Hotian’s Arrow풀이 연재 · 03 열 가지 풀이

HOTIAN’S ARROW / 풀이 03

동치를 정리하고,
논증을 이어 가다.

열 가지 풀이를 한 단계씩.
같은 식을 두 가지 기록으로 읽습니다.

먼저 세 가지 동치규칙을 확인하고, 다섯 복합 논증을 풉니다. 마지막 두 문제에서는 결론으로 이어지는 중간 행을 찾아봅니다.

첫 풀이 재생 문제 골라 보기

완성 풀이가 먼저 펼쳐집니다. ‘차례로 재생’을 누르면 식을 놓는 순간부터 다시 따라갈 수 있습니다.

식에서 행으로≡   같은 뜻을 유지하며

(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r)

상보쌍을 거쳐 공통 조건 묶기 · 동치 정리명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. A: p 또는 q. B: p 또는 rpqrApqBpr

≡ p ∨ (q ∧ r)

한 행 안의 원은 OR, 여러 행 사이는 AND.
짧아진 식과 남은 행을 함께 읽습니다.

01

● p   ○ ¬p찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형입니다. 한 행 안은 ‘또는’으로 읽습니다.

02

반대 원 한 쌍으로 새 행 얻기서로 다른 두 행에서 같은 축의 반대 원 한 쌍을 고릅니다. 나머지 원을 새 행에 모읍니다.

03

≡ 동치   ·   ⊢ 결론동치 풀이는 식 전체의 뜻을 유지합니다. 논증 풀이는 전제를 남겨 두고 결론을 얻습니다.

01—03 · 동치규칙

같은 뜻으로 정리하기

흡수, 드모르간, 분배. 식 전체가 같은 뜻인지 확인합니다.

동치규칙 · 흡수

이미 보장되는 긴 조건 지우기

p∨q가 참이면 p∨q∨r도 참이므로, 긴 조건을 따로 요구할 필요가 없습니다.

주어진 식
(p ∨ q) ∧ (p ∨ q ∨ r)
≡ 목표 동치식p ∨ q
풀이 완료
3 / 3

두 풀이 모두 완성했습니다. 원식과 같은 뜻의 식은 p ∨ q입니다.

두 풀이 모두 완료

EQUIVALENT EXPRESSIONS

기호식 동치 풀이

동치식 완성
  1. 1

    (p ∨ q) ∧ (p ∨ q ∨ r)

    주어진 식

  2. 2

    ≡ p ∨ q

    흡수법칙 · 1줄

    A∧(A∨r)≡A에서 A를 p∨q로 읽습니다. p∨q∨r은 이미 첫 조건으로 보장됩니다.

동치식 완성

p ∨ q

처음 식과 같은 뜻을 유지한 결과입니다.

동치 변형 1 / 1줄
주어진 식 1개 · 표시 기록 1 / 1줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

동치식 완성

남길 행만으로 충족되는 조건을 확인하고 긴 행을 정리합니다.
남은 행 전체가 원식과 같은 뜻이어야 합니다.

이미 보장되는 긴 조건 지우기 · 동치 정리명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 결과: p 또는 qpqr1 결과pq
짧은 1행으로 긴 2행 정리

1행 p∨q가 참이면 2행 p∨q∨r도 참입니다. 1행을 남기고 2행만 정리합니다.

동치식 완성

p ∨ q

남은 한 행 p∨q가 원식과 동치입니다. 새 해소행은 만들지 않았습니다.

해소 0 / 0회 · 행 정리 1 / 1회
도식 표기 변환 0회 · 표시 기록 1 / 1단계

동치 풀이의 근거를 식으로 읽기
  1. 행 정리 · 2행1행 p∨q가 참이면 2행 p∨q∨r도 참입니다. 1행을 남기고 2행만 정리합니다.
    • 2행의 근거: 1행의 조건이 이미 보장합니다.
풀이의 핵심

짧은 행의 p와 q가 긴 행에도 모두 들어 있습니다. 짧은 행을 남기면 긴 행의 조건도 충족되므로, 긴 행을 지워도 전체 식의 뜻이 유지됩니다.

기호식의 흡수법칙을 도식에서는 짧은 행이 긴 행의 조건까지 보장하는 관계로 읽습니다. 이 예제에는 해소가 필요하지 않습니다.

다음 풀이로

동치규칙 · 드모르간

겹친 부정을 두 단계로 풀기

바깥 OR의 부정을 푼 뒤, 안쪽 AND의 부정을 풀어 두 행으로 읽습니다.

주어진 식
¬(p ∨ (q ∧ r))
≡ 목표 동치식¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
풀이 완료
4 / 4

두 풀이 모두 완성했습니다. 원식과 같은 뜻의 식은 ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)입니다.

두 풀이 모두 완료

EQUIVALENT EXPRESSIONS

기호식 동치 풀이

동치식 완성
  1. 1

    ¬(p ∨ (q ∧ r))

    주어진 식

    도식 표기: ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)

    표기 변환 2회 · 과정 보기
    1. ¬p ∧ ¬(q ∧ r)DeMorgan · 바깥 OR의 부정을 AND로 풉니다.
    2. ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)DeMorgan · 안쪽 AND의 부정을 OR로 풉니다.
  2. 2

    ≡ ¬p ∧ ¬(q ∧ r)

    드모르간 · 바깥 OR · 1줄

    OR 전체를 부정하면 두 부분을 각각 부정한 AND가 됩니다.

