함께 시작해 볼까요?
세 사람의 제출 현황을 함께 읽으며 ‘모두 제출했다’, ‘제출하지 않은 사람이 있다’, ‘아무도 제출하지 않았다’를 구별합니다. 양화사와 괄호의 범위를 하나씩 확인하고, 학생처럼 범위를 제한한 주장까지 직접 부정해 봅니다.
누구의 어떤 상태를 확인하나요?
영역과 시점을 정한 뒤, 모두에 관한 주장을 읽습니다.
이번 편에서는 세 사람의 오후 4시 현황을 봅니다.
학습을 위해 만든 가상 모임입니다. 논의 영역은 서로 다른 세 사람 아라·보라·찬우입니다. a는 아라, b는 보라, c는 찬우를 가리킵니다.
P(x)의 뜻은 “x는 오늘 오후 4시까지 보고서를 제출했다”로 정합니다. 뒤에서 다른 현황이라고 따로 밝힌 예를 제외하면, 같은 세 사람의 같은 시점을 살펴봅니다.
| 대상 | P(x)의 값 | 확인한 사실 |
|---|---|---|
| 아라 | 참 | 오후 4시까지 제출함 |
| 보라 | 거짓 | 오후 4시까지 제출하지 않음 |
| 찬우 | 참 | 오후 4시까지 제출함 |
아라와 찬우는 제출했고 보라는 제출하지 않았군요. “모두 제출했다”는 말은 거짓이에요.
네. ∀x P(x)는 이 세 사람 각각에게 P가 참이라고 주장합니다. 아라에서 참, 보라에서 거짓, 찬우에서 참이므로 전체 주장은 거짓입니다. 보라 한 사람의 현황만으로도 “모두”라는 주장을 받아들일 수 없어요.
그럼 그 주장을 부정할 때에는 “보라가 제출하지 않았다”라고 말하면 되나요?
보라는 그 부정이 참임을 확인해 주는 구체적인 대상입니다. 전체 내용을 부정한 표현은 “모두 제출했다는 것은 거짓이다”이고, 같은 뜻을 “제출하지 않은 사람이 적어도 한 명 있다”라고 풀어 쓸 수 있습니다. 부정 자체에 보라라는 특정 이름이 들어갈 필요는 없습니다.
‘모두 제출했다’의 부정은 왜 한 사람으로 확인되나요?
전칭문을 거짓으로 만드는 한 대상을 찾습니다.
세 사람 중 두 사람이 제출했으니, 부정이 참이라고 말하기에는 제출한 사람이 너무 많지 않나요?
“모두 제출했다”가 참이려면 세 사람 모두 제출해야 합니다. 그래서 제출하지 않은 사람이 한 명이라도 있으면 이 조건이 충족되지 않습니다. 제출한 사람의 수가 둘이든, 하나이든, 영이든 그 점은 같습니다.
전체 부정과 반례를 차례로 읽습니다.
¬(∀x P(x)) — “모든 대상이 P를 만족한다”는 주장이 거짓입니다.
∃x ¬P(x) — P를 만족하지 않는 대상이 적어도 하나 있습니다.
두 식은 같은 영역과 같은 P를 사용할 때 늘 같은 진릿값을 가집니다. 이를 논리적으로 동치라고 합니다. 동치를 표시할 때 ≡를 쓰면 ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)입니다.
앞의 ¬를 괄호 안으로 읽어 들어가면 “모두”가 “적어도 하나”로 바뀌는군요.
그렇습니다. 왜 이렇게 기호를 바꿀 수 있는지 떠올려 보세요. “예외 없이 모두”라는 조건을 깨뜨리는 데에는 예외 한 대상이면 충분합니다. 그 대상이 바로 ¬P(x)를 만족합니다.
처음 현황에서 ¬(∀x P(x))와 ∃x ¬P(x)는 각각 참인가요? 그 이유를 알려 주는 사람은 누구인가요?
답과 풀이 확인하기
두 식은 모두 참이며, 보라의 현황으로 확인할 수 있습니다.
보라가 오후 4시까지 제출하지 않았으므로 P(b)는 거짓이고 ¬P(b)는 참입니다. 따라서 모든 사람이 제출했다는 주장은 거짓이며, 제출하지 않은 사람이 있다는 주장은 참입니다.
