카르노 맵,
네 칸부터 차근차근.

0과 1, A와 B는 무엇을 뜻하나요?

연습용 행사를 하나 열었다고 생각해 봅시다. 행사 담당자는 방문자의 입장권과 초대 명단을 확인합니다.

이 글에서 사용할 문장은 다음과 같습니다.

A와 B는 확인할 조건입니다. F는 그 조건들을 확인한 뒤 정하는 결과입니다. 1은 해당 문장이 참이라는 뜻이고, 0은 해당 문장이 거짓이라는 뜻입니다.

예를 들어 A=1, B=0인 방문자는 입장권을 가지고 있고, 초대 명단에는 이름이 없습니다. 아직 입장 규칙을 정하지 않았으므로 이 정보만으로 F를 정할 수는 없습니다. F는 우리가 정한 입장 규칙에 따라 달라집니다.

글자의 뜻을 먼저 정해야 합니다. 꼭 기억하세요. 다른 문제에서는 A가 스위치 상태를, B가 센서의 작동 상태를 가리킬 수도 있습니다. 글자의 뜻은 문제에서 정한 약속을 따라 읽습니다.

잠깐 확인해 볼까요?

“A=0, B=1”을 말로 읽어 보세요.

‘그리고’, ‘또는’, ‘부정’은 어떻게 쓰나요?

각 연습에서는 입장을 허용하는 경우를 모두 정합니다. 제시한 허용 조건에 해당하면 F=1, 나머지 경우에는 F=0으로 적습니다.

입장 규칙을 쓰려면 조건을 연결할 말이 필요합니다. 우선 ‘그리고’, ‘또는’, ‘아니다’를 익혀 봅시다.

‘그리고’는 언제 1이 되나요?

“입장권이 있고, 초대 명단에도 이름이 있어야 입장을 허용한다.”

이 규칙에서는 A와 B가 모두 1일 때 F가 1입니다. 이를 A AND B라고 씁니다. AND는 ‘그리고’로 읽으면 됩니다.

마지막 줄부터 확인해 보세요. 입장권도 있고 명단에도 이름이 있으므로 두 조건을 모두 충족합니다. 그 위의 세 줄은 각각 적어도 한 조건을 충족하지 못합니다.

‘또는’에는 어떤 경우가 포함되나요?

“입장권이 있거나, 초대 명단에 이름이 있으면 입장을 허용한다.”

이 글의 ‘또는’은 두 조건을 함께 충족하는 경우까지 포함합니다. 입장권만 있어도, 명단에 이름만 있어도, 둘 다 있어도 입장을 허용합니다. 이를 A OR B라고 씁니다.

‘부정’은 0과 1을 어떻게 바꾸나요?

A가 “입장권이 있다”를 뜻한다면 NOT A는 “입장권이 없다”를 뜻합니다. NOT은 ‘부정’이라고 부릅니다.

A=0일 때 “입장권이 있다”는 거짓입니다. 바로 그때 “입장권이 없다”는 참이므로 NOT A=1이 됩니다.

+, ·, 글자 위의 가로선은 어떻게 읽나요?

앞으로 본문에서는 말로 뜻을 설명한 뒤 기호를 함께 쓰겠습니다. A·B는 A AND B, A+B는 A OR B, ¬A는 NOT A를 뜻합니다.

A 위에 가로선을 그은 표기 A̅도 ¬A와 같은 뜻입니다. 다른 교재에서 두 표기를 만나면 같은 부정 연산으로 읽으세요. 이 글에서는 ¬A를 주로 사용합니다.

+는 여기서 OR를 나타냅니다. 따라서 이 표기에서 1+1의 논리 결과는 1입니다. 두 조건이 모두 참이면 ‘하나 이상이 참이다’라는 조건도 참이기 때문입니다.

이제 A와 B의 상태를 바꾸면서 AND, OR, NOT의 결과를 직접 확인해 보세요. 먼저 결과를 예상한 뒤 버튼을 눌러 보면 각 규칙을 익히는 데 도움이 됩니다.

두 조건이 만드는 경우는 왜 네 가지인가요?

A에는 0과 1 두 가지 값이 있습니다. B에도 0과 1 두 가지 값이 있습니다.

먼저 A를 0으로 두고 B를 0과 1로 바꿔 봅시다. (0,0), (0,1) 두 경우가 나옵니다. 이어서 A를 1로 두고 B를 다시 0과 1로 바꿔 봅니다. (1,0), (1,1)이 나옵니다.