  3. 3

    ≡ ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)

    드모르간 · 안쪽 AND · 2줄

    남은 ¬(q∧r)를 ¬q∨¬r로 바꿉니다.

동치식 완성

¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)

처음 식과 같은 뜻을 유지한 결과입니다.

동치 변형 2 / 2줄
주어진 식 1개 · 표시 기록 2 / 2줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

동치식 완성

표기 변환에서 얻은 행들을 함께 읽습니다.
남은 행 전체가 원식과 같은 뜻이어야 합니다.

겹친 부정을 두 단계로 풀기 · 동치 정리명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 결과: ¬p. 2 결과: ¬q 또는 ¬rpqr1 결과¬p2 결과¬q¬r
행 간 AND 읽기

¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)

1행 ¬p와 2행 ¬q∨¬r을 AND로 읽습니다. 두 행은 배치 전에 표시한 드모르간 변환으로 얻었으며, 여기서는 해소하지 않습니다.

동치식 완성

¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)

표기 변환으로 놓은 두 행을 함께 읽으면 목표 동치식입니다.

해소 0 / 0회 · 식 읽기 1 / 1회
도식 표기 변환 2회 · 표시 기록 1 / 1단계

동치 풀이의 근거를 식으로 읽기
  1. 행 간 AND 읽기 ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)1행 ¬p와 2행 ¬q∨¬r을 AND로 읽습니다. 두 행은 배치 전에 표시한 드모르간 변환으로 얻었으며, 여기서는 해소하지 않습니다.
풀이의 핵심

¬(p∨(q∧r))는 p가 아니고 q와 r이 동시에 참이지 않다는 뜻입니다. 도식의 첫 행은 ¬p, 두 번째 행은 ¬q∨¬r이며 두 행을 함께 요구합니다.

오른쪽은 배치 전에 드모르간 변환 두 번을 사용합니다. 해소 0회는 이 준비가 필요 없다는 뜻이 아니며, 왼쪽에는 같은 동치변형을 한 줄씩 보여 줍니다.

다음 풀이로

동치규칙 · 분배와 모순

상보쌍을 거쳐 공통 조건 묶기

q와 ¬q의 관계에서 p∨r을 얻고, p∨q와 함께 p∨(q∧r)로 읽습니다.

주어진 식
(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r)
≡ 목표 동치식p ∨ (q ∧ r)
풀이 완료
5 / 5

두 풀이 모두 완성했습니다. 원식과 같은 뜻의 식은 p ∨ (q ∧ r)입니다.

두 풀이 모두 완료

EQUIVALENT EXPRESSIONS

기호식 동치 풀이

동치식 완성
  1. 1

    (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r)

    주어진 식

  2. 2

    ≡ p ∨ (q ∧ (¬q ∨ r))

    분배법칙 · 공통 p 묶기 · 1줄

    (p∨A)∧(p∨B)≡p∨(A∧B)에 A=q, B=¬q∨r을 넣습니다.

  3. 3

    ≡ p ∨ (q ∧ r)

    분배·모순·항등 · 2줄

    q∧(¬q∨r)≡(q∧¬q)∨(q∧r)≡⊥∨(q∧r)≡q∧r로 안쪽을 정리합니다.

동치식 완성

p ∨ (q ∧ r)

처음 식과 같은 뜻을 유지한 결과입니다.

동치 변형 2 / 2줄
주어진 식 1개 · 표시 기록 2 / 2줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

동치식 완성

새 행을 얻고, 정리할 행의 근거를 확인합니다.
남은 행 전체가 원식과 같은 뜻이어야 합니다.

상보쌍을 거쳐 공통 조건 묶기 · 동치 정리명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 결과: p 또는 q. 3 결과: p 또는 rpqr1 결과pq3 결과pr
두 행 읽기 · 분배법칙

p ∨ (q ∧ r)

(p∨q)∧(p∨r)≡p∨(q∧r)입니다. 두 행을 하나의 OR 행으로 합치는 것이 아니라, 두 행이 함께 나타내는 식을 다시 씁니다.

동치식 완성

p ∨ (q ∧ r)

남은 두 행 전체를 분배법칙으로 읽은 p∨(q∧r)가 원식과 동치입니다.

해소 1 / 1회 · 행 정리 1 / 1회 · 식 읽기 1 / 1회
도식 표기 변환 0회 · 표시 기록 3 / 3단계

동치 풀이의 근거를 식으로 읽기
  1. 1·2행 → 3행 p ∨ rq의 반대 원 한 쌍. 1·2행에서 q의 상보쌍만 해소합니다. 남은 p는 중복해 적지 않고, p∨r을 새 3행으로 추가합니다.
  2. 행 정리 · 2행3행 p∨r이 참이면 2행 p∨¬q∨r도 참입니다. 1행 p∨q와 3행 p∨r을 남기고 2행만 정리합니다.
    • 2행의 근거: 3행의 조건이 이미 보장합니다.
  3. 두 행 읽기 · 분배법칙 p ∨ (q ∧ r)(p∨q)∧(p∨r)≡p∨(q∧r)입니다. 두 행을 하나의 OR 행으로 합치는 것이 아니라, 두 행이 함께 나타내는 식을 다시 씁니다.
풀이의 핵심

해소로 얻은 p∨r을 추가하는 것만으로 원래 두 행을 지울 수는 없습니다. p∨q를 남기고 p∨r이 보장하는 긴 행만 정리하면, 남은 두 행은 p∨(q∧r)와 동치입니다.

