가능한 세계를 잇는 방식이 왜 중요한가요?

접근 관계 R가 반사적이라는 것은 모든 세계 w에 대해 wRw라는 뜻입니다. 곧 각 세계가 자기 자신에게 접근할 수 있습니다. 반사성은 17편의 기본 K 체계에서는 따로 요구하지 않았습니다.

R이 반사적이면 □p가 참일 때 현재 세계 w도 접근 가능하므로 p가 참입니다. 이 성질을 □p→p라고 쓰며 양상논리 T의 대표 공리라고 부릅니다.

W={w,v}, R={(w,v)}, V(p)={v}라고 정합시다. w에서는 v만 접근할 수 있고 v에서는 p가 참이므로 □p는 참입니다. 그러나 w에서는 p가 거짓입니다.

따라서 □p→p가 w에서 거짓입니다. 이 모델에서 빠진 선 (w,w)가 핵심입니다. 실제 반사적 프레임에서는 이런 방식으로 공식을 반박할 수 없습니다.

관계 R가 추이적이라는 것은 wRv와 vRu이면 반드시 wRu도 성립한다는 뜻입니다. w에서 두 걸음으로 갈 수 있는 u는 w에서 직접 도달 가능한 세계에도 포함되어야 합니다.

추이성이 있으면 □p→□□p가 모든 세계에서 성립합니다. w에서 □p가 참이면 v가 w의 후속 세계일 때 v의 모든 후속 세계 u도 w의 후속 세계이므로 u에서 p가 참입니다. 따라서 v에서 □p가 참입니다.

W={w,v,u}, R={(w,v),(v,u)}, V(p)={v}로 둡니다. w의 후속 세계 v에서는 p가 참이므로 M,w ⊨ □p입니다.

그러나 v의 후속 세계 u에서는 p가 거짓이라 M,v ⊭ □p입니다. 따라서 M,w ⊭ □□p이고, w에서 □p→□□p는 거짓입니다. 누락된 (w,u)가 추이성 위반을 보여 줍니다.

양상논리 S4는 기본 K에 T: □p→p와 4: □p→□□p를 더한 체계입니다. 대응하는 크립키 프레임은 반사적이고 추이적인 관계를 갖습니다.

‘지금 참으로 필요한 것’과 ‘필요하다는 사실 역시 필요함’은 서로 다른 조건입니다. T는 자기 세계로의 접근을, 4는 두 번 이어진 접근 경로를 제어합니다. S4에서는 두 조건이 동시에 충족됩니다.

5: ◇p→□◇p를 살펴봅니다. w에서 p가 가능한 한 세계가 있다면 w가 접근하는 모든 세계에서도 p가 가능한 세계에 도달할 수 있다는 뜻입니다.

5에 대응하는 접근 관계 조건은 유클리드성입니다. wRv이고 wRu이면 vRu라는 말입니다. 한 세계 w에서 갈라진 두 세계 사이를 v에서 u 쪽으로 이어 줍니다.

W={w,v,u}, R={(w,v),(w,u)}, V(p)={v}라고 둡니다. w에서 v에 접근할 수 있고 v에서는 p가 참이므로 ◇p는 참입니다.

그러나 u에서는 접근 가능한 세계가 하나도 없으므로 ◇p가 거짓입니다. 따라서 w에서 □◇p가 거짓이고 ◇p→□◇p도 거짓입니다. 이 R은 wRv와 wRu인데 vRu가 없으므로 유클리드성이 없습니다.

대칭성은 wRv이면 vRw라는 뜻입니다. 반사성·대칭성·추이성을 모두 갖는 R을 동치관계라고 합니다. 한 세계의 접근 가능성에 들어 있는 세계들 사이에는 양방향으로 다시 접근할 수 있습니다.

동치관계에서는 세계 집합이 동치류들로 나뉩니다. 같은 동치류 안의 모든 세계는 서로 접근 가능하며, 서로 다른 동치류 사이에는 접근 관계가 없습니다. S5의 대표적인 프레임 그림입니다.

고전 정상 양상논리 S5는 K+T+5로 나타낼 수 있습니다. 프레임 관점에서는 R이 반사적이며 유클리드적인 관계를 요구하고, 이 두 조건을 함께 쓰면 대칭성과 추이성도 따라옵니다. 따라서 동치관계 프레임이라고 설명할 수 있습니다.

같은 동치류의 모든 세계에서 ◇p의 값은 동일합니다. p가 참인 동치류 구성원이 하나라도 있으면 모든 세계에서 그 구성원에 접근할 수 있기 때문입니다. □p도 동치류 전체에서 같은 값으로 평가됩니다.

R이 직렬적이라는 것은 모든 세계 w에 적어도 하나의 후속 세계 v가 있다는 뜻입니다. 이를 통해 □p→◇p가 타당해집니다. □p가 참이라면 실제 후속 세계 하나에서 p가 참이기 때문입니다.

직렬성만으로 □p→p를 보장할 수는 없습니다. w가 자기 자신과 연결되어 있지 않아도 다른 후속 세계 v 하나가 있을 수 있습니다. 의무 양상논리의 일부 체계에서 직렬성을 쓰는 이유를 다음 편에서 다시 설명합니다.

특정 그림에서 어떤 공식이 참이라는 관찰과 모든 해당 프레임에서 공식이 참이라는 정리는 구별합니다. 예를 들어 T의 충분성은 반사적 R에서 현재 세계가 후속 세계에 포함됨을 이용하여 모든 V·w에 대해 □p→p를 증명합니다.

반대로 비반사적 점이 있는 프레임에서는 그 점의 모든 후속 세계에서 p를 참으로, 그 점에서는 p를 거짓으로 정한 평가로 T 공식을 반박할 수 있습니다. 이런 두 방향의 논증이 프레임 조건과 공식의 대응을 설명합니다.

K는 임의 접근 관계를 허용하는 기본 체계입니다. T는 반사성을, S4는 반사성과 추이성을, S5는 동치관계의 성질을 반영합니다. 어느 체계를 선택할지는 ‘가능하다’가 의미하는 접근 조건에 달려 있습니다.

시간의 미래 접근과 지식의 대안 세계, 의무를 충족한 이상 세계는 보통 서로 다른 관계 구조를 요구합니다. 선택한 프레임 조건을 명시한 뒤 결과를 계산해야 합니다. 다음 편에서는 그 적용 범위를 비교합니다.