네 가지 양화 규칙을 함께 어떻게 쓰나요?

한 번에 기호를 모두 처리하려고 하면 막히기 쉽습니다. 가상 독서 모임의 등록부를 한 장 펼쳐 놓고 시작해 볼까요? 영역은 이 등록부에 적힌 사람 전부이며 적어도 한 명이 있습니다. 아래 표현은 모두 같은 날 오후 6시의 기록을 뜻합니다.

이번 목표는 ‘신청자라면 어떤 결과가 따른다’는 조건입니다. 신청자가 한 명도 없을 때에도 그 조건은 참일 수 있습니다. 신청자가 실제로 있다는 별도의 결론까지 얻으려면 존재 전제가 더 필요합니다.

좋은 출발입니다. 전칭 도입 직전에는 임의의 대상 d에 대해 P(d)→∃y(R(d,y)∧S(y))를 얻어야 합니다. 그 식이 조건문이므로, 다시 한 단계 안으로 들어가 P(d)를 잠깐 가정하고 뒤의 존재문을 목표로 삼습니다.

어떤 사람이 d와 연결되어 있는지는 아직 모릅니다. 먼저 전제 1과 P(d)를 사용하여 연결된 교육 이수자가 있다는 사실을 얻습니다. 그 존재문을 쓸 때 새 이름 e의 가정을 열겠습니다. 목표를 거꾸로 나누는 일은 필요한 근거를 미리 만들어 주지는 않습니다.

그렇게 기억하면 가정의 범위를 놓치기 쉽습니다. 특히 존재 제거는 존재 기호를 지운 식을 마음대로 한 줄 적는 규칙이 아닙니다. 임시 가정 안에서 목표를 얻은 뒤, 이름 조건을 확인하며 그 가정을 닫는 절차가 들어 있습니다.

그 사이를 연언 제거(∧E), 연언 도입(∧I), 조건문 제거(→E), 조건문 도입(→I)가 이어 줍니다. 양화 규칙을 배운 뒤에도 앞서 배운 명제논리 규칙이 그대로 필요합니다.

조건문을 증명하려면 그 앞부분을 잠깐 가정할 수 있습니다. ‘어떤 사람이든, 그 사람이 신청했다면’이라는 조건을 따져 보는 것입니다. 나중에 P(d)를 닫아 조건문 전체를 얻어야 전칭 도입을 할 수 있습니다.

1번의 맨 바깥 ∀x가 맡는 자리를 대입했기 때문입니다. 안쪽 ∃y는 계속 y의 자리를 맡습니다. 4번의 주연산자는 →이므로 아직 존재 제거를 쓸 수 없습니다. 3번 P(d)와 4번 조건문을 →E로 연결한 5번에서 비로소 주연산자가 ∃인 식을 얻습니다.

두 이름이 쓰이는 자리가 다릅니다. d에 대해서는 최종적으로 모든 사람에게 통하는 조건문을 만들고 있습니다. e에 대해서는 d와 연결된 교육 이수자라는 존재문의 증거를 잠깐 다룹니다. e에는 R(d,e)∧Q(e)라는 특별 가정이 열려 있습니다.

그 점도 별도 근거가 있어야 합니다. 이름이 다르다는 사실만으로 대상이 다르다고 결론 내리지 않습니다. 이 사례의 R에는 ‘자기 자신과는 연결되지 않는다’는 조건을 넣지 않았습니다. 따라서 d와 e가 같은 대상을 가리킬 가능성도 남겨 둡니다.

네. 원래 전제는 안쪽 가정에서도 사용할 수 있습니다. 6번의 연언에서 R(d,e)와 Q(e)를 각각 꺼내고, 2번을 e에게 적용하여 Q(e)→S(e)를 얻습니다. 그러면 교육을 마친 바로 그 e가 연락 명단에도 있다는 사실이 나옵니다.

목표는 ‘연결된 사람이 있다’와 ‘명단에 있는 사람이 있다’를 따로 얻는 데서 끝나지 않습니다. d와 연결된 바로 그 사람이 명단에 있다는 사실이 필요합니다. 같은 e가 두 조건을 만족하므로 연언으로 묶고, 그 두 e 자리를 같은 y로 바꿔 12번의 존재문을 만듭니다.

12번은 아직 e의 가정 안에서 얻은 결과입니다. 13번은 5번의 존재문과 6–12번 전체를 사용하여 그 가정을 닫은 결과입니다. 글자 모양은 같아도, 어떤 가정에 기대고 있는지가 달라집니다. 다만 P(d)라는 바깥 가정은 아직 남습니다.

