두 이름이 같은 대상을 가리킬 수 있나요?

먼저 이름표가 누구를 가리키는지 확인해 보겠습니다. 이 수업의 가상 모임에서는 아라가 “작은별”이라는 별명을 씁니다. 본명으로 부를 때와 별명으로 부를 때, 대답하는 사람은 같은 아라입니다.

그렇습니다. 이름은 우리가 사용하는 표현이고, 대상은 그 이름이 가리키는 사람이나 사물입니다. 이 장면에서 사용하는 기호 이름은 a·k·b·c 네 개이며, 영역의 사람은 세 명입니다.

쓸 수 있습니다. a=k는 a가 가리키는 대상과 k가 가리키는 대상이 하나의 같은 대상이다라는 말입니다. 이렇게 같은 대상임을 나타내는 것을 동일성이라고 부릅니다.

네. 지금 등호로 비교하는 것은 두 이름이 가리키는 사람입니다. 모자를 쓴 사람인지, 키가 비슷한지도 묻지 않습니다. 두 이름의 주인이 바로 같은 한 사람인지 확인합니다.

처음 장면의 아라와 보라는 서로 다른 사람이라고 상황에서 정했습니다. 이름의 글자가 다르다는 사실만으로 그 결론이 나오지는 않습니다. a와 k가 같은 아라를 가리키는 경우도 보았지요.

그렇습니다. 각 경우에서 참·거짓은 정해집니다. 지금 독자에게 주어진 정보가 어느 경우인지 결정해 주지 않는 것입니다. “다른 이름은 항상 다른 대상을 가리킨다”는 추가 약속을 고유이름 가정이라고 부르기도 합니다. 이 수업의 표준 술어논리에서는 그 약속을 자동으로 넣지 않습니다.

¬(a=b)로 쓸 수 있습니다. 먼저 괄호 안의 “a와 b는 같은 대상이다”를 읽고, 그 내용 전체를 부정합니다. 줄여서 a≠b라고 씁니다. ≠는 “같은 대상이 아니다”, 또는 “서로 다른 대상이다”라고 읽습니다.

네. 어떤 대상도 자기 자신과 같습니다. 그래서 a=a, k=k, b=b, c=c는 모두 참입니다. 모자의 유무는 P로 확인하는 다른 사실입니다.

x와 y에도 같은 사람을 배정할 수 있습니다. x에 아라를 배정하고 y에도 아라를 배정해 보세요. 그 배정에서 x=y는 참입니다. x에 아라, y에 보라를 배정하면 x=y는 거짓입니다.

그렇습니다. 두 변수가 서로 다른 사람이어야 한다는 조건을 원하면 x≠y를 써서 밝혀야 합니다. 변수의 글자 수만으로 그 조건이 생기지는 않습니다.

a와 k가 같은 사람을 가리킨다는 정보를 이미 알고 있습니다. 그러면 같은 오후 4시의 아라를 확인하고 있는 셈입니다. P(a)가 참이면 P(k)도 참입니다.

네. 이를 동일자의 대체라고 부릅니다. 같은 대상을 가리키는 이름으로 바꾸어 쓴다는 뜻입니다. 대상을 바꾸거나 모자의 상태를 바꾸는 행동이 아닙니다.

그렇습니다. a=k이면 ¬P(a)와 ¬P(k)의 값도 같습니다. 처음 장면에서는 두 식 모두 거짓입니다. 이름을 바꾸어도 같은 대상에 같은 술어를 적용하므로, 그 결과를 부정한 값도 같습니다.

처음 장면을 그대로 보겠습니다. 아라와 찬우는 둘 다 모자를 썼습니다. 그래서 P(a)와 P(c)는 모두 참입니다. 하지만 영역의 약속에서 아라와 찬우는 서로 다른 사람입니다. a=c는 거짓입니다.

그렇습니다. 같은 모자 색, 같은 나이 같은 정보를 추가해도 서로 다른 두 사람이 그 조건들을 함께 만족할 수 있습니다. 확인한 몇 가지 성질이 같다는 사실만으로 동일성을 결론 내리면 안 됩니다.

같은 시점, 같은 뜻의 P를 적용하고 있다면 알 수 있습니다. P(a)와 ¬P(b)가 모두 참인데 a=b라고 해 보겠습니다. 동일자의 대체에 따라 P(a)에서 P(b)가 따라옵니다. 그러면 P(b)와 ¬P(b)가 함께 참이어야 해서 충돌합니다.