‘아무도 제출하지 않았다’도 같은 뜻인가요?
일부가 제출한 경우를 넣어 두 표현을 비교합니다.
“모두 제출했다”를 부정하면서 “아무도 제출하지 않았다”라고 써도 될까요?
이 표현은 세 사람 각각에게 ¬P를 요구합니다. 처음 현황에서는 아라와 찬우가 제출했으므로 ∀x ¬P(x)가 거짓입니다. 같은 현황에서 ¬(∀x P(x))는 참이었지요. 두 식이 서로 다른 요구를 한다는 것을 여기서 확인할 수 있습니다.
| 제출한 인원 | ∀x P(x) | ¬(∀x P(x)) | ∀x ¬P(x) |
|---|---|---|---|
| 3명 | 참 | 거짓 | 거짓 |
| 2명 | 거짓 | 참 | 거짓 |
| 1명 | 거짓 | 참 | 거짓 |
| 0명 | 거짓 | 참 | 참 |
두 명이나 한 명만 제출했을 때 두 부정 표현의 값이 다르네요.
네. “모두 제출했다”의 부정은 미제출자가 있다는 것까지 말합니다. 제출한 사람이 있는지는 별도로 확인해야 합니다. “아무도 제출하지 않았다”라고 말하려면 세 사람 각각의 미제출을 확인해야 하고요.
“모두 제출한 것은 아니다”가 참이라는 정보만 받았습니다. 제출한 사람이 한 명 이상 있다고 결론 내릴 수 있나요?
답과 풀이 확인하기
그 결론에는 추가 정보가 필요합니다.
아무도 제출하지 않은 경우에도 “모두 제출한 것은 아니다”는 참입니다. 이 부정만으로 알 수 있는 것은 미제출자가 적어도 한 명 있다는 사실입니다.
‘제출한 사람이 있다’를 부정하면 어떻게 되나요?
존재문을 거짓으로 만들려면 모든 대상에서 확인해야 합니다.
이번에는 “제출한 사람이 있다”를 부정해 보고 싶어요. 보라가 제출하지 않았으니 그 부정도 참인가요?
처음 현황에서 아라와 찬우가 제출했습니다. 그래서 ∃x P(x)는 참이고, 그 전체 부정 ¬(∃x P(x))는 거짓입니다. 제출하지 않은 사람 한 명을 찾았어도, 제출한 사람이 있다는 주장은 여전히 참일 수 있습니다.
제출한 사람이 아예 없어야 하겠네요.
맞습니다. 영역의 어느 대상을 골라도 P가 거짓이어야 합니다. 각 대상에 ¬P가 참이라는 뜻이므로 ∀x ¬P(x)로 적습니다.
아무도 제출하지 않았다는 뜻을 두 방식으로 적습니다.
¬(∃x P(x)) — 제출한 사람이 있다는 주장이 거짓입니다.
∀x ¬P(x) — 어느 사람을 보아도 제출하지 않았습니다.
¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)
처음 현황과 별개로, 세 사람 모두 오후 4시까지 제출하지 않은 현황을 가정합니다. ¬(∃x P(x))와 ∀x ¬P(x)는 어떤 값인가요?
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두 식 모두 참입니다.
세 사람 가운데 P가 참인 대상이 하나도 없으므로 ∃x P(x)는 거짓입니다. 동시에 아라·보라·찬우 각각에게 ¬P가 참이므로 ∀x ¬P(x)는 참입니다. 여기서는 세 사람을 모두 확인한 상황이라고 약속했습니다.
우리말의 ‘모두’와 ‘않았다’는 어떻게 풀어 읽나요?
뜻이 두 갈래로 읽히면 의도한 범위를 확인합니다.
“학생들이 모두 제출하지 않았다”라는 말을 들으면 좀 헷갈려요. 학생 전원이 안 냈다는 뜻일까요?