왼쪽은 공통 p를 묶은 뒤 q∧(¬q∨r)를 간소화합니다. 오른쪽은 해소, 근거 있는 행 정리, 분배법칙으로 식 읽기를 구분합니다.

다음 풀이로

04—08 · 복합 논증

전제에서 결론까지

여러 조건을 연결하고, 중간 결과를 얻어 결론까지 이어 갑니다.

복합 논증 · MT·DS·MP

불가능한 갈래를 지우고 남은 길로

¬r로 p를 제외하면 p∨q에서 q가 남고, q→s를 적용할 수 있습니다.

주어진 전제
전제 1p ∨ q전제 2p → r전제 3q → s전제 4¬r
⊢ 목표 결론s
풀이 완료
8 / 8

두 풀이 모두 완성했습니다. 주어진 전제에서 얻은 결론은 s입니다.

두 풀이 모두 완료

SYMBOLIC PROOF

기호식 증명

결론 도달
  1. 1

    p ∨ q

    전제 1

  2. 2

    p → r

    전제 2

    도식 표기: ¬p ∨ r

    표기 변환 1회 · 과정 보기
    1. ¬p ∨ rImplication · 조건문 A→B를 ¬A∨B로 바꿉니다.
  3. 3

    q → s

    전제 3

    도식 표기: ¬q ∨ s

    표기 변환 1회 · 과정 보기
    1. ¬q ∨ sImplication · 조건문 A→B를 ¬A∨B로 바꿉니다.
  4. 4

    ¬r

    전제 4

  5. 5

    ¬p

    후건부정 MT · 2, 4줄

    p→r과 ¬r에서 ¬p를 얻습니다.

  6. 6

    q

    선언삼단논법 DS · 1, 5줄

    p∨q에서 p가 아니므로 q입니다.

  7. 7

    s

    전건긍정 MP · 3, 6줄

    q→s에 q를 적용하여 s를 얻습니다.

결론 도달

s

위 전제와 근거에서 얻은 결론입니다.

추론 3 / 3회
전제 4개 · 표시 기록 3 / 3줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

결론 도달

원래 전제 4개를 그대로 남깁니다.
목표 결론은 전제에 추가하지 않습니다.

불가능한 갈래를 지우고 남은 길로 · 전제에서 결론까지명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 입력: p 또는 q. 2 입력: ¬p 또는 r. 3 입력: ¬q 또는 s. 4 입력: ¬r. 5 해소: ¬p. 6 해소: q. 7 결론: spqrs1 입력pq2 입력¬pr3 입력¬qs4 입력¬r5 해소¬p6 해소q7 결론s

축이 잘리지 않도록 도식 안에서 가로로 이동할 수 있습니다.

q의 상보쌍에서 s

3행 ¬q∨s와 q행에서 s를 얻습니다.

결론 도달

s

원래 네 전제를 보존한 채 얻은 s행이 목표입니다.

해소 3 / 3회
도식 표기 변환 2회 · 표시 기록 3 / 3단계

각 연결의 근거를 식으로 읽기
  1. 2·4행 → 5행 ¬pr의 반대 원 한 쌍. 2행의 r과 4행의 ¬r을 해소하면 ¬p가 남습니다.
  2. 1·5행 → 6행 qp의 반대 원 한 쌍. 1행 p∨q와 새 ¬p행에서 q를 얻습니다.
  3. 3·6행 → 7행 sq의 반대 원 한 쌍. 3행 ¬q∨s와 q행에서 s를 얻습니다.
풀이의 핵심

p가 참이면 r이어야 하는데 ¬r이 주어졌으므로 ¬p입니다. p∨q와 ¬p에서 q를 얻은 뒤, q→s로 목표 s에 도달합니다.

세 기호 추론 MT·DS·MP는 도식의 r, p, q 상보쌍을 해소하는 세 단계와 각각 대응합니다.

다음 풀이로

복합 논증 · 연언 전건

두 경로의 결과가 함께 필요할 때

서로 다른 사실 p와 r에서 q와 s를 얻고, 두 결과를 함께 조건문에 넣습니다.

주어진 전제
전제 1p → q전제 2r → s전제 3(q ∧ s) → t전제 4p전제 5r
⊢ 목표 결론t
풀이 완료
10 / 10

두 풀이 모두 완성했습니다. 주어진 전제에서 얻은 결론은 t입니다.

두 풀이 모두 완료

SYMBOLIC PROOF

기호식 증명

결론 도달
  1. 1

    p → q

    전제 1

    도식 표기: ¬p ∨ q

    표기 변환 1회 · 과정 보기
    1. ¬p ∨ qImplication · 조건문 A→B를 ¬A∨B로 바꿉니다.
  2. 2

    r → s

    전제 2

    도식 표기: ¬r ∨ s

    표기 변환 1회 · 과정 보기
    1. ¬r ∨ sImplication · 조건문 A→B를 ¬A∨B로 바꿉니다.
  3. 3

    (q ∧ s) → t

    전제 3

    도식 표기: ¬q ∨ ¬s ∨ t

    표기 변환 2회 · 과정 보기
    1. ¬(q ∧ s) ∨ tImplication · 조건문의 전건 전체를 부정합니다.
    2. ¬q ∨ ¬s ∨ tDeMorgan · ¬(q∧s)를 ¬q∨¬s로 바꿉니다.
  4. 4

    p

    전제 4

  5. 5

    r

    전제 5

  6. 6

    q

    전건긍정 MP · 1, 4줄

    p→q와 p에서 q를 얻습니다.