가능한 경우는 2×2=4가지입니다. 이 표에 각 경우의 결과 F까지 적으면 진리표가 됩니다. 모든 경우를 적었기 때문에, 규칙을 바꾸더라도 같은 네 줄을 이용해 결과를 비교할 수 있습니다.

입장 규칙을 진리표에 어떻게 적나요?

다음 두 경우에 입장을 허용하는 규칙을 받았다고 해 봅시다.

1. 입장권이 있고, 초대 명단에는 이름이 없는 경우.
2. 입장권이 있고, 초대 명단에도 이름이 있는 경우.

두 경우 중 하나에 해당하면 입장을 허용합니다. 이제 네 줄을 하나씩 살펴봅시다.

읽으면서 벌써 더 짧게 말할 방법을 찾았을 수도 있습니다. 그 생각을 잠시 기억해 두세요. 카르노 맵에서도 같은 결론을 찾을 수 있는지 확인하겠습니다.

진리표의 네 줄을 네 칸으로 어떻게 옮기나요?

가로 두 칸, 세로 두 칸의 표를 그립니다. 왼쪽에는 A의 값을, 위쪽에는 B의 값을 적습니다.

표 바깥의 숫자는 A와 B의 값입니다. 이제 칸 안에는 그때의 결과 F를 적습니다.

첫 번째 줄은 A=0, B=0, F=0입니다. 먼저 A=0인 윗줄을 찾습니다. 이어서 B=0인 왼쪽 열을 찾습니다. 두 곳이 만나는 왼쪽 위 칸에 F의 값 0을 적습니다.

두 번째 줄은 A=0, B=1, F=0입니다. A=0인 윗줄과 B=1인 오른쪽 열이 만나는 칸을 찾습니다. 오른쪽 위 칸에 0을 적습니다.

세 번째 줄은 A=1, B=0, F=1입니다. A=1인 아랫줄과 B=0인 왼쪽 열이 만납니다. 왼쪽 아래 칸에 1을 적습니다.

네 번째 줄은 A=1, B=1, F=1입니다. A=1인 아랫줄과 B=1인 오른쪽 열이 만납니다. 오른쪽 아래 칸에 1을 적습니다.

완성된 표를 볼까요?

이것이 두 변수를 사용하는 카르노 맵입니다. 진리표에서 세로로 적었던 네 경우를 네 칸에 배치했습니다. 각 경우의 결과는 그대로 유지됩니다.

한 칸을 거꾸로 읽어 볼까요?

왼쪽 아래 칸의 1을 골라 보세요. A의 값은 왼쪽에서, B의 값은 위쪽에서 확인합니다. A=1, B=0일 때 F=1이므로 “입장권이 있고 명단에는 이름이 없는 방문자는 입장할 수 있다”라고 읽습니다.

붙어 있는 1 두 개를 묶으면 무엇을 알 수 있나요?

아랫줄의 1 두 개를 함께 둘러싸 봅시다. 두 칸은 가로로 붙어 있습니다.

묶음에 들어 있는 두 경우를 다시 적으면 다음과 같습니다.

먼저 A를 봅시다. 두 경우 모두 A=1입니다. 이어서 B를 봅시다. 한 경우는 B=0이고, 다른 경우는 B=1입니다. B가 가질 수 있는 두 값이 모두 들어 있습니다.

그러므로 이 묶음을 설명할 때는 A=1만 남길 수 있습니다. A가 1인 방문자는 명단에 이름이 있는 경우와 없는 경우 모두 입장을 허용받기 때문입니다.

처음 규칙을 다시 읽어 보세요.

“입장권이 있고 명단에는 이름이 없거나, 입장권이 있고 명단에도 이름이 있으면 입장할 수 있다.”

이 규칙은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

“입장권이 있으면 입장할 수 있다.”

기호로는 F=A입니다.

학습자 · B를 빼도 두 경우의 뜻이 그대로 남나요?

안내 · B를 빼는 이유는 표에서 B가 가질 수 있는 모든 경우를 이미 포함했기 때문입니다. 남은 A=1 조건만으로도 묶음 속 두 칸을 정확하게 가리킬 수 있습니다.

짧아진 규칙이 맞는지 어떻게 확인하나요?

카르노 맵으로 얻은 답은 처음 표와 결과가 같아야 합니다. F=A라는 답을 네 경우에 넣어 봅시다.

네 줄의 결과가 모두 같습니다. 규칙을 짧게 적으면서도 원래 허용하던 경우와 허용하지 않던 경우를 그대로 유지했습니다. 앞으로 문제를 풀 때도 마지막에 이렇게 확인하면 됩니다.

세로로 묶으면 어떤 조건이 남나요?

