작은 세계에서 식의 참거짓을 어떻게 확인하나요?

좋습니다. 오늘은 세 사람이 있는 작은 세계를 하나 정하겠습니다. 사람마다 어떤 성질을 갖는지, 두 사람 사이에 어떤 관계가 있는지 표로 적어 두고 식과 대조하겠습니다. 기호가 길어져도 확인할 바탕은 이 표들입니다.

네. 이번 논의 영역은 아라·보라·찬우 세 사람 전부입니다. 학생인지, 보고서를 냈는지는 그 영역 안에서 따로 확인할 성질입니다. 따라서 양화사 ∀와 ∃가 살펴볼 대상에는 찬우도 들어갑니다.

그렇게 정하겠습니다. 동일성을 함께 복습하려고 이름 하나를 더 붙이겠습니다. d도 아라를 가리키도록 약속합니다. 이름 기호는 네 개이고, 그 이름들이 가리키는 사람은 세 명입니다.

맞습니다. a=d를 확인하려면 두 글자가 가리키는 대상을 살펴봅니다. 둘 다 아라를 가리키므로 이 세계에서 참입니다. d=b는 아라와 보라가 같은 사람인지 묻습니다. 두 사람은 서로 다르다고 정했으므로 거짓입니다.

이번에는 P(x)를 “x가 오후 4시까지 보고서를 제출했다”, Q(x)를 “x가 이번 모임의 학생이다”로 읽겠습니다. P가 참인 사람과 Q가 참인 사람을 각각 확인해 볼까요?

그렇습니다. 찬우는 보고서를 낸 진행자입니다. P가 참인 대상은 아라와 찬우이고, Q가 참인 대상은 아라와 보라입니다. 각 술어가 참인 대상들을 정한 것이 그 술어의 해석을 이 세계에서 구체적으로 보여 줍니다.

네. R(x,y)는 “x가 y의 이름을 기억한다”로 정하겠습니다. x 자리에는 기억하는 사람, y 자리에는 기억되는 이름의 주인을 놓습니다. 두 자리 모두 사람을 가리킵니다.

네. 이번 표에서는 세 사람 모두 자기 이름을 기억한다고 정했습니다. 그래서 아라·아라, 보라·보라, 찬우·찬우 칸이 참입니다. x와 y에 같은 사람이 배정될 수도 있습니다. 다른 사람이어야 한다는 조건이 필요하면 x≠y를 함께 적습니다.

이름표를 먼저 보세요. d는 아라를 가리킵니다. 따라서 속성표의 아라 줄에서 P를 읽으면 됩니다. 이 세계에서 P(d)는 참입니다. 같은 이유로 R(d,b)는 아라 행·보라 열에서 확인합니다.

지금 표는 사람별로 적어 두었습니다. d라는 이름을 보면 이미 있는 아라 줄을 사용하면 됩니다. a와 d가 같은 사람을 가리킨다는 약속을 유지하는 동안에는 P(a)와 P(d)의 값도 같고, R(a,b)와 R(d,b)의 값도 같습니다.

먼저 x와 y에 대상을 배정해야 합니다. 예를 들어 x에 아라, y에 보라를 배정하면 아라 행·보라 열을 읽습니다. 그 배정에서 R(x,y)는 참입니다. x에 보라, y에 아라를 배정하면 보라 행·아라 열을 읽으므로 거짓입니다.

사람들의 상태와 관계표는 그대로입니다. 지금 어느 사람의 어떤 관계를 확인할지가 바뀝니다. 지도에서 다른 칸을 짚듯이, 배정이 알려 주는 행과 열을 옮겨 읽는다고 생각해 보세요.

양화사에 묶이지 않은 자유변수가 남아 있는 식을 열린 식이라고 합니다. P(x)에서는 x가 자유롭게 남아 있습니다. ∀xP(x)에서는 ∀x가 P(x)의 x를 묶고, 영역의 모든 사람을 살피도록 합니다. 자유변수가 없는 식을 논리학에서는 문장이라고 부릅니다.