  7. 7

    s

    전건긍정 MP · 2, 5줄

    r→s와 r에서 s를 얻습니다.

  8. 8

    q ∧ s

    연언 도입 ∧I · 6, 7줄

    각각 얻은 q와 s를 함께 q∧s로 묶습니다.

  9. 9

    t

    전건긍정 MP · 3, 8줄

    전건 q∧s가 확보되었으므로 t를 얻습니다.

결론 도달

t

위 전제와 근거에서 얻은 결론입니다.

추론 4 / 4회
전제 5개 · 표시 기록 4 / 4줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

결론 도달

원래 전제 5개를 그대로 남깁니다.
목표 결론은 전제에 추가하지 않습니다.

두 경로의 결과가 함께 필요할 때 · 전제에서 결론까지명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 입력: ¬p 또는 q. 2 입력: ¬r 또는 s. 3 입력: ¬q 또는 ¬s 또는 t. 4 입력: p. 5 입력: r. 6 해소: q. 7 해소: s. 8 해소: ¬s 또는 t. 9 결론: tpqrst1 입력¬pq2 입력¬rs3 입력¬q¬st4 입력p5 입력r6 해소q7 해소s8 해소¬st9 결론t

축이 잘리지 않도록 도식 안에서 가로로 이동할 수 있습니다.

s까지 사용하여 t

남은 ¬s∨t와 s행에서 s 한 쌍을 해소하면 t입니다.

결론 도달

t

두 경로에서 얻은 결과를 각각 사용하여 t행에 도달했습니다.

해소 4 / 4회
도식 표기 변환 4회 · 표시 기록 4 / 4단계

각 연결의 근거를 식으로 읽기
  1. 1·4행 → 6행 qp의 반대 원 한 쌍. 1·4행의 p 상보쌍에서 q행을 얻습니다.
  2. 2·5행 → 7행 sr의 반대 원 한 쌍. 2·5행의 r 상보쌍에서 s행을 얻습니다.
  3. 3·6행 → 8행 ¬s ∨ tq의 반대 원 한 쌍. 3행 ¬q∨¬s∨t와 q행에서 q 한 쌍만 해소합니다. 아직 ¬s∨t가 남습니다.
  4. 8·7행 → 9행 ts의 반대 원 한 쌍. 남은 ¬s∨t와 s행에서 s 한 쌍을 해소하면 t입니다.
풀이의 핵심

(q∧s)→t에는 q 하나나 s 하나만으로 충분하지 않습니다. 두 사실을 각각 얻은 뒤 q∧s로 묶으면 t를 도출할 수 있습니다.

기호식은 q∧s를 만들어 MP에 사용하고, 도식은 ¬q∨¬s∨t에서 q와 s를 한 쌍씩 차례로 해소합니다.

다음 풀이로

복합 논증 · ↔E와 DS

쌍조건을 통과해 OR의 한쪽 얻기

p↔q와 p에서 q를 얻고, q가 내놓는 r∨s에서 ¬s로 r을 가려냅니다.

주어진 전제
전제 1p ↔ q전제 2q → (r ∨ s)전제 3¬s전제 4p
⊢ 목표 결론r
풀이 완료
8 / 8

두 풀이 모두 완성했습니다. 주어진 전제에서 얻은 결론은 r입니다.

두 풀이 모두 완료

SYMBOLIC PROOF

기호식 증명

결론 도달
  1. 1

    p ↔ q

    전제 1

    도식 표기: (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

    표기 변환 2회 · 과정 보기
    1. (p → q) ∧ (q → p)Biconditional · 쌍조건을 양방향 조건의 AND로 풉니다.
    2. (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)Implication · 두 조건을 각각 OR로 바꾸어 두 행에 놓습니다.
  2. 2

    q → (r ∨ s)

    전제 2

    도식 표기: ¬q ∨ r ∨ s

    표기 변환 1회 · 과정 보기
    1. ¬q ∨ r ∨ sImplication · 조건문 A→B를 ¬A∨B로 바꿉니다.
  3. 3

    ¬s

    전제 3

  4. 4

    p

    전제 4

  5. 5

    q

    쌍조건 제거 ↔E · 1, 4줄

    p↔q와 p를 함께 사용하여 q를 직접 얻습니다.

  6. 6

    r ∨ s

    전건긍정 MP · 2, 5줄

    q→(r∨s)에 q를 적용하면 r∨s입니다.

  7. 7

    r

    선언삼단논법 DS · 6, 3줄

    r∨s와 ¬s에서 r을 얻습니다.

결론 도달

r

위 전제와 근거에서 얻은 결론입니다.

추론 3 / 3회
전제 4개 · 표시 기록 3 / 3줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

결론 도달

원래 전제 4개를 그대로 남깁니다.
목표 결론은 전제에 추가하지 않습니다.

쌍조건을 통과해 OR의 한쪽 얻기 · 전제에서 결론까지명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 입력: ¬p 또는 q. 2 입력: p 또는 ¬q. 3 입력: ¬q 또는 r 또는 s. 4 입력: ¬s. 5 입력: p. 6 해소: q. 7 해소: r 또는 s. 8 결론: rpqrs1 입력¬pq2 입력p¬q3 입력¬qrs4 입력¬s5 입력p6 해소q7 해소rs8 결론r

축이 잘리지 않도록 도식 안에서 가로로 이동할 수 있습니다.

s의 상보쌍에서 r

r∨s와 원래 ¬s행에서 s 한 쌍을 해소하여 r을 얻습니다.

