‘학생만’과 ‘학생이면’을 어떻게 구별하나요?

두 표현에 어긋나는 사람이 누구인지 찾아보면 차이가 보입니다. 학생인데 입장하지 않은 사람일까요, 학생이 아닌데 입장한 사람일까요? 판단할 기록부터 정해 보겠습니다.

맞습니다. E는 그 시간대에 실제로 입장했다는 뜻으로 고정합니다. 허가를 받았는지, 들어갈 능력이 있었는지는 이 기록에 포함되지 않습니다. 다른 물음을 다루려면 그 뜻을 따로 정해야 합니다.

먼저 “학생이면 입장했다”를 “이 영역의 누구든 학생인 사람은 모두 해당 시간대에 입장했다”라는 뜻으로 읽겠습니다. 아라·보라·찬우를 한 명씩 살펴보며, 학생이면 입장 기록을 요구합니다.

그래서 처음 기록에서는 이 주장이 거짓입니다. 보라 한 명이 학생인데 입장하지 않은 경우를 보여 줍니다. 기호로는 ∀x(S(x) → E(x))라고 씁니다.

그렇습니다. 이 주장은 학생인 사람에게 입장 기록이 있어야 한다고 말합니다. 학생이 아닌 사람의 입장을 막는 조건은 포함하지 않습니다. 그래서 S가 참이고 E가 거짓인 경우를 찾으면 이 주장을 검사할 수 있습니다.

식의 ∀x는 세 사람 모두를 살펴보게 합니다. 괄호 안에서 S(x)가 참인 사람에게 E(x)를 요구하므로, 학생 집단에 관한 전칭 주장을 표현할 수 있습니다.

이 말에서 먼저 제외하는 경우를 생각해 보세요. 학생이 아닌 사람이 입장한 경우가 있으면 ‘학생만’이라는 제한이 깨집니다. 따라서 입장한 사람을 살펴보고, 그 사람이 학생인지 확인합니다.

맞습니다. ‘학생만’에서 학생이라는 조건은 입장한 사람이 갖추어야 할 조건입니다. 그래서 화살표는 E에서 S로 향합니다. 말에서 ‘학생’이 먼저 나왔다는 이유로 S를 화살표 앞에 놓으면 방향을 뒤집게 됩니다.

여기서는 ‘학생만’의 학생 아닌 입장자를 제외한다는 내용을 식으로 적었습니다. 실제 입장자가 있는지는 별도로 확인할 수 있습니다. 처음 기록에는 아라가 있습니다. 입장자가 전혀 없는 기록은 뒤에서 따로 살펴보겠습니다.

이제 처음 기록에서 잠시 떨어져, 한 사람에게 가능한 네 가지 독립적인 경우를 비교하겠습니다. 각 행에서 학생 여부와 입장 여부를 새로 정합니다.

맞습니다. 세 번째 행도 읽어 보세요. 학생이 아닌데 입장했습니다. 이번에는 ‘학생만’을 깨뜨립니다. ‘학생이면’은 학생 아닌 사람의 입장을 금지하지 않으므로 그 행의 S → E는 참입니다.

네. 조건문은 앞부분이 참인데 뒷부분이 거짓일 때 거짓입니다. 앞부분이 거짓인 행에서는 조건문을 참으로 평가합니다. 이를 해당 인물이 실제로 입장했다는 정보로 읽으면 안 됩니다. 입장 사실은 E의 칸에서 따로 확인합니다.

전칭식으로 넘어가면 모든 사람의 행을 확인합니다. ∀x(S(x) → E(x))에서는 두 번째 유형이 한 명이라도 있으면 거짓이고, ∀x(E(x) → S(x))에서는 세 번째 유형이 한 명이라도 있으면 거짓입니다.

이 수업에서는 그렇습니다. “입장했다면 학생인 경우여야 한다”로 풀어 읽습니다. 입장 기록이 있는데 학생이 아닌 경우를 제외한다는 뜻을 확인하면 ∀x(E(x) → S(x))를 얻습니다.

네. 한 사람의 학생 여부를 S, 입장을 E라고 잠시 줄여 쓰면 ‘E if S’는 S → E, ‘E only if S’는 E → S로 읽습니다. only if 뒤의 S는 E가 성립할 때 갖추어야 하는 조건입니다.

그 방법을 써 보세요. ‘학생인 경우에만 입장했다’인데 학생이 아닌 찬우가 입장했다고 해 보세요. 주장이 깨집니다. 따라서 E가 참이고 S가 거짓인 조합을 막는 E → S가 맞습니다.

