 씁니다.

그 식은 “신청했다면 아라다”라고만 요구합니다. 아무도 신청하지 않으면 앞부분 P(x)가 모든 x에서 거짓이어서 전체 전칭문이 참입니다. 그래서 아라가 실제로 신청했다는 P(a)를 함께 적습니다.

네. x·y·z 모두 신청자라고 한 뒤, 세 사람을 둘씩 짝지어 서로 다른지 확인합니다. 가능한 짝은 x와 y, x와 z, y와 z의 세 가지입니다.

처음 명단에서 x에 아라, y에 보라, z에 아라를 배정해 보세요. x≠y도 참이고 y≠z도 참입니다. 하지만 x=z입니다. 앞자리와 뒷자리에 같은 아라가 들어갔습니다. 서로 다름은 이렇게 이어 붙일 수 없습니다.

그렇습니다. 서로 다른 신청자 세 명을 찾을 수 없다는 뜻으로 적습니다. 이 조건을 만족하는 수는 0명·1명·2명입니다.

어떤 x·y·z를 골랐든 셋 모두 신청자라면 적어도 한 쌍은 같은 사람이어야 한다고 말할 수 있습니다. 신청자가 두 명 이하라면 세 자리를 신청자로 채울 때 같은 사람을 적어도 한 번 다시 고르게 됩니다.

네. 그렇게 쓰면 두 요구를 함께 만족하는 수가 2명입니다. 이번에는 신청자 두 사람을 골라 놓고, 그 밖의 신청자가 있는지 살펴보는 한 식을 만들어 보겠습니다.

찬우와 다미는 둘 중 누구와도 같지 않습니다. 그래도 신청자가 아니므로 “신청했다면 그 둘 중 하나다”라는 조건문을 어기지 않습니다. 전체 영역 네 명을 유지하면서 신청자만 두 명으로 제한한 것입니다.

같은 사람이 신청도 하고 안내도 맡았을 수 있습니다. 새 술어 Q(x)를 “x는 마감일 오후 4시 기준으로 안내 담당자로 정해져 있다”라는 뜻으로 정해 보겠습니다. 두 역할을 겸하는 것을 허용하는 가상 모임입니다.

선택한 두 사람을 같은 식 안에서 비교하겠습니다. ∃x∃y(P(x)∧Q(y)∧x≠y)입니다. x는 신청자, y는 안내자이며 두 사람은 서로 달라야 합니다. 두 사람 중 한 사람이 다른 역할도 함께 맡을 가능성까지 금지하는 식은 아닙니다.

각 말이 어떤 인원수를 허용하는지 확인하면 식을 점검하기 좋습니다. 아래 표는 같은 네 사람의 서로 다른 명단을 비교합니다. “3명 이상” 행은 이 영역에서 3명 또는 4명인 경우입니다.

네. 0명일 때는 존재 조건이 빠졌는지, 1명일 때는 서로 다름이 빠졌는지, 3명일 때는 그 밖의 신청자를 제외하는 조건이 빠졌는지 살펴보세요. 아래 연습마다 명단을 새로 정하므로 처음 명단과 구분해서 읽습니다.

다음 편에서는 영역, 이름의 주인, 술어를 만족하는 대상, 관계가 성립하는 쌍을 한꺼번에 정리해 보겠습니다. 오늘처럼 식을 장면에 대입해 참·거짓을 확인하는 일이 더 큰 논증을 검토하는 바탕이 됩니다.