그 표현은 문맥과 말하는 방식에 따라 “전원이 미제출이다”라는 뜻으로도, “전원이 제출한 상태는 아니다”라는 뜻으로도 받아들여질 수 있습니다. 기호를 적을 때에는 먼저 어느 뜻인지 확인하면 됩니다.
| 분명하게 풀어 쓴 뜻 | 기호 |
|---|---|
| 모든 학생이 미제출 상태다. | ∀x ¬P(x) |
| 보고서를 제출하지 않은 학생이 적어도 한 명 있다. | ∃x ¬P(x) |
| 보고서를 제출한 학생은 한 명도 없다. | ¬(∃x P(x)) |
| 전원이 보고서를 제출했다는 주장은 거짓이다. | ¬(∀x P(x)) |
처음과 셋째가 한 쌍이고, 둘째와 넷째가 한 쌍이네요.
네. 괄호 안의 내용 전체를 부정하는지, 각 사람에게 붙는 성질을 부정하는지 보세요. 말의 순서나 부정어의 개수만 세면 이 차이를 놓치기 쉽습니다.
한 반에 학생이 세 명 있습니다. 교사가 “아무도 제출하지 않았다”고 말했습니다. 이 내용을 ∃x ¬P(x)만으로 옮기면 충분한가요?
답과 풀이 확인하기
전원이 미제출이라는 내용을 담으려면 ∀x ¬P(x) 또는 ¬(∃x P(x))가 필요합니다.
∃x ¬P(x)는 미제출자가 적어도 한 명 있다는 것까지만 말합니다. 나머지 학생들의 제출 여부는 열어 둡니다. 교사의 말은 제출한 학생이 한 명도 없다는 내용입니다.
부정 기호는 어디까지 적용되나요?
괄호 안의 덩어리를 먼저 읽고 그 전체를 부정합니다.
기호를 보면서도 부정의 범위를 놓칠 것 같아요. 읽는 순서가 있을까요?
예를 들어 ¬(∀x P(x))를 읽을 때에는 괄호 안을 먼저 말로 풀어 보세요. “모든 사람이 제출했다.” 그다음 바깥의 ¬를 읽습니다. “그 주장이 거짓이다.” 이렇게 하면 처음부터 각 사람을 미제출자로 바꾸는 실수를 줄일 수 있습니다.
부정이 적용되는 덩어리를 확인합니다.
¬(∀x P(x))의 바깥 ¬는 ∀x P(x) 전체에 적용됩니다.
∀x (¬P(x))에서는 ∀x의 범위 안에 ¬P(x)가 있습니다. 모든 대상에게 “제출하지 않았다”가 성립한다고 읽습니다.
이 연재에서는 범위를 보여 주는 괄호를 넉넉히 쓰겠습니다. ¬∀x P(x)처럼 바깥 괄호를 생략한 표기를 만나도 같은 덩어리를 먼저 확인할 수 있습니다.
앞에서 배운 명제논리처럼 무엇을 하나의 덩어리로 잡았는지 확인하는군요.
그렇습니다. 양화사도 자신이 적용되는 식을 가집니다. 지금은 ∀x P(x)나 ∃x P(x) 한 덩어리씩 부정하고 있습니다. 뒤에 접속사가 더 붙으면 괄호가 어느 부분을 묶는지 더욱 주의해서 읽으면 됩니다.
¬(∃x P(x)) ∧ Q(a)에서 Q(a)는 “아라가 신분증을 가져왔다”입니다. 처음의 ¬가 신분증에 관한 내용까지 부정하나요?
답과 풀이 확인하기
처음의 ¬는 ∃x P(x)에만 적용됩니다.
식 전체는 “제출한 사람이 한 명도 없다”와 “아라가 신분증을 가져왔다”를 ∧로 묶습니다. 전체를 한꺼번에 부정하려면 ¬ 뒤의 괄호 안에 두 부분과 ∧까지 들어가야 합니다.
‘제출하지 않은 사람은 없다’는 어떻게 읽나요?
양화 부정을 적용한 뒤, 남은 이중 부정을 풉니다.
“제출하지 않은 사람은 없다”는 말에는 부정이 두 번 들어 있네요. 어떻게 기호로 쓰나요?
먼저 “제출하지 않은 사람이 있다”를 적어 보세요. ∃x ¬P(x)입니다. 그런 사람은 없다고 했으므로 이 식 전체 앞에 ¬를 붙입니다. ¬(∃x ¬P(x))가 됩니다.