이번에는 다음 표를 보겠습니다. 새로운 표이므로 앞선 표의 입장 규칙과 결과가 다릅니다.

오른쪽의 1 두 개를 세로로 묶습니다. 위쪽 칸은 A=0, B=1이고, 아래쪽 칸은 A=1, B=1입니다.

B는 두 칸 모두 1입니다. A는 0과 1을 모두 포함합니다. 따라서 남는 조건은 B=1입니다. 답은 F=B이고, 말로 읽으면 “초대 명단에 이름이 있으면 입장을 허용한다”입니다.

가로 묶음인지 세로 묶음인지 외우기보다, 묶음 속에서 어떤 글자의 값이 같은지 확인해 보세요. 표가 커져도 이 질문은 그대로 사용할 수 있습니다.

묶음에서 같은 값이 0이면 어떻게 읽나요?

이번 표는 윗줄에 1 두 개가 있습니다.

묶음 속 두 칸에서 A는 모두 0입니다. B는 0과 1을 모두 포함합니다. 따라서 남는 조건은 A=0입니다.

A가 0일 때 참이 되는 표현을 앞에서 배웠습니다. 바로 NOT A, 곧 ¬A입니다. 답은 F=¬A입니다.

입장권 예시에 적용하면 “입장권이 없는 방문자에게 입장을 허용한다”라는 연습용 규칙이 됩니다. 현실의 행사 운영을 정하는 문제가 아니라, 주어진 표를 정확히 읽는 연습입니다.

기억할 관계는 간단합니다. 묶음에서 A=1이 유지되면 A를 쓰고, A=0이 유지되면 ¬A를 씁니다. 두 값이 모두 포함되면 그 묶음의 조건에서 A를 뺍니다. B도 같은 방식으로 읽습니다.

1이 세 개라면 어떻게 묶나요?

다음 표는 입장권이 있거나 초대 명단에 이름이 있으면 입장을 허용하는 규칙입니다.

먼저 아랫줄 두 칸을 묶습니다. 이 묶음에서는 A=1이 유지되므로 A가 남습니다. 그런데 오른쪽 위의 1은 아직 묶음에 들어가지 않았습니다.

이번에는 오른쪽 열 두 칸을 묶습니다. 이 묶음에서는 B=1이 유지되므로 B가 남습니다.

학습자 · 오른쪽 아래의 1을 두 번 써도 되나요?

안내 · 두 묶음을 만들고 나니 오른쪽 아래의 1이 양쪽 묶음에 함께 들어갑니다. 이렇게 한 칸을 여러 묶음에 포함할 수 있습니다. 그 칸에서는 A와 B가 모두 1이므로, 두 입장 허용 조건을 함께 충족합니다.

첫 번째 묶음에 해당하거나 두 번째 묶음에 해당하면 F=1입니다. 따라서 두 묶음의 조건은 OR로 연결합니다.

F=A OR B, 곧 F=A+B입니다.

왼쪽 위의 0도 확인해 보세요. 그곳은 A=0, B=0이어서 어느 묶음에도 들어가지 않습니다. 새 식에 넣어도 0 OR 0=0입니다.

왜 세 칸 전체를 한꺼번에 묶지 않을까요?

카르노 맵의 한 묶음은 가로와 세로 길이가 각각 1, 2, 4…칸인 직사각형으로 잡습니다. 두 변수의 네 칸짜리 표에서는 한 칸, 가로 또는 세로 두 칸, 네 칸 전체를 묶을 수 있습니다.

위의 세 칸을 한 덩어리로 잡으면 ㄴ 모양이 됩니다. 이 세 경우를 보면 A도 0과 1을 갖고, B도 0과 1을 갖습니다. 그렇다고 A와 B를 모두 빼면 네 경우 전체를 허용하게 됩니다. 그러면 왼쪽 위의 0까지 1로 바뀌는 문제가 생깁니다.

그래서 아랫줄과 오른쪽 열처럼, 각각 정확한 조건으로 읽을 수 있는 두 묶음으로 표현합니다.

혼자 남은 1은 어떻게 읽나요?

아래 표에서는 오른쪽 아래에만 1이 있습니다.

이 1과 붙어 있는 다른 1이 없으므로 한 칸을 묶습니다. 그 칸은 A=1이면서 B=1인 경우입니다. 두 조건을 모두 남겨야 해당 칸을 정확히 가리킬 수 있습니다.

답은 F=A AND B, 곧 F=A·B입니다.