이번 존재 제거에서 밖으로 남기면 안 되는 이름은 그 증거 가정에 새로 붙인 e입니다. d는 바깥 조건 가정에서 다루던 대상이므로 13번에 남아도 됩니다. 15번에서 전칭 도입을 할 때에는 d를 모두 x로 바꾸고, d에 관한 열린 특별 가정이 없는지 따로 확인합니다.

아래 표를 읽으며 3번과 6번에서 가정이 열리고 13번과 14번에서 닫히는 곳을 짚어 보세요. 네 양화 규칙은 4·9번의 ∀E, 12번의 ∃I, 13번의 ∃E, 15번의 ∀I에 나타납니다.

이 결론은 특정인의 신원을 요구하지 않습니다. 임의의 신청자를 생각하고, 그에게 연결된 교육 이수자를 거쳐 명단에 있는 상대를 얻는 방식이면 충분합니다. 모든 크기의 비어 있지 않은 영역에 적용되는 규칙으로 전개했으므로, 몇 명의 등록부만 시험한 결과와도 구별됩니다.

다음 등록부를 직접 읽어 보겠습니다. 영역은 아라·보라 두 사람입니다. 둘 다 신청했고 교육도 마쳤으며 명단에 있습니다. 연결 관계는 아라에서 보라로, 보라에서 아라로만 있습니다. 자기 자신에게 연결된 기록은 없습니다.

맞습니다. 앞에서 만든 증명에서도 e의 가정은 P(d) 안에서 열렸습니다. d가 어떤 신청자인지에 따라 존재문의 증거가 달라질 수 있습니다. 그 의존을 없애는 근거는 주어지지 않았습니다.

각 줄의 근거를 따라가면 역할이 보입니다. 2번을 빼면 9번을 만들 근거가 사라집니다. P(d)를 전혀 가정하지 않으면 4번 조건문은 얻어도 5번으로 갈 수 없습니다. 가정을 열었다면 적절히 닫는 일까지 필요합니다.

네. 이번 절은 독립된 짧은 연습입니다. 영역은 같은 등록부의 사람들이고 P와 Q의 뜻도 유지하겠습니다. 전제는 ∃xP(x)와 ∃xQ(x) 두 개로 바꿉니다. 앞 절의 전제는 사용하지 않습니다. 신청자가 있고 교육 이수자가 있으면, 이 두 조건을 각각 만족하는 한 쌍이 있다는 결론을 얻어 보겠습니다.

가능합니다. 식에 x≠y라는 조건은 없습니다. 한 사람이 두 성질을 모두 가지는 경우도 이 식을 참으로 만듭니다. 반대로 두 성질을 서로 다른 사람이 맡아도 참입니다. 두 존재 전제로 보장되는 범위에 맞춰 결론을 썼습니다.

규칙이 받는 식 전체를 먼저 보세요. ∃xP(x)→∃xQ(x)는 조건문입니다. 이것만으로 신청자나 교육 이수자가 있다는 가정을 존재 제거의 근거로 삼을 수 없습니다. 뒤의 표는 같은 기호가 어디에 놓였는지에 따라 첫 행동이 달라지는 예입니다.

전제를 쓰는 일과 목표를 만들기 위해 가정을 여는 일도 구별해야 합니다. 조건문의 앞부분을 가정할 수 있다는 것은, 그 앞부분이 실제로 참이라고 인정했다는 뜻이 아닙니다. 완성된 조건문으로 그 가정을 닫아야 합니다.

이번 절도 독립된 문제입니다. 기호 뜻은 처음과 같고 전제를 아래 두 개로 바꿉니다. ∀x(P(x)→∃yR(x,y))는 신청자마다 연결된 사람이 있다는 말이고, ∀x∀y(R(x,y)→Q(y))는 연결 기록의 상대는 교육을 마쳤다는 말입니다. 목표는 ∀x(P(x)→∃yQ(y))입니다.

11번에서는 e가 결론과 기존 열린 근거에 남지 않고, 13번에서는 d가 전제나 미해제 가정에 남지 않습니다. 마지막 존재문은 교육 이수자가 적어도 한 명 있다는 말입니다. 다만 전체 결론은 여전히 P(x)를 앞부분으로 가진 조건문입니다.

먼저 결론의 가장 바깥 기호를 보고 마지막 규칙을 예상하세요. 그런 다음 실제로 주어진 전제를 써서 작은 목표를 채웁니다. 막힐 때에는 기호를 더 쓰기보다 ‘지금 어떤 사람에 대해, 어떤 가정 아래 말하고 있지?’라고 되물어 보세요.

다음 17편에서는 이미 쓴 양화식을 같은 뜻의 다른 모양으로 바꾸어 보겠습니다. 두 식을 자유롭게 바꾸려면 한쪽에서 다른 쪽으로 가는 것뿐 아니라, 반대 방향도 성립하는지 살펴야 합니다.