‘모든’은 누구까지 살펴보는 말인가요?

지금 약속한 참가자 셋을 모두 살펴봅니다. 이처럼 논리식에서 다루는 대상의 전체 범위를 논의 영역이라고 합니다. 글자 D를 써서 D = {아라, 보라, 찬우}라고 적겠습니다. 중괄호 안에는 이 영역에 들어 있는 대상을 나열했습니다.

네. 이번에 다루는 대상은 약속한 세 사람입니다. “모든”을 읽을 때 이 약속을 함께 읽어야 합니다. 영역을 바꾸면 ∀가 살펴볼 대상의 범위도 달라집니다.

먼저 P(x)를 “x가 오늘 오전 열 시까지 신청서를 냈다”라는 뜻으로 약속하겠습니다. x에는 논의 영역에 속하는 사람이 들어갑니다. ∀는 그 영역의 모든 대상에 대해라는 뜻을 나타내며, 전칭 양화사라고 부릅니다.

그렇게 읽을 수 있습니다. 처음에는 “영역의 어느 사람을 x로 골라도, 그 사람은 신청서를 냈다”라고 길게 읽어 보세요. 지금 영역에는 세 사람이 있으므로 아라를 골랐을 때, 보라를 골랐을 때, 찬우를 골랐을 때가 모두 들어갑니다.

전칭 양화문에서는 영역의 어느 대상을 골라도 조건을 만족해야 합니다. 특정 한 사람의 결과만으로 끝낼 수 없지요. 다만 실제 확인 방법은 상황에 따라 달라집니다. 여기서는 사람이 셋이어서 기록을 한 줄씩 살펴볼 수 있습니다.

이름을 짧게 적어 보겠습니다. a는 아라, b는 보라, c는 찬우를 가리킵니다. 그러면 P(a)는 아라의 제출, P(b)는 보라의 제출, P(c)는 찬우의 제출에 관한 내용입니다.

맞습니다. 영역이 정확히 이 세 사람일 때 ∀xP(x)는 P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)와 같은 참·거짓을 가집니다. 모든 사람에게 성립하려면 세 내용이 함께 참이어야 하기 때문입니다.

네. “모든”은 몇 명이 충족했는지의 비율을 말하지 않습니다. 영역의 각 대상이 조건을 충족하는지를 요구합니다. 만약 영역에 네 번째 사람이 있다면 방금 세 항만 쓴 식으로 그 사람까지 확인했다고 할 수는 없습니다.

찬우가 영역에 속하고 신청서를 내지 않았다는 사실을 확인했다면 가능합니다. “모든 참가자가 제출했다”는 주장과 충돌하는 사람이 이미 있기 때문입니다. 이렇게 주장을 거짓으로 만드는 구체적인 경우를 반례라고 합니다.

아라에 대해서는 제출을 확인했습니다. 보라와 찬우에 관해서는 그 기록이 아무것도 알려 주지 않습니다. 한 사람이 제출했다는 사실에서 참가자 전원의 제출로 넓혀 가려면 추가 근거가 필요합니다.

그렇습니다. 이 주장은 학생에 해당하는 대상의 제출을 요구합니다. 전체 영역에는 진행자도 들어 있지만, 진행자의 제출 여부를 학생 전원의 제출과 같은 방식으로 요구하지는 않습니다.

∀는 세 사람을 모두 살펴봅니다. 대신 각 사람에게 확인할 내용을 “그 사람이 학생이면, 신청서를 냈다”로 적습니다. 학생이라는 조건이 붙는 것이지요. 그래서 ∀x(S(x) → P(x))라고 씁니다.

기초에서 조건문을 배웠지요. S(x) → P(x)가 거짓이 되는 경우는 그 대상에 대해 S(x)가 참이고 P(x)가 거짓일 때입니다. 이 사례에서는 학생인데 신청서를 내지 않은 경우입니다.

고전논리에서 사용하는 실질조건문으로 읽으면 참입니다. 찬우는 “학생인데 제출하지 않았다”는 경우에 해당하지 않기 때문입니다. 여기서 조건문 전체가 참이라는 판단과 찬우가 제출했다는 판단을 따로 읽어야 합니다. 찬우의 P(c)는 계속 거짓입니다.

네. 아라와 보라는 학생이면서 제출했고, 찬우는 학생 조건에 해당하지 않습니다. 세 사람 각각의 조건문이 참이므로 ∀x(S(x) → P(x))가 참입니다. 그러나 ∀xP(x)는 찬우 때문에 거짓입니다. 두 식이 요구하는 내용을 이렇게 구분할 수 있습니다.

그 식도 뜻이 있습니다. 영역의 모든 대상이 학생이고, 그 모든 대상이 신청서를 냈다는 뜻입니다. ∧로 묶인 두 조건이 각 사람에게 함께 참이어야 합니다. 지금 영역에는 진행자 찬우도 있으므로 “찬우도 학생이며 제출했다”까지 요구하게 됩니다.