결론 도달

r

쌍조건의 두 원래 행을 유지하면서 목표 r행을 도출했습니다.

해소 3 / 3회
도식 표기 변환 3회 · 표시 기록 3 / 3단계

각 연결의 근거를 식으로 읽기
  1. 1·5행 → 6행 qp의 반대 원 한 쌍. p→q를 나타내는 1행과 p를 나타내는 5행에서 q를 얻습니다. 다른 방향의 2행도 보존합니다.
  2. 3·6행 → 7행 r ∨ sq의 반대 원 한 쌍. 3행과 q행의 상보쌍을 해소하여 r∨s를 얻습니다.
  3. 7·4행 → 8행 rs의 반대 원 한 쌍. r∨s와 원래 ¬s행에서 s 한 쌍을 해소하여 r을 얻습니다.
풀이의 핵심

쌍조건 제거는 p↔q와 이미 아는 p를 함께 사용하여 q를 얻는 규칙입니다. 이어서 r∨s를 얻더라도 r을 바로 선택하지 않고, 별도 전제 ¬s를 사용해야 합니다.

왼쪽의 ↔E는 쌍조건과 p에서 q를 직접 얻는 한 추론입니다. 오른쪽은 쌍조건을 두 OR 행으로 준비하고, 필요한 방향의 행을 사용합니다.

다음 풀이로

복합 논증 · →I와 가정 해제

임시 가정으로 조건문 증명하기

p를 임시로 가정하여 r까지 얻은 뒤, 가정을 해제한 p→r을 다음 전건으로 씁니다.

주어진 전제
전제 1p → q전제 2q → r전제 3(p → r) → s
⊢ 목표 결론s
풀이 완료
9 / 9

두 풀이 모두 완성했습니다. 주어진 전제에서 얻은 결론은 s입니다.

두 풀이 모두 완료

SYMBOLIC PROOF

기호식 증명

결론 도달
  1. 1

    p → q

    전제 1

    도식 표기: ¬p ∨ q

    표기 변환 1회 · 과정 보기
    1. ¬p ∨ qImplication · 조건문 A→B를 ¬A∨B로 바꿉니다.
  2. 2

    q → r

    전제 2

    도식 표기: ¬q ∨ r

    표기 변환 1회 · 과정 보기
    1. ¬q ∨ rImplication · 조건문 A→B를 ¬A∨B로 바꿉니다.
  3. 3

    (p → r) → s

    전제 3

    도식 표기: (p ∨ s) ∧ (¬r ∨ s)

    표기 변환 3회 · 과정 보기
    1. ¬(p → r) ∨ sImplication · 바깥 조건문을 OR로 바꿉니다.
    2. (p ∧ ¬r) ∨ sNegatedImplication · ¬(p→r)≡p∧¬r로 안쪽의 부정을 풉니다.
    3. (p ∨ s) ∧ (¬r ∨ s)Distributivity · OR를 AND에 분배하여 두 행으로 놓습니다.
  4. 4
    p를 가정한 범위 · 이 범위에서만 사용

    p

    임시 가정

    p→r을 증명할 범위 안에서 p를 가정합니다. 전역 전제에 p를 추가한 것은 아닙니다.

  5. 5

    q

    전건긍정 MP · 1, 4줄

    이 가정의 범위에서 p→q와 p를 사용합니다.

  6. 6

    r

    전건긍정 MP · 2, 5줄

    같은 범위에서 q→r과 q로부터 r을 얻습니다.

  7. 7

    p → r

    조건문 도입 →I · 4, 6줄

    p를 가정하여 r을 얻었으므로 그 가정을 해제하고 p→r을 얻습니다.

    p를 가정한 범위 · 가정 해제
  8. 8

    s

    전건긍정 MP · 3, 7줄

    이제 p→r은 가정 밖의 결과입니다. (p→r)→s에 적용하여 s를 얻습니다.

결론 도달

s

사용한 임시 가정을 모두 해제한 결론입니다.

추론 4 / 4회 · 임시 가정 1 / 1줄
전제 3개 · 표시 기록 5 / 5줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

결론 도달

원래 전제 3개를 그대로 남깁니다.
목표 결론은 전제에 추가하지 않습니다.

임시 가정으로 조건문 증명하기 · 전제에서 결론까지명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 입력: ¬p 또는 q. 2 입력: ¬q 또는 r. 3 입력: p 또는 s. 4 입력: ¬r 또는 s. 5 해소: ¬p 또는 r. 6 해소: r 또는 s. 7 결론: spqrs1 입력¬pq2 입력¬qr3 입력ps4 입력¬rs5 해소¬pr6 해소rs7 결론s

축이 잘리지 않도록 도식 안에서 가로로 이동할 수 있습니다.

r의 상보쌍에서 s

r∨s와 4행 ¬r∨s에서 r 한 쌍을 해소합니다. 남은 s는 한 번만 적습니다.

결론 도달

s

새 전역 사실 p를 넣지 않고 세 번의 해소로 s를 얻었습니다. 왼쪽은 조건문 도입의 가정 범위를 펼쳐 보인 풀이입니다.