부정하는 대상을 바꾸지 않고 한 단계씩 변형합니다.
¬(∃x ¬P(x))
제출하지 않은 사람이 있다는 주장이 거짓입니다.
∀x ¬(¬P(x))
존재문 전체를 부정했으므로, 각 대상에서 안쪽 내용 ¬P(x)가 거짓이라고 읽습니다.
∀x P(x)
고전논리의 이중 부정을 적용하면 모두 제출했다는 뜻이 됩니다.
처음에 ¬가 있었으니 끝까지 “안 했다”라는 말이 남아야 한다고 생각하면 안 되겠어요.
전체 부정이 어떤 내용을 부정하는지에 따라 마지막 표현이 달라집니다. 이번에는 “제출하지 않음”을 부정했으므로 “제출함”이 남았습니다. 같은 원리로 ¬(∀x ¬P(x))는 ∃x P(x)와 동치입니다.
“모든 사람이 미제출이라는 것은 거짓이다”를 두 단계로 바꾸어, 부정이 P 바로 앞에도 남지 않게 적어 보세요.
답과 풀이 확인하기
¬(∀x ¬P(x)) ≡ ∃x ¬¬P(x) ≡ ∃x P(x)입니다.
전칭문을 부정하면 그 안의 내용이 거짓인 대상이 적어도 하나 생깁니다. 안의 내용은 ¬P(x)이므로 이를 부정한 ¬¬P(x)가 됩니다. 이중 부정을 풀면 제출한 사람이 적어도 한 명 있다는 뜻입니다.
‘모두 두 조건을 만족한다’는 어떻게 부정하나요?
양화사 안에 들어 있는 연결사도 차례로 읽습니다.
두 번째 성질을 더합니다.
다시 처음의 모임 사람들 전체를 영역으로 삼습니다. P(x)는 오후 4시까지 보고서를 제출했다는 뜻입니다. 새로 Q(x)를 “x는 오늘 모임에 신분증을 가져왔다”로 정합니다.
“모두 보고서를 제출했고 신분증도 가져왔다”는 ∀x (P(x) ∧ Q(x))입니다. 두 조건은 같은 사람에게 적용됩니다.
이를 부정하면 제출도 안 하고 신분증도 안 가져온 사람이 있어야 하나요?
두 조건을 모두 만족한다는 주장이 거짓이려면, 적어도 한 사람에게 두 조건 중 하나 이상이 충족되지 않으면 됩니다. 보고서를 제출했어도 신분증을 두고 온 사람이 있으면 원래의 “모두 두 조건”은 거짓입니다.
양화사 부정 다음에 ∧의 부정을 풉니다.
¬(∀x (P(x) ∧ Q(x)))
∃x ¬(P(x) ∧ Q(x)) — 두 조건을 함께 만족하지 않는 사람이 있습니다.
∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x)) — 보고서를 제출하지 않았거나 신분증을 가져오지 않은 사람이 있습니다. 두 조건 모두 충족하지 못한 사람도 이 식에 포함됩니다.
앞의 ∀를 ∃로 바꾸는 단계와, 괄호 안 ∧를 부정하는 단계를 따로 하면 되겠군요.
네. 먼저 양화사 바로 안쪽의 전체 식에 ¬를 붙이고, 그 식의 연결사를 읽어 보세요. ∧의 부정은 어느 한쪽 이상이 거짓이라는 뜻이므로 ∨를 사용합니다.
다른 현황에서 세 사람 모두 제출했고, 아라와 찬우만 신분증을 가져왔습니다. ∀x (P(x) ∧ Q(x))의 부정을 확인해 주는 사람은 누구이며, 어느 조건이 거짓인가요?
답과 풀이 확인하기
보라가 그 대상이며, Q(b)가 거짓입니다.
보라는 P(b)가 참이지만 Q(b)가 거짓이므로 두 조건의 연언 P(b) ∧ Q(b)는 거짓입니다. 그래서 ∃x(¬P(x) ∨ ¬Q(x))는 보라에서 참이 됩니다. 두 조건이 모두 거짓일 필요는 없습니다.
