‘어떤 사람이 있다’는 말은 무엇을 알려 주나요?

네. 먼저 아라의 제출을 확인했다고 해 보겠습니다. 그러면 신청서를 낸 참가자가 적어도 한 명 있다는 사실을 알 수 있습니다. 다른 참가자들의 제출 여부를 다 확인하기 전에도 이 결론을 얻을 수 있지요.

그렇습니다. “제출한 참가자가 있다”는 내용에는 적어도 한 명이 있다는 뜻이 들어 있습니다. 정확한 인원까지 말하려면 그에 맞는 정보를 더 주어야 합니다.

영역은 D = {아라, 보라, 찬우}입니다. P(x)는 “x가 오늘 오전 열 시까지 신청서를 냈다”로 약속합니다. ∃는 조건을 만족하는 대상이 적어도 하나 있다는 뜻을 나타내며, 존재 양화사라고 부릅니다.

네. 처음에는 “영역 안에 P를 만족하는 대상 x가 적어도 하나 있다”라고 풀어 읽어 보세요. 여기서는 “참가자 가운데 신청서를 낸 사람이 적어도 한 명 있다”가 됩니다. ∃ 다음의 x는 어느 자리에 대상을 넣어 보는지 알려 줍니다.

누가 제출했는지를 이름으로 지정하지 않으면서 존재를 말할 수 있기 때문입니다. 영역이 정확히 이 셋일 때는 P(a) ∨ P(b) ∨ P(c)와 같은 참·거짓을 가집니다. 여기서 a, b, c는 각각 아라, 보라, 찬우입니다. 셋 중 적어도 하나가 참이면 전체가 참입니다.

일상에서는 앞뒤 이야기에 따라 그렇게 느낄 수 있습니다. 이 연재에서 ∃xP(x)는 P인 대상이 한 명 이상 있다는 뜻으로 읽습니다. 두 명이나 세 명이 P여도 참입니다. P인 사람이 정확히 한 명이라는 제한은 이 식에 들어 있지 않습니다.

네. 전원이 제출했다면 그중 한 사람도 제출했습니다. ∃를 “몇 명만 제출했고 나머지는 제출하지 않았다”라고 읽으면 원래 식에 없는 제한을 더하게 됩니다. 일상어 “일부”를 기호화할 때도 전원인 경우를 제외하려는 뜻인지 확인해야 합니다.

그렇습니다. 한 사람이 조건을 만족한다는 내용과 그 조건을 만족하는 대상이 모두 그 사람이라는 내용을 함께 표현하게 됩니다. 동일성과 개수를 다룰 회차에서 차근차근 살펴보겠습니다. 지금은 ∃에 들어 있는 “한 명 이상”을 정확히 읽으면 됩니다.

아라가 제출했다는 P(a)를 알고 있고 아라가 영역에 속한다면 ∃xP(x)를 얻을 수 있습니다. 아라가 그 존재를 뒷받침하는 대상이기 때문입니다. 이런 대상을 존재문을 확인하는 증거 대상이라고 부르겠습니다.

그 정보만으로는 누가 제출했는지 알 수 없습니다. 보라만 제출했을 수도 있고 찬우만 제출했을 수도 있습니다. 존재한다는 요약 정보에서 익숙한 사람의 이름을 골라 붙이면, 그 요약이 알려 주지 않은 사실을 추가하게 됩니다.

네. 식이 참이라는 것은 그런 대상이 있다는 뜻입니다. 우리가 그 대상을 어떤 이름으로 식별할 수 있는지는 별도 문제입니다. 다만 특정 대상을 실제로 찾아 확인하면 존재를 보여 주는 분명한 근거로 사용할 수 있습니다.

처음의 자세한 기록으로 돌아가겠습니다. 아라와 보라는 학생이고 찬우는 진행자였습니다. S(x)를 “x가 이 수업의 학생이다”라고 약속합니다. 이제 “신청서를 낸 학생이 있다”를 써 볼까요?

맞습니다. 같은 대상이 학생 조건과 제출 조건을 함께 만족해야 합니다. 그래서 ∃x(S(x) ∧ P(x))라고 씁니다. ∃x는 영역에서 대상을 찾고, 괄호 안의 ∧는 그 대상에 대한 두 내용이 모두 참이어야 함을 나타냅니다.

그렇습니다. 찬우는 제출 조건을 만족하지만 학생 조건을 만족하지 않습니다. 보라는 학생 조건을 만족하지만 제출 조건을 만족하지 않습니다. 대상 하나를 고른 다음 그 대상에 대한 괄호 안 내용을 끝까지 읽어야 합니다.

두 식이 요구하는 내용을 실제 경우로 비교해 보겠습니다. 다음은 별도의 가상 상황입니다. 학생 아라와 보라, 진행자 찬우가 있으며 세 사람 모두 신청서를 내지 않았습니다.

그렇습니다. 그 식은 S → P가 참인 대상을 적어도 하나 요구합니다. 찬우가 그 요구를 만족합니다. 그러나 이 상황에는 제출한 학생이 한 명도 없습니다. 따라서 “제출한 학생이 있다”를 표현하려던 목적에는 그 식이 맞지 않습니다.

네. 학생의 존재와 그 학생의 제출을 함께 주장하려면 S(x) ∧ P(x)를 사용합니다. ∃ 뒤에 조건문을 쓰는 것 자체가 문법 오류인 것은 아닙니다. 다만 그 식이 실제로 말하는 내용이 우리가 옮기려던 뜻과 맞는지 확인해야 합니다.