이번에는 왼쪽 위에만 1이 있다고 해 봅시다. 그 칸은 A=0이면서 B=0입니다. 따라서 F=(NOT A) AND (NOT B), 곧 F=¬A·¬B로 읽습니다.

한 묶음 안에 남은 조건들은 ‘그리고’로 연결합니다. 여러 묶음을 이어 줄 때는 ‘또는’을 사용합니다.

대각선에 놓인 1들은 어떻게 읽나요?

오른쪽 위의 1은 A=0, B=1입니다. 왼쪽 아래의 1은 A=1, B=0입니다.

두 칸 사이에서는 A와 B가 모두 바뀝니다. 두 칸을 하나의 직사각형으로 잡으면 0인 칸도 포함하게 됩니다. 따라서 여기서는 각 1을 한 칸씩 묶습니다.

첫 묶음은 ¬A·B, 둘째 묶음은 A·¬B입니다. 두 묶음을 OR로 연결하면 다음 식이 됩니다.

F=(¬A·B)+(A·¬B)

말로 풀어 읽으면 “A가 0이고 B가 1이거나, A가 1이고 B가 0일 때 결과가 1”입니다. 두 조건의 값이 서로 다를 때 1이 되는 규칙입니다. 이런 연산을 XOR, 곧 배타적 논리합이라고 부릅니다. 지금은 표의 두 경우를 정확히 읽을 수 있으면 충분합니다.

네 칸이 모두 1이거나 모두 0이면 어떻게 되나요?

네 칸이 모두 1이면 네 칸 전체를 묶습니다. A의 두 값과 B의 두 값이 만들 수 있는 모든 경우가 포함됩니다. 어떤 값을 넣어도 결과가 1이므로 F=1입니다.

네 칸이 모두 0이면 묶을 1이 없습니다. 모든 경우의 결과가 0이므로 F=0입니다.

이때 F=1은 “항상 참”, F=0은 “항상 거짓”이라는 뜻입니다. 두 경우 모두 정확한 결과를 나타냅니다.

묶음을 만들 때 무엇을 확인해야 하나요?

앞선 예시를 떠올리면서 다음 여섯 항목을 확인해 보세요.

1. 이번 기초편에서는 결과가 1인 칸을 묶습니다. 0인 칸은 묶음에 넣지 않습니다.
2. 한 칸, 가로나 세로로 붙은 두 칸, 네 칸 전체를 묶을 수 있습니다.
3. 가능한 큰 묶음을 먼저 살펴봅니다. 같은 값을 유지하는 조건이 적어져 식이 간단해집니다.
4. 모든 1이 적어도 하나의 묶음에 들어가도록 합니다.
5. 필요한 경우 같은 1을 여러 묶음에 넣을 수 있습니다.
6. 각 묶음에서 유지되는 조건을 읽고, 여러 묶음은 OR로 연결합니다.

묶음의 크기만 보고 끝내지 말고, 원래 0인 칸을 새 식이 1로 바꾸는지까지 확인하세요. 원래 표와 새 식의 결과가 모든 경우에서 같아야 합니다.

한 칸씩 각각 읽어서 만든 식도 원래 표와 결과가 같을 수 있습니다. 예를 들어 아랫줄의 두 1을 따로 읽으면 A·¬B+A·B가 됩니다. 이 식은 정확합니다. 두 칸을 묶으면 같은 결과를 A 하나로 더 간단하게 표현할 수 있습니다.

더 큰 표에서는 큰 묶음을 찾는 일과, 여러 묶음 중에서 전체를 가장 간단하게 덮는 조합을 고르는 일을 함께 해야 합니다. 먼저 찾은 큰 묶음 하나가 전체의 최선 조합을 보장하지는 않습니다. 기초편에서는 네 칸을 정확히 읽고 결과가 같은지 검산하는 과정을 충분히 익히겠습니다.

이제 직접 표를 채우고 묶어 볼까요?

아래 연습에서는 지금까지 배운 과정을 직접 해 봅니다. 먼저 A와 B의 뜻과 표의 방향을 확인하세요. 그다음 결과가 1인 칸을 찾고, 묶음에 들어 있는 각 경우를 읽어 봅니다.

답을 생각할 때는 네 질문을 차례로 해 보세요. “어떤 칸을 묶었나요?”, “A는 어떤 값을 갖나요?”, “B는 어떤 값을 갖나요?”, “모든 1을 포함했나요?” 이 질문에 답하면 식에 남길 조건을 찾을 수 있습니다.

처음에는 숫자와 말로 설명해도 좋습니다. 예를 들어 “이 두 칸에서는 B가 계속 0입니다”라고 먼저 말한 뒤, 그 조건을 ¬B로 적으면 됩니다. 기호를 읽다가 막히면 앞의 약속을 다시 확인하세요.