해소 3 / 3회
도식 표기 변환 5회 · 표시 기록 3 / 3단계

각 연결의 근거를 식으로 읽기
  1. 1·2행 → 5행 ¬p ∨ rq의 반대 원 한 쌍. 1·2행의 q 상보쌍에서 p→r과 같은 뜻의 ¬p∨r을 얻습니다. p라는 사실을 추가하지 않습니다.
  2. 5·3행 → 6행 r ∨ sp의 반대 원 한 쌍. 새 ¬p∨r과 3행 p∨s에서 p 한 쌍을 해소하여 r∨s를 얻습니다.
  3. 6·4행 → 7행 sr의 반대 원 한 쌍. r∨s와 4행 ¬r∨s에서 r 한 쌍을 해소합니다. 남은 s는 한 번만 적습니다.
풀이의 핵심

p는 주어진 사실이 아니라 조건문을 증명하기 위해 연 임시 가정입니다. 그 범위 안에서 r을 얻었으므로 p→r을 범위 밖으로 꺼내고, 이 조건문 자체를 (p→r)→s에 적용합니다.

가정 도입은 추론 횟수와 구별하며 →I에서 그 범위를 해제합니다. 가언삼단논법을 허용하면 p→r, s의 두 추론으로 줄일 수 있습니다.

다음 풀이로

복합 논증 · 드모르간과 MT

두 결과가 함께 성립하지 않을 때

¬q∨¬r을 q∧r 전체의 부정으로 읽으면 p→(q∧r)에 후건부정을 적용할 수 있습니다.

주어진 전제
전제 1p → (q ∧ r)전제 2¬q ∨ ¬r
⊢ 목표 결론¬p
풀이 완료
5 / 5

두 풀이 모두 완성했습니다. 주어진 전제에서 얻은 결론은 ¬p입니다.

두 풀이 모두 완료

SYMBOLIC PROOF

기호식 증명

결론 도달
  1. 1

    p → (q ∧ r)

    전제 1

    도식 표기: (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)

    표기 변환 2회 · 과정 보기
    1. ¬p ∨ (q ∧ r)Implication · 조건문을 OR로 바꿉니다.
    2. (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)Distributivity · OR를 두 후건에 분배하여 두 행으로 놓습니다.
  2. 2

    ¬q ∨ ¬r

    전제 2

  3. 3

    ¬(q ∧ r)

    드모르간 동치변형 DeMorgan · 2줄

    ¬q∨¬r을 ¬(q∧r)로 다시 씁니다. 후건 전체를 부정하는 형태입니다.

  4. 4

    ¬p

    후건부정 MT · 1, 3줄

    p→(q∧r)와 ¬(q∧r)에서 ¬p를 얻습니다.

결론 도달

¬p

위 전제와 근거에서 얻은 결론입니다.

추론 2 / 2회
전제 2개 · 표시 기록 2 / 2줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

결론 도달

원래 전제 2개를 그대로 남깁니다.
목표 결론은 전제에 추가하지 않습니다.

두 결과가 함께 성립하지 않을 때 · 전제에서 결론까지명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 입력: ¬p 또는 q. 2 입력: ¬p 또는 r. 3 입력: ¬q 또는 ¬r. 4 해소: ¬p 또는 ¬r. 5 결론: ¬ppqr1 입력¬pq2 입력¬pr3 입력¬q¬r4 해소¬p¬r5 결론¬p
r의 상보쌍에서 ¬p

¬p∨¬r과 2행 ¬p∨r에서 r 한 쌍을 해소하면 ¬p만 남습니다.

결론 도달

¬p

두 결과가 모두 성립할 수 없다는 조건으로부터 ¬p행을 얻었습니다.

해소 2 / 2회
도식 표기 변환 2회 · 표시 기록 2 / 2단계

각 연결의 근거를 식으로 읽기
  1. 1·3행 → 4행 ¬p ∨ ¬rq의 반대 원 한 쌍. 1행 ¬p∨q와 3행 ¬q∨¬r에서 q 한 쌍을 해소합니다.
  2. 4·2행 → 5행 ¬pr의 반대 원 한 쌍. ¬p∨¬r과 2행 ¬p∨r에서 r 한 쌍을 해소하면 ¬p만 남습니다.
풀이의 핵심

p는 q와 r을 모두 보장합니다. 그런데 두 결과가 동시에 성립하지 않는다는 전제가 있으므로 p도 성립할 수 없습니다.

기호식은 드모르간으로 후건 전체의 부정을 만든 뒤 MT를 쓰고, 도식은 q와 r의 상보쌍을 한 번씩 해소하여 ¬p를 얻습니다.

다음 풀이로

09—10 · 중간식 찾기

중간 행을 찾아 증명하기

곧바로 보이지 않는 연결을 만든 뒤 결론으로 이어 갑니다.

중간 행 찾기 · 배타 조건

결과의 충돌을 입력까지 거슬러 올리기

r과 s가 함께 참일 수 없다는 조건에서, p와 q도 함께 참일 수 없음을 찾아냅니다.

주어진 전제
전제 1p ∨ q전제 2¬p ∨ r전제 3¬q ∨ s전제 4¬r ∨ ¬s
⊢ 목표 결론(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
풀이 완료
8 / 8

두 풀이 모두 완성했습니다. 주어진 전제에서 얻은 결론은 (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)입니다.

두 풀이 모두 완료

SYMBOLIC PROOF

기호식 증명

결론 도달
  1. 1

    p ∨ q

    전제 1

  2. 2

    ¬p ∨ r

    전제 2

  3. 3

    ¬q ∨ s

    전제 3

  4. 4

    ¬r ∨ ¬s

    전제 4

  5. 5

    ¬p ∨ ¬s

    해소 · r 한 쌍 Resolution · 2, 4줄

    (¬p∨r)와 (¬r∨¬s)에서 r, ¬r 한 쌍을 해소하면 ¬p∨¬s입니다.