‘모든 학생이 제출했다’는 어떻게 부정하나요?
학생이라는 조건을 유지한 채, 제출하지 않은 학생을 찾습니다.
처음 현황에 학생 여부를 덧붙입니다.
논의 영역은 여전히 아라·보라·찬우 세 사람입니다. 이 가운데 아라와 보라는 학생이고 찬우는 진행 담당자입니다. S(x)는 “x는 이 모임의 학생이다”입니다. 처음 현황대로 아라와 찬우는 제출했고 보라는 제출하지 않았습니다.
“이 모임의 모든 학생이 제출했다”는 ∀x (S(x) → P(x))로 적습니다. 모든 사람을 살펴보되, 그 사람이 학생일 때 제출했는지를 요구합니다.
이를 부정하면 ∃x 뒤에 S(x)와 ¬P(x)를 함께 적으면 되나요?
네. 그 이유를 조건문에서 확인하겠습니다. S(x) → P(x)가 거짓인 경우는 S(x)가 참이고 P(x)가 거짓일 때입니다. 즉 학생이면서 제출하지 않은 사람입니다. 이 조건을 양화사의 부정과 이어 보면 됩니다.
| 단계 | 식 | 읽는 뜻 |
|---|---|---|
| 전체를 부정 | ¬(∀x (S(x) → P(x))) | 학생이면 제출했다는 규칙이 모든 사람에게 성립하지 않음 |
| 전칭 부정 | ∃x ¬(S(x) → P(x)) | 학생이면 제출했다는 조건문이 거짓인 사람이 있음 |
| 조건문 부정 | ∃x (S(x) ∧ ¬P(x)) | 학생이면서 제출하지 않은 사람이 있음 |
처음 현황에서는 보라가 학생이고 미제출이니, 마지막 식을 만족해요.
맞습니다. 학생이라는 S(x)를 지우면 대상 범위가 달라집니다. 진행 담당자의 미제출만 발견한 상황이라면, 학생 전원의 제출 여부에 대한 반례가 되지 않습니다.
학생인 아라와 보라는 모두 제출했고, 진행 담당자인 찬우만 제출하지 않은 별도 현황입니다. 이때 “모든 학생이 제출했다”의 부정은 참인가요?
답과 풀이 확인하기
그 부정은 거짓입니다.
미제출자인 찬우는 “학생이다”라는 조건 S를 만족하지 않습니다. 학생인 두 사람은 모두 제출했으므로 ∀x(S(x) → P(x))가 참입니다. 학생이면서 미제출인 대상은 없어서 ∃x(S(x) ∧ ¬P(x))는 거짓입니다.
‘제출한 학생이 없다’에도 조건문이 나오나요?
존재문 부정에서 학생과 제출의 연언을 풀어 읽습니다.
“제출한 학생이 있다”는 ∃x(S(x) ∧ P(x))였어요. “제출한 학생이 없다”는 그 전체를 부정하면 되겠죠?
그렇습니다. ¬(∃x (S(x) ∧ P(x)))라고 적습니다. 양화사의 부정을 먼저 적용하면, 모든 대상에게 “학생이면서 제출했다”는 내용이 거짓이라고 읽습니다.
학생이면서 제출한 경우를 하나도 허용하지 않습니다.
¬(∃x (S(x) ∧ P(x)))
∀x ¬(S(x) ∧ P(x))
∀x (¬S(x) ∨ ¬P(x))
∀x (S(x) → ¬P(x))
마지막 식은 “학생인 사람은 모두 제출하지 않았다”입니다. S(x) → ¬P(x)와 ¬S(x) ∨ ¬P(x)의 동치는 기초 과정에서 배운 조건문 변형과 같습니다.
학생에게만 미제출을 요구하니까, 진행 담당자는 제출했어도 이 말과 양립할 수 있겠네요.
네. 아라와 보라는 미제출, 찬우는 제출인 현황을 따로 생각해 보세요. 제출한 사람은 있지만 제출한 학생은 없습니다. 그래서 ¬(∃x P(x))는 거짓이고, ¬(∃x (S(x) ∧ P(x)))는 참입니다.