‘학생만 입장했다’라는 주장이 참이라고 해 보겠습니다. 입장한 사람이 학생이 아닐 수 있나요?

이 관계에서 학생이라는 조건을 입장의 필요조건이라고 부릅니다. ∀x(E(x) → S(x))가 참일 때, E를 만족하는 사람은 S도 만족해야 합니다. ‘필요하다’는 말은 지금 정한 두 조건의 논리적 관계를 가리킵니다.

그 결론은 아직 얻을 수 없습니다. 이번에는 처음 기록을 덧붙이지 말고 ‘학생만 입장했다’와 ‘보라는 학생이다’라는 두 정보만으로 판단해 보겠습니다. 보라가 입장한 기록과 입장하지 않은 기록이 모두 이 두 정보에 맞습니다.

필요조건을 갖췄다는 사실만으로 결과를 확정하지는 못합니다. 반대로 그 필요조건을 갖추지 못했다면, 그 주장이 참이라는 전제 아래에서는 입장한 사람이 될 수 없습니다. 학생 아닌 찬우가 입장하면 ‘학생만’이 깨지기 때문입니다.

맞습니다. 처음의 완전한 기록을 다시 사용하면 보라가 입장하지 않았음을 압니다. 지금의 두 정보만 사용하면 두 가능성이 남습니다. 어떤 정보를 쓰고 있는지도 함께 표시해야 합니다.

이번에는 처음 기록과 독립된 새 비교 기록을 생각하겠습니다. 이 기록에서는 ∀x(S(x) → E(x))가 참이라고 알려 주었습니다. 학생이면 입장했다는 주장을 전제로 사용하겠습니다.

그렇습니다. 이 관계에서 학생이라는 조건은 입장의 충분조건입니다. 전칭 조건문이 참이라는 전제 아래, 어느 사람이 학생임을 알면 그 사람의 입장도 결론 낼 수 있습니다.

지금 말하는 것은 주어진 주장 안의 논리적 관계입니다. ‘학생이면 입장했다’가 참인 기록에서는 학생인 사람에게 입장 기록이 빠질 수 없습니다. 입장이 학생 신분을 만들어 낸다는 인과관계나, 실제 학교의 자격 규정을 말한 것은 아닙니다.

맞습니다. 비교 기록에서 학생 아라와 보라가 모두 입장하고 방문객 찬우도 입장했다고 해도, ‘학생이면 입장했다’는 참입니다. 따라서 E가 참이라는 사실에서 S를 거꾸로 얻을 수는 없습니다.

두 방향을 함께 적으면 됩니다. 학생에서 입장으로 가는 ∀x(S(x) → E(x))와, 입장에서 학생으로 가는 ∀x(E(x) → S(x))가 모두 참이어야 합니다.

별도의 비교 기록에서 아라와 보라는 학생이며 둘 다 입장했고, 방문객 찬우는 입장하지 않았다고 해 보세요. 이 경우에는 세 사람 각각의 S와 E가 같은 값을 가지므로 쌍조건 전칭식이 참입니다.

맞습니다. 처음 기록에서는 ‘학생만’은 참이지만 ‘학생은 모두’가 거짓입니다. 한쪽이 참이라는 사실을 근거로 ↔를 붙일 수 없습니다.

그 말에는 학생이면서 입장한 한 사람이 필요합니다. 따라서 ∃x(S(x) ∧ E(x))로 씁니다. 학생인 사람을 찾았어도 입장하지 않았다면 아직 존재 주장을 뒷받침하지 못합니다.

그 식은 조건문이 참인 대상이 한 명이라도 있는지 묻습니다. 학생이 아닌 찬우에게는 S(c)가 거짓이어서 S(c) → E(c)가 참입니다. 그래서 찬우가 입장하지 않아도 그 식의 근거가 됩니다. 원래 말에 필요한 학생인 입장자를 찾지 못해도 참이 될 수 있습니다.

지금 배운 것은 ‘모든 학생은 …’이라는 제한된 전칭과 ‘어떤 학생은 …’이라는 제한된 존재를 적는 방법입니다. 모든 식에 적용되는 문법 금지 규칙은 아닙니다. ‘모든 사람은 학생이면서 입장했다’라면 ∀x(S(x) ∧ E(x))가 그 뜻에 맞습니다. 적으려는 내용을 먼저 풀어 읽으세요.