시점이 다른 두 상태는 한 사람에게 함께 가능하지요. 지금 추론은 같은 시점에 같은 뜻의 술어를 적용합니다. “오전 9시에 썼다”와 “오후 4시에 쓰지 않았다”를 서로 모순되는 P와 ¬P로 처리하면 시점 정보를 놓치게 됩니다.

처음 장면에 좌석 정보를 더해 보겠습니다. 같은 오후 4시에 세 사람은 한 줄에 앉아 있으며, 왼쪽부터 보라·아라·찬우 순서입니다. R(x,y)는 “x는 y의 왼쪽에 앉아 있다”라는 뜻으로 정합니다. 바로 옆자리일 필요는 없습니다.

네. 동일성은 그 자리를 차지한 대상을 유지하게 해 줍니다. 관계의 방향을 뒤집으라는 규칙은 없습니다. R(b,a)에서 a를 k로 바꾸면 R(b,k)가 됩니다. R(k,b)는 방향이 반대인 새 주장입니다.

같음의 방향을 바꾸어도 성립하는 성질을 대칭성이라고 합니다. a와 k가 같은 아라를 가리킨다면, k와 a도 같은 아라를 가리킵니다. 두 사람 사이의 관계에서는 이런 성질이 자동으로 성립하지 않지만, 동일성에서는 성립합니다.

그렇습니다. 이런 연결을 추이성이라고 합니다. 이름이 이어지는 동안 대상이 같은 한 사람으로 유지되기 때문에 가능합니다. d는 이 절의 새 약속이며, 3절에서 서로 다른 가능성을 비교할 때 쓴 미확인 이름 d의 뜻을 이어받지 않습니다.

경우에 따라 다릅니다. 한 사람이 여러 이름을 가질 수 있고, 어떤 대상은 이 문제에서 기호 이름을 받지 않을 수도 있습니다. 영역의 크기를 알려면 영역에 실제로 어떤 대상들이 있는지 확인해야 합니다.

네. 변수와 양화사는 정해진 영역의 대상을 살펴봅니다. 기호 이름 목록에 적힌 사람만 살펴보는 것으로 범위를 줄이지 않습니다. 반대로 a와 k 두 이름을 살폈다고 두 사람을 살핀 것도 아닙니다.

그 문장은 이름이라는 표현 자체의 글자 수를 말합니다. 한글 음절 글자로 세면 “아라”는 두 글자이고 “작은별”은 세 글자입니다. 같은 사람을 가리키는 두 표현도 글자 수는 다를 수 있습니다.

그렇습니다. 우리가 쓰는 술어논리에서는 이름이 가리키는 대상과 그 대상의 성질·관계를 정하면 식의 값이 정해집니다. 이런 방식의 논리를 외연적 논리라고 부릅니다. 지금의 P와 R은 이 방식으로 정했습니다.

네. 누군가가 어떤 이름을 알고 있는지, 어떤 표현으로 생각하는지를 다루려면 그 정보까지 구별해야 합니다. 보라는 아라를 만나 본 적이 있어도 “작은별”이라는 별명을 모를 수 있습니다. 이번 편의 동일자 대체를 따옴표나 믿음에 관한 일상 문장에 적용할 때에는 무엇을 대상으로 말하는지부터 확인해야 합니다.

이 수업의 표준 술어논리에서 각 이름은 영역의 정확히 한 대상을 가리킵니다. 하지만 그 대상이 P라는 조건을 만족하는지는 따로 확인합니다. 아라가 있다는 정보만으로 모자를 썼다는 정보를 얻을 수는 없습니다.

네. 전체 영역은 우리가 이야기하는 대상들의 모임입니다. P를 만족하는 대상들의 집합은 그 영역에서 P가 참인 대상들을 모은 것입니다. 전체 영역은 비어 있지 않다고 약속하지만, P를 만족하는 집합은 비어 있을 수 있습니다.

맞습니다. 이름이 가리키는 대상을 확인한 뒤 동일성 식과 성질 식을 차례로 읽어 보세요. 연습의 답을 열기 전에 “어느 사람에게서 확인했는가”를 한 문장으로 말해 보면 좋겠습니다.

이제 “이름이 둘 있다”와 “서로 다른 대상이 둘 있다”를 구별할 수 있습니다. 다음 편에서는 이 구별을 사용해 적어도 두 명, 많아야 한 명, 딱 한 명을 기호로 만들어 보겠습니다. 사람을 실제로 골라 보고, 필요한 조건을 하나씩 덧붙이는 방식으로 진행하겠습니다.