가능하다와 반드시 그렇다는 말은 어떻게 다루나요?

가능 세계 의미론에서는 참을 평가할 수 있는 여러 세계의 모임 W를 정합니다. 세계는 실제 우주 여러 개라는 주장이 아니라 어떤 상황이 성립하는지 비교하는 해석상의 지점입니다. 현재 살펴보는 세계를 w라고 부릅니다.

각 세계마다 명제변수 p가 참인지 따로 정합니다. V(p)는 p가 참인 세계들의 집합입니다. 이 체계는 기존 명제논리를 세계별로 평가하는 방법에서 출발합니다.

R은 접근 관계입니다. wRv라고 쓰면 w에서 v를 접근 가능한 세계로 본다는 뜻입니다. 양상 모형을 M=(W,R,V)로 나타내겠습니다. W는 비어 있지 않은 세계 집합입니다.

R에는 처음부터 반사성이나 대칭성을 요구하지 않습니다. 같은 W와 V를 사용하더라도 R을 다르게 정하면 ‘가능하다’와 ‘반드시’의 진리값은 달라질 수 있습니다.

□p는 ‘반드시 p’라고 읽습니다. 모형 M의 세계 w에서 □p가 참이라는 것은 w에서 접근 가능한 모든 세계 v에서 p가 참이라는 뜻입니다. 수식으로 M,w ⊨ □p ⇔ 모든 v에 대해 (wRv이면 M,v ⊨ p)입니다.

‘모든 세계’라는 말은 W 전체가 아니라 w에서 R로 접근하는 세계들을 뜻합니다. 지금 세계 w에서 p가 참인지는 wRw가 성립하는지에 따라 추가로 살펴야 합니다.

◇p는 ‘가능하게 p’라고 읽습니다. 세계 w에서 ◇p가 참일 필요충분조건은 wRv이면서 v에서 p가 참인 세계 v가 적어도 하나 있다는 것입니다. ◇는 존재 양화사와 비슷한 역할을 합니다.

접근 가능한 세계가 많아도 p가 참인 세계가 하나만 있으면 ◇p는 참입니다. 반대로 w에서 접근할 수 있는 모든 세계가 p를 거짓으로 평가하면 ◇p도 거짓입니다.

W={가,나,다}, R={(가,나),(가,다),(나,다)}, V(p)={나}로 둡니다. 현재 가에서 접근 가능한 세계는 나와 다입니다. 나에서는 p가 참이고 다에서는 거짓이므로 ◇p는 참, □p는 거짓입니다.

나에서는 접근 가능한 세계가 다 하나이고 다에서 p가 거짓입니다. 따라서 나에서 ◇p는 거짓이고, 다에서는 접근 가능한 세계가 없어서 ◇p가 거짓입니다. 다에서 □p의 값은 다음 절에서 정확히 설명합니다.

세계 다에 접근 가능한 세계가 하나도 없다면 □p는 참이고 ◇p는 거짓입니다. □p를 깨뜨릴 후속 세계가 없으므로 ‘모든 후속 세계에서 p’라는 조건이 공허하게 성립합니다.

같은 이유로 다에서 □¬p도 참일 수 있습니다. ‘□p와 □¬p가 동시에 참이니 실제 p도 동시에 참·거짓’이라는 결론은 나오지 않습니다. 현재 세계에서의 값과 접근 가능한 후속 세계의 조건을 구별합니다.

모든 접근 가능한 세계에서 p가 참이라는 말은 p가 거짓인 접근 가능한 세계가 없다는 말입니다. 따라서 □p ↔ ¬◇¬p는 모든 프레임에서 타당합니다. 마찬가지로 ◇p ↔ ¬□¬p입니다.

이 두 동치식은 고전 부정의 뜻을 사용합니다. □와 ◇의 접근 관계는 정확히 동일한 R이어야 하며, 서로 다른 접근 관계를 섞으면 같은 동치식을 그대로 사용할 수 없습니다.

p→q는 같은 세계에서 p가 참이고 q가 거짓일 때만 거짓입니다. 양상 연산자의 내부에 조건문이 들어가면 각 접근 가능한 세계에서 이 규칙을 적용합니다. □(p→q)는 접근 가능한 모든 세계에서 조건문이 참이라는 뜻입니다.

□(p→q) ∧ □p가 참이면 접근 가능한 모든 세계에서 p와 p→q가 참이고, 따라서 q도 참입니다. 그래서 □(p→q)→(□p→□q)라는 K 공리는 임의의 R에서 타당합니다.

p→q가 세계 w에서 참이라는 사실만으로 □p→□q를 얻을 수는 없습니다. 조건문이 참인 것은 현재 세계의 사실이고, □는 접근 가능한 모든 세계의 사실을 요구합니다.

반면 모든 세계에서 타당한 정리 p가 있다면 □p도 모든 세계에서 타당합니다. 이것이 정리에서 필연화로 가는 규칙의 의미입니다. 임시 가정에만 의존하는 추론을 그대로 □로 둘러싸면 잘못된 일반화가 생깁니다.

M,w ⊨ □p는 지정한 모형과 세계에서의 사실입니다. ⊨ □p는 고려하는 모든 허용 모형과 모든 세계에서 참이라는 말입니다. 두 수식의 양화 범위가 다릅니다.

한 모형의 말단 세계에서 □p가 공허하게 참이라는 사실로 ‘□p가 논리적으로 타당하다’고 할 수 없습니다. □p는 접근 가능한 p-반례가 있는 모형에서는 거짓일 수 있습니다.

W={w,v}, R={(w,v)}, V(p)={v}로 둡니다. 세계 w에서 □p는 참입니다. w에서 도달 가능한 유일한 v에서 p가 참이기 때문입니다. 하지만 w 자체에서는 p가 거짓입니다.

이 모형은 □p→p를 w에서 거짓으로 만듭니다. 따라서 임의의 R을 허용하는 K에서 이 식은 타당하지 않습니다. 다음 18편에서는 R의 반사성을 요구할 때 이 반례가 사라지는 이유를 살펴봅니다.

기본 양상논리 K에서 □A는 모든 접근 후속 세계에서 A가 참이라는 뜻이고, ◇A는 한 후속 세계에서 A가 참이라는 뜻입니다. 접근 관계 R을 정하지 않으면 두 기호를 정확하게 평가할 수 없습니다.

구체적 모형에서는 W·R·V와 평가 세계를 모두 기록합니다. 타당성은 정해진 프레임 부류 전체에서 확인해야 하며, 유한한 그림 몇 개로 일반 정리를 증명했다고 표현하지 않습니다. 다음 편에서는 반사성·추이성·동치관계를 다룹니다.