그렇습니다. 학생에게만 적용할 조건을 나타내려던 것인지, 모든 대상이 학생이라는 사실까지 말하려던 것인지 확인해야 합니다. 낱말 “모든”만 보고 연결사를 결정하면 이 차이를 놓치기 쉽습니다.

이번에는 같은 수업을 두 가지 방식으로 표현해 보겠습니다. 첫 방식은 참가자 세 사람을 영역에 두고 ∀x(S(x) → P(x))라고 쓰는 것입니다. 둘째 방식은 학생인 아라와 보라 두 사람만 영역에 두고 ∀xP(x)라고 쓰는 것입니다.

각 방식의 영역을 방금 정한 대로 읽으면 그렇습니다. 둘째 방식의 학생 영역은 첫 방식에서 S를 만족하는 대상들을 모은 것입니다. 이런 약속을 생략하고 두 식만 나란히 놓으면 무엇을 다루는지 알기 어렵습니다.

같은 글에서 진행자나 다른 역할도 함께 말하려면 넓은 영역과 S라는 조건을 쓰는 방식이 편합니다. 학생들에 대해서만 이야기한다면 학생 영역을 먼저 밝히고 읽을 수 있습니다. 어느 방식을 택하든 중간에 영역을 조용히 바꾸지 않는 것이 필요합니다.

우리가 사용하는 ∀x(S(x) → P(x))의 참 조건에 따라 확인해 보겠습니다. 영역의 대상은 다온 하나입니다. 다온에 대해 S는 거짓이고 P도 거짓이므로 조건문 S → P는 참입니다. 영역의 모든 대상에서 조건문이 참이어서 전체 식도 참입니다.

네. 학생이 존재한다는 내용은 그 식에 따로 들어 있지 않습니다. 학생인 대상이 없어서 “학생인데 제출하지 않은 대상”도 없는 경우의 참을 공허한 참이라고 부릅니다. 용어가 낯설면 다온에 대한 조건문 한 줄을 다시 읽으면 됩니다.

일상에서 “모든 학생이 제출했다”라고 보고하면 듣는 사람이 학생의 존재를 함께 짐작할 수 있습니다. 실제 상황을 정확히 전하려면 “이번에는 학생 참가자가 없다”라고 덧붙여야겠지요. 여기서는 형식화한 식이 어떤 조건에서 참인지 확인하고 있습니다.

이 연재는 표준적인 고전 일차논리를 다룹니다. 전체 논의 영역에는 적어도 하나의 대상이 있다고 약속합니다. 다온 사례도 이 약속을 지켰습니다. 학생이 없어도 다온이라는 대상은 있었지요.

맞습니다. 전체 영역에서 하나를 고를 수 있고, 그 대상도 P를 만족합니다. 따라서 “P를 만족하는 대상이 있다”라는 ∃xP(x)가 따라옵니다. 1편에서 만난 ∃는 적어도 하나의 대상이 조건을 만족한다는 뜻이며, 다음 편에서 자세히 배웁니다.

괄호 안의 내용이 다르기 때문입니다. 조건이 붙은 식은 각 대상에서 S → P를 요구합니다. 그 조건문은 S가 거짓인 대상에서도 참일 수 있지요. 학생의 존재를 함께 말하고 싶다면 ∃xS(x)를 추가해야 합니다.

처음의 아라·보라·찬우 상황으로 돌아가겠습니다. 모든 학생이 제출했고 아라는 학생입니다. 아라의 제출을 어떻게 얻을 수 있을까요?

그러면 S(a) → P(a)를 얻습니다. 이 단계에서 얻은 내용은 “아라가 학생이면 제출했다”라는 조건문입니다. 여기에 아라가 학생이라는 S(a)가 있으므로 기초에서 배운 조건문 추론을 적용하여 P(a)를 얻습니다.

찬우도 전체 영역에 있으므로 S(c) → P(c)를 얻을 수 있습니다. 다만 찬우는 학생이라는 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 그 조건문에서 찬우의 제출을 얻을 수는 없습니다. 같은 전칭문을 적용했어도, 무엇을 더 알고 있는지에 따라 얻는 결론이 달라집니다.

확인하는 방법이 달라집니다. 참가자 명단이 유한하고 빠짐없다면 명단의 기록을 전부 대조할 수 있습니다. 수학에서는 어느 대상을 골라도 성립하는 이유를 증명하는 방법을 씁니다. 대상마다 별도의 조사 기록이 있어야만 전칭문을 말할 수 있는 것은 아닙니다.

네. 전칭 양화문이 요구하는 내용은 영역의 각 대상에 대해 성립한다는 것입니다. 그 사실을 어떻게 뒷받침할지는 자료와 논증에 달려 있습니다. 몇 개의 성공 사례를 본 것만으로 나머지 경우까지 증명한 것으로 처리하면 안 됩니다.

다음 편에서는 조건을 충족하는 대상을 적어도 하나 찾는 표현을 살펴보겠습니다. “제출한 사람이 있다”와 “제출한 학생이 있다”에서 무엇을 확인해야 하는지 이번의 표를 떠올리며 읽어 보세요.