그러면 (∃xP(x)) ∧ (∃xQ(x))가 참입니다. 왼쪽 존재문에는 아라나 찬우가 근거가 되고, 오른쪽 존재문에는 보라가 근거가 됩니다. 두 존재문은 각각 자기 조건을 만족하는 대상을 요구합니다.

네. ∃x(P(x) ∧ Q(x))는 거짓입니다. 이 식은 같은 대상이 신청서와 동의서를 함께 제출했다고 요구합니다. 존재문을 둘로 나누었는지, 한 존재문의 괄호 안에서 두 조건을 묶었는지를 확인해 보세요.

그런 제한은 없습니다. 비교용 새 상황에서 아라 한 사람이 신청서와 동의서를 모두 냈다고 해 보겠습니다. 그러면 아라가 ∃xP(x)도 뒷받침하고 ∃xQ(x)도 뒷받침합니다. 두 존재문이 함께 참이면서 같은 사람이 두 조건을 만족하는 상황입니다.

각각의 ∃가 자기 뒤의 식에서 변수를 묶습니다. 그래서 (∃xP(x)) ∧ (∃xQ(x))의 두 x는 각각 자기 존재문 안에서 읽습니다. 오른쪽을 y로 바꾸어 적어도 같은 뜻입니다. 변수의 적용 범위는 6편에서 더 자세히 살펴보겠습니다.

맞습니다. 어떤 성질을 가진 사람이 있다는 정보에 대상들이 서로 다르다는 조건을 더해야 합니다. 같은 대상과 다른 대상을 표현하는 방법은 동일성을 배우는 회차에서 이어가겠습니다.

어디까지 확인했는지 살펴야 합니다. 세 사람 가운데 아라의 기록만 확인했고 미제출이었다면, 보라와 찬우의 기록은 아직 남아 있습니다. 두 사람 가운데 제출자가 있을 수 있으므로 존재문을 거짓으로 확정할 수 없습니다.

여기서는 우리의 정보 상태를 적은 것입니다. 고전 이값 논리에서는 각 대상의 제출 여부에 따라 P가 참 또는 거짓입니다. 다만 우리가 그 값을 아직 모를 수 있지요. 기록을 읽지 못한 상태를 곧바로 거짓으로 바꾸어 계산하지 않습니다.

약속한 영역의 어느 대상도 조건을 만족하지 않는다는 근거가 필요합니다. 영역이 정확히 세 사람이고 신뢰할 만한 전체 기록에서 셋 모두 미제출임을 확인했다면, 제출자가 없다고 판단할 수 있습니다. 대상이 더 넓거나 자료가 일부만 보인다면 그 한계를 함께 남겨야 합니다.

맞습니다. 다온이 P를 만족합니다. 이제 ∃x(S(x) ∧ P(x))를 보겠습니다. 유일한 대상 다온은 P를 만족하지만 S를 만족하지 않습니다. 두 조건을 함께 만족하는 대상이 없으므로 이 존재문은 거짓입니다.

네. 다온에게 S가 거짓이므로 조건문이 참입니다. 전칭문과 존재문은 이렇게 같은 상황에서 서로 다른 값을 가질 수 있습니다. 조건이 붙은 전칭문에서 학생인 대상이 있다는 내용을 얻으려면 존재 정보가 따로 필요했습니다.

처음의 신청서 기록으로 돌아가 보겠습니다. 아라가 제출했으므로 ∃xP(x)가 참입니다. 여기서 ∀xP(x)도 얻을 수 있을까요?

맞습니다. 존재문은 조건을 충족한 대상이 있다는 정보를 줍니다. 다른 대상들의 상태까지 그와 같다고 요구하지는 않습니다. 증거 대상 하나를 찾았을 때는 그 근거가 어디까지 결론을 뒷받침하는지 함께 살펴야 합니다.

그렇습니다. 존재문만 주어지면 전원의 제출도 가능한 상황 중 하나입니다. 전원이 제출했는지, 일부만 제출했는지는 추가 정보로 구별합니다. ∃xP(x)에서 ∀xP(x)를 얻을 수도 없고, 전원 제출의 부정도 얻을 수 없습니다.

괄호 안에서 무엇을 요구하는지에 따라 달라집니다. “신청서나 동의서 중 적어도 한 종류를 낸 사람이 있다”는 ∃x(P(x) ∨ Q(x))로 적을 수 있습니다. 이때 ∨는 둘 다 제출한 경우도 포함하는 “또는”입니다.

∃x¬P(x)입니다. P는 제출, ¬P는 미제출을 뜻하고, ∃는 그 미제출 조건을 만족하는 대상의 존재를 말합니다. 여기서도 조건을 만족하는 사람이 한 명 이상 있어야 합니다. 처음 기록의 보라가 해당합니다.

네. ∃x(S(x) → P(x))는 그 조건문이 참인 대상이 있다는 뜻을 가집니다. 실제로 그런 내용을 말하려는 경우에는 사용할 수 있습니다. 다만 “학생인 제출자가 있다”와 같은 뜻으로 읽어서는 안 됩니다. 기호 조합 자체와 그 조합을 일상말에 맞게 사용했는지를 구분합니다.

다음 편에서는 “모든 사람이 제출했다”와 “제출한 사람이 있다”를 각각 부정해 보겠습니다. 원래 주장을 거짓으로 만드는 경우를 생각하면 부정의 뜻을 차근차근 읽을 수 있습니다.