맞습니다. 문장을 평가할 때에는 밖에서 x에 누구를 배정해 놓았는지가 결과를 바꾸지 않습니다. ∀x가 자기 범위 안에서 영역의 사람들을 모두 확인하게 합니다. 반면 (∀xP(x)) ∨ Q(y)에서 Q(y)의 y는 자유롭게 남아 있으므로 y의 배정을 살펴야 합니다.

먼저 전체를 묶는 연결사를 찾아보세요. 여기서는 ∧가 왼쪽의 ¬P(b)와 오른쪽의 R(a,b) → P(b)를 묶습니다. 양쪽의 값을 따로 구한 뒤 마지막에 ∧로 합치면 됩니다.

∧로 묶인 전체가 참이려면 양쪽이 모두 참이어야 합니다. 오른쪽 조건문이 거짓이므로 전체도 거짓입니다. 논리식의 한 부분이 참이라는 것만으로 전체의 값을 정하지 말고, 그 부분들을 어떤 연결사가 묶는지 확인하세요.

네. x에 아라·보라·찬우를 한 사람씩 배정해서 Q(x) → P(x)의 값을 구합니다. ∀x가 있으므로 그 결과가 세 사람 모두에서 참이어야 전체가 참입니다. 같은 표에서 ∃x(Q(x) ∧ P(x))도 함께 확인해 보겠습니다.

정확합니다. ∀x(Q(x) → P(x))는 거짓이고, ∃x(Q(x) ∧ P(x))는 참입니다. 두 식은 서로 다른 질문을 하므로 함께 이 값을 가질 수 있습니다. 학생 가운데 제출한 아라가 있지만, 제출하지 않은 보라도 있는 상황입니다.

찬우는 학생이 아니므로 Q(c)가 거짓입니다. Q(c) → P(c)는 앞이 거짓인 조건문이라 참입니다. “학생이라면 제출했다”라는 조건을 깨뜨리지 않습니다. Q(c) ∧ P(c)가 참이려면 학생이라는 조건도 충족해야 하는데, 찬우는 그 조건을 충족하지 않습니다.

안쪽을 확인할 때 x에 누구를 배정했는지가 먼저 정해져 있어야 합니다. 바깥 ∀x를 따라 x에 아라를 배정해 봅시다. 그 상태에서 ∃yR(x,y)를 읽으면 “아라가 이름을 기억하는 사람이 적어도 한 명 있나요?”라는 질문이 됩니다. 아라 행에서 참인 칸을 찾으면 됩니다.

각 x에서 안쪽 존재문이 참이었습니다. 따라서 ∀x∃yR(x,y)는 참입니다. 이 문장에서 y의 증거 대상은 x에 따라 달라도 됩니다. 이 표에서는 아라에게 보라를, 보라에게 찬우를, 찬우에게 아라를 골라도 됩니다.

그렇습니다. “그 사람의 이름을 모두가 기억하는 사람이 있나요?”라는 질문입니다. 먼저 y 후보를 정하고, 그 후보를 유지한 채 모든 x를 확인합니다. 관계표에서는 참만 있는 열을 찾아야 합니다.

세 후보 모두 안쪽 전칭문을 참으로 만들지 못합니다. 따라서 ∃y∀xR(x,y)는 거짓입니다. 행마다 참인 칸이 있다는 사실과, 한 열이 전부 참이라는 사실을 나누어 읽어 보세요.

할 수 있습니다. ∀x(Q(x) → ∃y(P(y) ∧ R(x,y)))로 적겠습니다. 먼저 바깥 ∀x를 따라 한 사람을 정합니다. 그 사람이 학생이면, 그 사람이 이름을 기억하는 제출자가 있는지 살펴봅니다. y 후보 한 사람이 P(y)와 R(x,y)를 함께 만족해야 합니다.

세 사람에게 적용한 조건문이 모두 참이므로 처음의 전칭문은 참입니다. 찬우는 학생이 아니어서 조건문의 앞부분 Q(x)가 거짓입니다. 이번 표에서는 찬우에 대한 안쪽 존재문도 참이지만, 학생이라는 조건을 가진 이 전칭문이 요구하는 것은 학생들의 경우입니다.