바로 앞의 ‘아무도 입장하지 않은 비교 기록’을 계속 사용하겠습니다. 아라와 보라는 학생이고, 찬우는 방문객이며, 세 사람 모두 입장하지 않았습니다. ∀x(E(x) → S(x))의 값은 무엇일까요?

맞습니다. 학생 아닌 입장자가 한 명도 없으므로 이 제한은 충족됩니다. 전칭 조건문의 앞 조건을 충족하는 대상이 없는 경우의 참을 공허한 참이라고 부릅니다. 실제 입장자가 있다는 내용은 여기서 생기지 않습니다.

그런 뜻까지 전달하려는 상황이라면 두 내용을 함께 적어야 합니다. 이 수업에서 먼저 적은 식은 ‘입장자는 모두 학생이다’라는 제한입니다. 실제로 입장한 학생도 있다는 뜻을 함께 의도하면 존재식도 붙입니다.

또 다른 비교 기록에서 학생도 없고 입장자도 없을 수 있습니다. 세 행사 등록자는 모두 방문객이라고 정하면 됩니다. 전체 영역에는 여전히 세 사람이 있습니다. S와 E를 만족하는 집단이 비어 있다는 것과 전체 영역이 비어 있다는 것을 구별하세요.

예외를 포함한 내용을 적으려면 식에도 반영해야 합니다. 이제 처음 기록과 별개의 비교 기록에서 K(x)를 ‘이 행사 안내 담당자다’로 정하겠습니다. 아라와 보라는 학생, 찬우는 학생이 아닌 안내 담당자입니다. 이 기록에서는 아라와 찬우가 입장했고 보라는 입장하지 않았습니다.

그 표현은 ∀x((E(x) ∧ ¬K(x)) → S(x))로 적을 수 있습니다. 안내 담당자가 아닌 입장자에게 학생 조건을 요구합니다. 이 조건이 거짓이 되는 사람은 E가 참이고 K와 S가 모두 거짓인 사람입니다. 앞의 식을 깨뜨리는 사람과 같습니다.

예외가 허용되었다는 것만으로 모든 안내 담당자가 실제 입장했다고 결론 내리지는 않습니다. 지금 찬우의 입장은 비교 기록에서 별도로 주어졌습니다. 입장자의 범위를 어떻게 정했는지와 실제 입장자가 누구인지를 나누어 읽으세요.

이번에는 추가 조건을 살펴보는 새 비교 기록입니다. 같은 세 사람을 두고 T(x)를 ‘오전 9시 전에 신청서를 빠짐없이 제출했다’로 정하겠습니다. S와 E의 뜻은 계속 학생 여부와 오전 9~10시 입장 기록입니다.

그렇습니다. 먼저 ‘학생이면서 신청서를 모두 냈다’를 S(x) ∧ T(x)로 묶습니다. 첫 주장은 이 묶음에 해당하면 입장했다는 뜻이므로 ∀x((S(x) ∧ T(x)) → E(x))입니다. 아라가 두 앞 조건을 충족하고 입장했으므로 이 비교 기록에서 참입니다.

맞습니다. 앞 조건이 ‘학생이면서 신청서 완료’라는 묶음입니다. 보라가 학생이라는 정보만으로 입장을 결론 내리려면 주어진 앞 조건의 일부만 사용하게 됩니다. S와 T를 함께 확인해야 합니다.

두 번째 ‘신청서를 모두 낸 학생만 입장했다’는 입장한 사람에게 두 조건을 모두 요구합니다. 따라서 ∀x(E(x) → (S(x) ∧ T(x)))입니다. 이 비교 기록에서는 찬우가 입장했지만 학생이 아니므로 거짓입니다.

좋습니다. 아래에서는 각 문제에 적힌 정보만 사용하세요. ‘처음 기록’이라고 한 문제만 처음의 표를 사용합니다. 조건문을 적은 뒤에는 학생 아닌 입장자를 막는지, 입장하지 않은 학생을 막는지 말로 다시 확인해 보세요.

기호를 적고 나서 한 사람의 모습을 상상해 보세요. 그 사람이 학생인지, 입장했는지, 추가 조건이나 예외에 속하는지를 차례로 확인합니다. 그 조합이 원래 말을 깨뜨리는지와 식을 거짓으로 만드는지가 맞아야 합니다.

네. 그렇게 적으면 결론에 어떤 정보를 더 보탰는지도 보입니다. 다음 편에서는 두 이름이 같은 대상을 가리킨다는 말을 배웁니다. 이름이 두 개라는 사실과 대상이 두 명이라는 사실을 다시 나누어 살펴보겠습니다.