학생 아라와 보라는 미제출, 진행 담당자 찬우는 제출입니다. ∀x (S(x) → ¬P(x))를 찬우에게 적용하면 왜 거짓이 되지 않나요?
답과 풀이 확인하기
찬우에게는 S(c)가 거짓이기 때문입니다.
찬우에서 S(c)는 거짓이고 ¬P(c)도 거짓입니다. 실질조건문은 앞의 조건이 참인데 뒤의 내용이 거짓일 때만 거짓이므로, 이 경우의 조건문은 참입니다. 원래 말은 학생의 제출 여부를 제한합니다.
학생이 한 명도 없으면 두 표현은 어떻게 되나요?
전체 영역과 그 안의 학생 집단을 구별합니다.
이 절의 별도 모임에는 진행 담당자 세 명이 있습니다.
아라·보라·찬우라는 세 대상은 그대로 있지만, 이 절의 가상 설정에서는 세 사람 모두 학생 신분이 아닙니다. 따라서 모든 대상에서 S(x)가 거짓입니다. 보고서 제출 여부는 어느 값이어도 됩니다.
전체 논의 영역에는 세 사람이 있습니다. 이 연재가 사용하는 고전 일차논리의 전체 영역이 비어 있지 않다는 약속을 지킵니다. 그 안에서 S를 만족하는 학생만 없는 상황입니다.
그때도 “모든 학생이 제출했다”가 참으로 계산되나요?
네. 학생이면서 미제출인 반례가 없으므로 ∀x(S(x) → P(x))는 참입니다. 학생이 있다는 정보까지 담고 싶으면 ∃x S(x)를 따로 함께 적어야 합니다.
그런데 제출한 학생도 없으니 “제출한 학생이 없다” 역시 참이겠어요.
그렇습니다. ∀x(S(x) → P(x))와 ¬(∃x(S(x) ∧ P(x)))가 함께 참일 수 있습니다. 첫 표현은 모든 학생에게 적용할 조건이고, 둘째는 제출한 학생의 존재를 부정합니다. 두 표현은 서로의 전체 부정 관계가 아닙니다. 첫 표현의 전체 부정은 ∃x(S(x) ∧ ¬P(x))였지요.
| 주장 | 값 | 이유 |
|---|---|---|
| 모든 학생이 제출했다. | 참 | 학생이면서 미제출인 대상이 없음 |
| 제출한 학생이 없다. | 참 | 학생이면서 제출한 대상이 없음 |
| 모든 학생이 제출했다는 주장은 거짓이다. | 거짓 | 미제출 학생이라는 반례가 없음 |
| 학생이 적어도 한 명 있다. | 거짓 | S를 만족하는 대상이 없음 |
학생이 없는 이 설정에서 ∀x(S(x) → P(x))가 참이므로 ∃x(S(x) ∧ P(x))도 참이라고 결론 내릴 수 있나요?
답과 풀이 확인하기
그렇게 결론 내릴 수 없습니다.
전체 영역에 대상이 있다는 약속은 학생이 있다는 약속과 구별됩니다. S를 만족하는 대상이 없으면 학생의 제출 조건을 나타낸 전칭문은 참이면서, 제출한 학생을 요구하는 존재문은 거짓입니다.
‘일부만 제출했다’는 한 식으로 충분한가요?
제출한 사람과 제출하지 않은 사람이 모두 있다는 뜻을 분명히 적습니다.
“일부만 제출했다”는 ∃x P(x)라고 쓰면 될까요?
“일부만”을 제출한 사람이 있고, 제출하지 않은 사람도 있다는 뜻으로 쓰기로 합시다. 그러면 두 존재 조건을 모두 적어야 합니다. ∃x P(x)만으로는 모두 제출한 경우도 포함됩니다.
한쪽은 제출자의 존재, 다른 쪽은 미제출자의 존재입니다.
(∃x P(x)) ∧ (∃x ¬P(x))
첫 괄호: 제출한 사람이 적어도 한 명 있습니다.
둘째 괄호: 제출하지 않은 사람이 적어도 한 명 있습니다.
두 괄호는 각자 x에 대한 양화 범위를 가집니다. 첫 괄호의 대상과 둘째 괄호의 대상이 같아야 한다고 요구하는 식은 아닙니다. 같은 시점의 같은 P를 쓰므로, 두 조건을 실제로 만족하는 사람들은 서로 다릅니다.