그 뜻을 확인하려면 ∃y(P(y) ∧ ∀x(Q(x) → R(x,y)))를 살펴야 합니다. y 한 사람을 먼저 정하고, 그 사람이 제출자인 동시에 학생 모두가 그 이름을 기억하는지 확인합니다.

가능한 세 후보 중 두 조건을 모두 만족하는 사람이 없습니다. 그래서 공통 제출자를 말하는 두 번째 식은 거짓입니다. 첫 번째 식에서 아라의 증거 대상은 아라였고, 보라의 증거 대상은 찬우였습니다. 학생마다 찾은 결과를 공통의 한 사람으로 합칠 수 있는지는 따로 확인해야 합니다.

네. 먼저 보고서를 제출한 사람을 떠올려 보세요. 아라와 찬우입니다. ∃x∃y(P(x) ∧ P(y) ∧ x≠y)는 제출자 두 명을 고르되 서로 다른 사람인지까지 확인합니다. x에 아라, y에 찬우를 배정하면 세 조건이 모두 참이므로 이 문장은 참입니다.

그 배정에서는 x≠y가 거짓입니다. “적어도 두 명”을 확인하려면 마지막 조건도 만족해야 합니다. 같은 아라의 다른 이름 d를 사용해도 사람이 둘이 되지는 않습니다.

x에 고른 아라는 학생이고 제출자입니다. 안쪽 전칭문도 세 사람 모두에서 참입니다. 따라서 “학생이며 제출한 사람이 정확히 한 명 있다”는 참입니다. 찬우가 또 다른 제출자라는 사실과도 잘 맞습니다. 찬우는 이 식이 세려는 학생이면서 제출한 사람에 포함되지 않습니다.

아래 실험은 본문의 처음 세계와 별도로 움직입니다. 이름과 세 사람의 영역은 유지하면서, 성질이나 관계의 참·거짓을 바꾸어 볼 수 있습니다. 처음 값으로 돌아가면 지금까지 읽은 처음 세계가 다시 표시됩니다. 본문의 표와 연습 문제는 그대로입니다.

맞습니다. 비교할 때에는 어떤 세계의 표를 읽고 있는지 먼저 표시하세요. 한 식의 값이 달라졌다면 그 식이 사용한 성질이나 관계 중 무엇이 달라졌는지 되짚어 볼 수 있습니다.

마지막 연습에서는 처음 세계로 돌아갑니다. 보라는 보고서를 제출하지 않았고, 보라가 아라의 이름을 기억한다는 R(b,a)는 거짓입니다. 아래 요약을 보고 앞의 속성표와 관계표를 함께 사용하세요.

먼저 사용 중인 세계와 기호 뜻을 확인합니다. 다음으로 식을 묶는 바깥 연결사나 양화사를 찾습니다. 양화사가 있으면 그 범위에서 필요한 배정을 정하고, 더 작은 부분의 값을 구합니다. 그 결과를 연결사와 ∀·∃의 약속대로 모으면 됩니다. 중간 결과 옆에 “누구를 배정했을 때”인지 적으면 앞뒤가 섞이지 않습니다.

어떤 문장을 참으로 만드는 해석을 그 문장의 모형이라고 부릅니다. 여러 문장을 함께 말할 때에는 그 문장들을 모두 참으로 만드는 해석이어야 합니다. 처음 세계에서는 아라와 찬우가 제출했으므로 ∃xP(x)가 참입니다. 따라서 처음 세계는 그 존재문의 모형입니다. ∀xP(x)는 보라 때문에 거짓이므로, 처음 세계는 이 전칭문의 모형이 되지 않습니다. 어느 문장의 모형인지 함께 말해 주면 뜻이 분명해집니다.

오늘은 지금 정한 이 해석에서 참이라는 것을 확인했습니다. 다른 세계의 관계표에서는 어떤 사람이 누구의 이름도 기억하지 않는다고 정할 수 있고, 그러면 그 사람에게 맞는 y를 찾지 못합니다. 모든 해석에서 참인지 알려면 그보다 넓은 질문을 다루어야 합니다.