내가 만든 표도 같은 방법으로 풀 수 있나요?

이번에는 결과를 직접 바꿔 보겠습니다. 두 조건이 만들 수 있는 네 경우마다 0과 1 중 하나를 정할 수 있습니다. 한 칸의 결과를 바꾸면 새로운 규칙이 됩니다.

먼저 네 칸을 모두 0으로 두고, 오른쪽 아래 칸만 1로 바꿔 보세요. A와 B가 모두 1일 때만 결과가 1이 됩니다. 앞에서 읽었던 A·B입니다.

이제 왼쪽 아래 칸도 1로 바꿔 보세요. 아랫줄의 두 1을 묶을 수 있게 됩니다. 두 칸에서 A는 1로 유지되고 B는 0과 1을 모두 포함합니다. 새 표에서는 아랫줄 두 칸이 모두 1입니다. 이 새 규칙을 간단하게 쓰면 F=A입니다.

이어서 오른쪽 위 칸도 1로 바꾸면 어떻게 될까요? 윗칸을 포함하는 새로운 묶음이 필요합니다. 오른쪽 열을 묶으면 B라는 조건을 얻습니다. 이제 전체 규칙은 A+B입니다.

마지막으로 왼쪽 위까지 1로 바꾸면 네 칸을 모두 묶습니다. 모든 경우를 허용하므로 F=1입니다. 한 칸을 바꿀 때마다 묶음과 조건이 어떻게 달라지는지 천천히 살펴보세요.

세 번째 조건이 생기면 어떻게 될까요?

조건 C를 하나 더 넣으면 가능한 경우는 2×2×2=8가지입니다. 그래서 카르노 맵도 여덟 칸이 됩니다. 예를 들어 세로에는 A를 두고, 가로에는 B와 C의 조합을 둘 수 있습니다.

위의 점은 아직 결과를 적지 않은 빈칸입니다. 조건을 정하면 각 칸에 0 또는 1을 적습니다.

가로 순서를 천천히 보세요. 00 다음은 01, 그다음은 11, 마지막은 10입니다. 00에서 01로 갈 때는 C만 바뀝니다. 01에서 11로 갈 때는 B만 바뀝니다. 11에서 10으로 갈 때는 C만 바뀝니다.

이 순서로 놓으면 옆 칸으로 갈 때 조건 하나만 달라집니다. 이렇게 이웃한 조합 사이에서 한 값만 바뀌게 배치한 순서를 그레이 코드라고 부릅니다. 맨 끝의 10과 맨 앞의 00 사이에서도 B만 달라집니다. 이 성질 덕분에 중급편에서는 표의 양 끝을 함께 묶는 방법까지 배울 수 있습니다.

오늘 익힌 방법을 그대로 떠올려 보세요. 먼저 각 글자의 뜻을 확인합니다. 모든 경우의 결과를 칸에 옮깁니다. 묶음 속에서 같은 값을 유지하는 조건을 읽습니다. 표가 커져도 이 과정은 이어집니다.

중급과 고급에서는 무엇을 더 배우나요?

중급편에서는 네 변수의 16칸 표까지 넓혀 봅니다. 가장자리의 칸과 네 모서리가 연결되는 이유도 조건의 값으로 확인합니다.

고급편에서는 실제로 사용하지 않는 입력 조합을 X로 표시하는 경우, 0을 묶어 식을 만드는 방법, 전체를 덮는 가장 간단한 묶음의 조합을 다룹니다. 또 논리표의 결과가 같아도 실제 회로에서는 신호가 전달되는 시간 때문에 순간적인 출력 변화가 생길 수 있다는 점을 살펴봅니다. 이런 현상을 다룰 때 사용하는 용어와 판단 기준은 해당 편에서 차근차근 설명하겠습니다.

어떤 자료로 원리를 확인했나요?

원리 확인에 사용한 자료입니다. 본문의 행사 상황, 예제 표, 문장과 단계별 해설은 초심자 학습을 위해 새로 구성했습니다.

• University of Cambridge, I. J. Wassell, Digital Electronics (2024), 강의자료 9~13쪽의 논리 변수·연산, 27~30쪽의 카르노 맵. 자료 원문 보기
• MIT OpenCourseWare, Margaret Chong, A Student’s Guide to the Digital World, 6.004 Computation Structures (2009), 본문 인쇄 쪽수 15~16쪽(PDF 화면 16~17쪽)의 논리식과 카르노 맵. 자료 원문 보기