반대로 “모두 제출했다는 것은 거짓이다”만 적으면 제출자가 영 명인 경우도 남겠네요.
맞습니다. “일부”, “일부만”, “적어도 하나”, “정확히 하나”는 일상에서 비슷하게 쓰일 때가 있어도 뜻을 먼저 정하면 정확히 옮길 수 있습니다. 여기서는 비율이나 인원 상한을 추가로 정하지 않았습니다.
세 사람 중 한 명만 제출한 경우와 세 사람 모두 제출한 경우에서 ∃x P(x), (∃x P(x)) ∧ (∃x ¬P(x))를 각각 비교해 보세요.
답과 풀이 확인하기
한 명만 제출했으면 두 식 모두 참입니다. 모두 제출했으면 첫 식만 참이고 둘째 식은 거짓입니다.
두 번째 식에는 미제출자의 존재 조건도 들어 있습니다. 세 사람 모두 제출한 경우에는 ∃x ¬P(x)가 거짓이므로 연언 전체가 거짓입니다.
아직 확인하지 못한 사람을 반례로 써도 되나요?
어느 쪽이 참인지 모른다는 상태와 부정이 참이라는 판단을 나눕니다.
제가 아라와 찬우의 제출만 확인했고, 보라는 아직 확인하지 못했다면 “모두 제출했다는 것은 거짓이다”라고 말해도 될까요?
그 정보로는 판단을 보류해야 합니다. 보라도 제출했다면 모두 제출한 것이고, 보라가 미제출이면 모두 제출한 것은 거짓입니다. 확인하지 못했다는 사정만으로 보라를 미제출자로 정할 수는 없습니다.
조사자의 정보가 같은 두 가능성을 비교합니다.
가능한 현황 A: 아라·보라·찬우 모두 제출했습니다. 이때 ∀x P(x)는 참입니다.
가능한 현황 B: 아라와 찬우는 제출했고 보라는 제출하지 않았습니다. 이때 ∀x P(x)는 거짓입니다.
“아라와 찬우만 조사했다”는 정보는 두 현황에 모두 들어맞습니다. 실제 현황을 더 확인해야 어느 주장이 참인지 알 수 있습니다.
제가 모른다는 뜻으로 ¬를 쓰면 안 되겠네요.
네. 여기서 ¬는 그 내용이 거짓이라는 뜻입니다. 모름이라는 별도 진릿값을 붙이는 기호로 사용하지 않습니다. 고전논리의 참·거짓 판단과, 우리가 확보한 정보의 범위를 나누어 두면 됩니다.
참가자 명단이 완전한지 확인하지 않은 채, 눈앞의 세 사람이 모두 제출한 것만 보았습니다. 이 사실로 “모임의 모든 참가자가 제출했다”를 확정할 수 있나요?
답과 풀이 확인하기
참가자 전체가 그 세 사람인지 추가로 확인해야 합니다.
전칭문은 약속한 영역의 모든 대상을 대상으로 합니다. 더 많은 참가자가 있을 가능성이 남아 있다면 그들의 제출 여부도 확인 대상입니다. 세 사람을 전부 확인했다는 것과 전체 참가자를 빠짐없이 확인했다는 것은 서로 다른 정보입니다.
전체 부정을 직접 써 보고 현황으로 확인할까요?
처음의 세 사람에게 돌아와 기호와 뜻, 판단 이유를 함께 적습니다.
처음 현황으로 돌아오겠습니다. 아라와 보라는 학생, 찬우는 진행 담당자입니다. 아라와 찬우는 오후 4시까지 제출했고 보라는 제출하지 않았습니다. 지금부터는 이 설정만 사용합니다.
“제출한 학생이 있다”의 전체 부정을 먼저 기호로 쓰고, 조건문을 사용한 동치식으로 바꾸어 보세요. 두 식의 현재 진릿값도 말해 보세요.
답과 풀이 확인하기
¬(∃x(S(x) ∧ P(x))) ≡ ∀x(S(x) → ¬P(x))이며, 두 식 모두 거짓입니다.