  6. 6

    ¬p ∨ ¬q

    해소 · s 한 쌍 Resolution · 5, 3줄

    (¬p∨¬s)와 (¬q∨s)에서 s의 상보쌍을 해소하면 ¬p∨¬q입니다.

  7. 7

    (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

    연언 도입 ∧I · 1, 6줄

    원래 p∨q와 새 ¬p∨¬q를 함께 읽어 두 조건을 모두 요구합니다.

결론 도달

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

위 전제와 근거에서 얻은 결론입니다.

추론 3 / 3회
전제 4개 · 표시 기록 3 / 3줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

결론 도달

원래 전제 4개를 그대로 남깁니다.
목표 결론은 전제에 추가하지 않습니다.

결과의 충돌을 입력까지 거슬러 올리기 · 전제에서 결론까지명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 결론: p 또는 q. 2 입력: ¬p 또는 r. 3 입력: ¬q 또는 s. 4 입력: ¬r 또는 ¬s. 5 해소: ¬p 또는 ¬s. 6 결론: ¬p 또는 ¬qpqrs1 결론pq2 입력¬pr3 입력¬qs4 입력¬r¬s5 해소¬p¬s6 결론¬p¬q

축이 잘리지 않도록 도식 안에서 가로로 이동할 수 있습니다.

원래 행과 새 행의 AND 읽기

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

1행 p∨q와 마지막 ¬p∨¬q행을 함께 읽습니다. 두 행이 있으므로 p와 q 중 정확히 하나가 참입니다.

결론 도달

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

원래의 선택 조건과 새 배타 조건을 서로 다른 두 행으로 읽습니다.

해소 2 / 2회 · 식 읽기 1 / 1회
도식 표기 변환 0회 · 표시 기록 3 / 3단계

각 연결의 근거를 식으로 읽기
  1. 2·4행 → 5행 ¬p ∨ ¬sr의 반대 원 한 쌍. 2·4행에서 r의 상보쌍을 해소합니다. 결과는 p와 s가 함께 참일 수 없다는 중간 조건입니다.
  2. 5·3행 → 6행 ¬p ∨ ¬qs의 반대 원 한 쌍. 중간 행 ¬p∨¬s와 3행 ¬q∨s에서 s 한 쌍을 해소하면 ¬p∨¬q가 됩니다.
  3. 원래 행과 새 행의 AND 읽기 (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)1행 p∨q와 마지막 ¬p∨¬q행을 함께 읽습니다. 두 행이 있으므로 p와 q 중 정확히 하나가 참입니다.
풀이의 핵심

먼저 ¬p∨¬s를 얻어 p와 s의 동시 성립을 막고, 다시 ¬p∨¬q를 얻습니다. 원래 p∨q와 함께 읽으면 p와 q 중 적어도 하나는 참이고 둘 다 참일 수는 없으므로 정확히 하나만 참입니다.

왼쪽에도 같은 두 해소를 기호로 적습니다. 찾을 대상은 중간 식 ¬p∨¬s이며, 기호와 도식의 증명 가능성이 다른 것은 아닙니다.

다음 풀이로

중간 행 찾기 · 순환 연결

순환 조건에서 단일 사실 찾아내기

단일 사실 없이 시작해 p∨r, p∨s를 거치면 p가 나오고, 이어 r도 얻을 수 있습니다.

주어진 전제
전제 1p ∨ q전제 2¬p ∨ r전제 3¬q ∨ r전제 4¬r ∨ s전제 5¬s ∨ p
⊢ 목표 결론p ∧ r
풀이 완료
11 / 11

두 풀이 모두 완성했습니다. 주어진 전제에서 얻은 결론은 p ∧ r입니다.

두 풀이 모두 완료

SYMBOLIC PROOF

기호식 증명

결론 도달
  1. 1

    p ∨ q

    전제 1

  2. 2

    ¬p ∨ r

    전제 2

  3. 3

    ¬q ∨ r

    전제 3

  4. 4

    ¬r ∨ s

    전제 4

  5. 5

    ¬s ∨ p

    전제 5

  6. 6

    p ∨ r

    해소 · q 한 쌍 Resolution · 1, 3줄

    (p∨q)와 (¬q∨r)에서 p∨r을 얻습니다.

  7. 7

    p ∨ s

    해소 · r 한 쌍 Resolution · 6, 4줄

    (p∨r)와 (¬r∨s)에서 p∨s를 얻습니다.

  8. 8

    p

    해소 · s 한 쌍 Resolution · 7, 5줄

    (p∨s)와 (¬s∨p)에서 남는 p∨p를 p로 적습니다.

  9. 9

    r

    해소 · p 한 쌍 Resolution · 8, 2줄

    얻은 p와 원래 ¬p∨r에서 r을 얻습니다.

  10. 10

    p ∧ r

    연언 도입 ∧I · 8, 9줄

    증명한 p와 r을 함께 p∧r로 묶습니다.

결론 도달

p ∧ r

위 전제와 근거에서 얻은 결론입니다.

추론 5 / 5회
전제 5개 · 표시 기록 5 / 5줄

VERTICAL LINES & CIRCLES

Hotian’s Arrow

결론 도달

원래 전제 5개를 그대로 남깁니다.
목표 결론은 전제에 추가하지 않습니다.