아라가 학생이면서 제출했습니다. 따라서 제출한 학생이 있다는 원래 주장은 참이고 그 부정은 거짓입니다. 오른쪽 식을 아라에게 적용하면 S(a)는 참이고 ¬P(a)는 거짓이어서 조건문이 거짓입니다.
“모든 학생이 제출했다”의 부정을 ∃x ¬P(x)라고 적은 풀이를 고쳐 보세요.
답과 풀이 확인하기
∃x(S(x) ∧ ¬P(x))로 적습니다.
학생이라는 범위 조건 S(x)를 유지해야 합니다. 현재 두 식은 보라 때문에 모두 참이지만, 우연히 값이 같다는 사실만으로 같은 뜻이 되지는 않습니다. 학생은 모두 제출하고 진행 담당자만 미제출인 경우를 넣으면 두 식의 값이 달라집니다.
“아무도 제출하지 않았다는 주장은 거짓이다”를 제출자의 존재로 표현해 보세요. 지금은 왜 참인가요?
답과 풀이 확인하기
¬(∀x ¬P(x)) ≡ ∃x P(x)이며, 아라 또는 찬우의 제출로 참임을 확인합니다.
아무도 제출하지 않았다는 말은 모든 사람에게 ¬P가 성립한다는 뜻입니다. 이를 부정하면 ¬P가 거짓인 사람이 적어도 한 명 있다는 말이므로, 이중 부정을 풀어 P인 사람의 존재를 얻습니다.
“학생 가운데 제출한 사람도 있고 제출하지 않은 사람도 있다”를 적어 보세요. 각각의 존재 조건을 누가 만족하나요?
답과 풀이 확인하기
(∃x(S(x) ∧ P(x))) ∧ (∃x(S(x) ∧ ¬P(x)))입니다. 첫 존재 조건은 아라, 둘째 존재 조건은 보라가 만족합니다.
각 괄호에서 학생이라는 조건을 함께 확인합니다. 찬우는 제출했어도 학생 조건을 만족하지 않으므로 첫 괄호의 확인 대상이 될 수 없습니다. 두 존재문은 각자의 조건을 만족하는 대상을 찾습니다.
이제 부정 기호를 옮길 때, 누구를 찾으면 그 말이 참이 되는지도 함께 떠올릴 수 있어요.
다음 편에서는 한 사람의 성질에서 두 사람 사이의 관계로 나아갑니다. “각 사람이 누군가의 이름을 기억한다”와 “모두가 같은 한 사람의 이름을 기억한다”를 관계표로 읽어 보겠습니다. 이번에 익힌 부정은 그 표에서 어떤 빈칸을 찾아야 하는지 설명할 때도 쓰입니다.
오늘 익힌 내용을 어떻게 설명할까요?
예시를 하나 정해서 설명해 보세요. 다시 생각해 보고 싶은 질문도 함께 적을 수 있습니다.
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참고한 논리학 자료
3개 자료개념의 정의와 기호의 뜻을 아래 자료로 확인했습니다. 대화와 생활 예시는 학습을 위해 작성했습니다.
01Open Logic Project, 《forall x: Calgary》 24장 · Sentences with one quantifier(양화사가 하나인 문장)
24.1의 제한 양화 표현과 부정, 24.2의 대상이 없는 술어, 24.5의 적용 범위를 확인했습니다. 세 사람의 제출 현황과 대화·연습은 이 연재를 위해 새로 구성했습니다.
원문 확인02UCL, 《MATH0005 Algebra 1》 1.9절 · First order logic(일차논리)
1.9.5의 양화 부정 두 동치와 복합식을 차례로 부정하는 원리를 확인했습니다. 본문에서는 작은 유한 영역과 독창적인 생활 예로 풀이했습니다.
원문 확인03Open Logic Project, 《forall x: Calgary》 27장 · Sentences of FOL(일차논리의 문장)
27.2~27.4에서 식의 구성과 논리 연산자의 범위, 괄호 표기 원칙을 확인했습니다. 자유변수와 속박변수의 상세한 내용은 후속 회차에서 다룹니다.
원문 확인중급 논리학 · 제4편
‘모두 그렇다’를 부정하면 어떤 뜻인가요?