순환 조건에서 단일 사실 찾아내기 · 전제에서 결론까지명제별 세로선 위에 찬 원은 긍정형, 빈 원은 부정형으로 놓입니다. 같은 행은 또는 묶음이고 모든 행은 함께 성립해야 합니다. 1 입력: p 또는 q. 2 입력: ¬p 또는 r. 3 입력: ¬q 또는 r. 4 입력: ¬r 또는 s. 5 입력: ¬s 또는 p. 6 해소: p 또는 r. 7 해소: p 또는 s. 8 결론: p. 9 결론: rpqrs1 입력pq2 입력¬pr3 입력¬qr4 입력¬rs5 입력¬sp6 해소pr7 해소ps8 결론p9 결론r

축이 잘리지 않도록 도식 안에서 가로로 이동할 수 있습니다.

두 결과 행의 AND 읽기

p ∧ r

p와 r을 각각 하나의 행으로 증명했습니다. 두 행을 함께 읽으면 p∧r입니다.

결론 도달

p ∧ r

네 해소로 얻은 p행과 r행을 서로 다른 두 행으로 읽어 p∧r을 얻습니다.

해소 4 / 4회 · 식 읽기 1 / 1회
도식 표기 변환 0회 · 표시 기록 5 / 5단계

각 연결의 근거를 식으로 읽기
  1. 1·3행 → 6행 p ∨ rq의 반대 원 한 쌍. 1·3행에서 q 한 쌍을 해소하여 중간 행 p∨r을 얻습니다.
  2. 6·4행 → 7행 p ∨ sr의 반대 원 한 쌍. p∨r과 4행 ¬r∨s에서 r 한 쌍을 해소하여 p∨s를 얻습니다.
  3. 7·5행 → 8행 ps의 반대 원 한 쌍. p∨s와 5행 ¬s∨p에서 s를 해소하면 p만 남습니다. 원래 전제에 없던 단일 사실입니다.
  4. 8·2행 → 9행 rp의 반대 원 한 쌍. p행과 원래 2행 ¬p∨r에서 r을 얻습니다. 이미 얻은 p행도 그대로 남깁니다.
  5. 두 결과 행의 AND 읽기 p ∧ rp와 r을 각각 하나의 행으로 증명했습니다. 두 행을 함께 읽으면 p∧r입니다.
풀이의 핵심

중간 행의 다른 갈래를 q에서 r로, r에서 s로 차례로 바꿉니다. s가 다시 p로 이어지면 p∨p는 p가 되며, 이 p를 원래 ¬p∨r에 적용하여 r도 얻습니다.

기호식과 도식은 같은 네 해소를 사용합니다. 어려움은 처음에 주어지지 않은 p를 찾도록 중간 행 p∨r, p∨s를 고르는 데 있습니다.

열 가지 풀이 정리

열 가지 풀이를 마치고

식의 뜻을 지키며,
결론까지 이어 왔습니다.

동치 풀이에서는 정리한 식 전체가 처음과 같은 뜻인지 확인했습니다. 논증 풀이에서는 전제에서 얻은 행을 다음 연결에 사용했습니다. 마지막 두 문제에서는 바로 보이지 않던 중간 행을 만든 뒤 결론까지 이어 갔습니다.

새 문제에서도 먼저 목표를 읽고, 그 목표에 필요한 행을 찾아보세요. 같은 축의 반대 원 한 쌍을 고를 때마다 남은 원이 어떤 식을 뜻하는지 함께 적으면 풀이의 근거가 분명해집니다.

풀이의 규칙과 표시 단계를 읽는 방법

왼쪽의 ≡는 식 전체가 같은 뜻이라는 표시입니다. 논증의 각 줄은 전제나 앞서 얻은 식을 근거로 삼습니다. 경우를 나누거나 조건문을 증명할 때 쓰는 임시 가정은 해당 범위 안에서만 사용하며, 결론을 내리는 줄에서 해제합니다.

오른쪽에서 두 행을 해소할 때에는 반대 원 한 쌍만 제외합니다. 원래 행은 유지합니다. 동치 풀이에서 행을 없앨 때에는 남은 행만으로 그 조건이 충족되는지 별도로 확인하며, 이 과정은 ‘행 정리’로 셉니다. 목표가 여러 문장의 연언이면 결과 행들을 함께 AND로 읽습니다.

전제와 도식 표기 변환, 임시 가정, 기호식 추론, 해소와 행 정리는 각각 구분해 표시합니다. ‘한 단계씩’은 양쪽의 다음 기록을 하나씩 보여 준다는 뜻입니다. 화면의 재생 간격은 읽기 속도이며, 표시된 횟수는 이 페이지에 제시한 풀이의 횟수입니다. 동치 변형은 표시한 줄을 세며, 여러 규칙을 함께 쓰는 줄에는 중간식을 설명에 적습니다.

9·10번은 필요한 중간식을 찾는 데 집중합니다. 두 문제 모두 기호식으로 증명할 수 있으며, 왼쪽에 그 근거를 끝까지 제시했습니다.

규칙 확인: 자연연역과 가정의 범위 · 절 표기와 해소 규칙

01 · 기호 증명일반 증명과 다섯 문제 비교 ↗
02 · 카르노맵카르노맵과 다섯 식 비교 ↗
03 · 지금 읽은 풀이동치와 복잡한 논증, 열 가지 풀이
직접 식을 넣어 보기 열 가지 풀이 다시 보기