시간·지식·의무에도 같은 논리를 쓰나요?

양상논리의 세계를 시간 지점으로 해석하면 시간논리를 만들 수 있습니다. 이번 사례에서는 W={t₀,t₁,t₂}이고 순서가 t₀≤t₁≤t₂인 세 시점을 사용합니다. 각 시점은 자기 자신과 그 이후 시점에 접근할 수 있게 R_시간={(tᵢ,tⱼ): i≤j}로 정의합니다.

‘현재를 포함한 미래’라는 약속을 명시했습니다. 미래를 현재 다음부터 세는 엄격한 관계를 택하면 어떤 공식의 타당성도 달라질 수 있습니다. 시간논리의 적용에는 순서의 성질과 현재 포함 여부를 함께 적습니다.

Fp는 현재를 포함한 미래 어느 시점에서 p가 성립한다는 뜻으로, 접근 관계를 ≤로 정한 이번 해석에서는 ◇p와 같습니다. Gp는 현재부터 모든 미래 시점에 p가 성립한다는 뜻으로 □p와 같습니다.

예를 들어 p가 오직 t₂에서 참이면 t₀에서 Fp는 참입니다. 그러나 t₀와 t₁에서 p가 거짓이므로 Gp는 거짓입니다. ‘언젠가 일어난다’와 ‘내내 유지된다’는 증인의 수가 다릅니다.

이번 관계 ≤는 반사적이므로 Gp→p가 타당합니다. 지금도 G가 살펴보는 시점에 포함되어 있기 때문입니다. 엄격한 미래 < 관계를 쓰면 ‘다음 모든 시점에 p’라는 뜻이므로 지금 p가 거짓이어도 Gp가 참일 수 있습니다.

시간논리 문장을 일상 표현으로 바꿀 때는 ‘앞으로’가 현재를 포함하는지 확인해야 합니다. 같은 영어 ‘always in the future’를 사용하더라도 의미론의 약속에 따라 엄밀한 논리식은 달라집니다.

≤ 관계는 추이적입니다. t₀≤t₁이고 t₁≤t₂이면 t₀≤t₂입니다. 그래서 이번 시간 모델은 S4의 프레임 조건인 반사성과 추이성을 가집니다.

시간을 이렇게 해석했다고 곧 S5가 된다는 뜻은 아닙니다. t₀에서 t₂로 갈 수 있어도 일반적으로 t₂에서 t₀로 미래 방향에 접근할 수 없습니다. 따라서 대칭성은 성립하지 않습니다.

사람 a의 지식을 표현하는 Kₐp는 a가 현실에서 어느 가능성을 배제하지 못하는지를 나타내는 관계 Rₐ를 사용합니다. 실제 세계 w에서 a가 지식상 가능하다고 보는 모든 세계 v에서 p가 참이면 Kₐp가 참입니다.

일반적인 사실적 지식을 나타내려면 현실 세계 w도 지식상 가능한 세계 안에 있어야 합니다. Rₐ의 반사성 아래에서는 Kₐp→p가 성립합니다. 이 가정은 잘못된 믿음과 구별되는 지식의 형식적 성질입니다.

W={w,v}이고 p는 w에서만 참이라고 합시다. a의 관계에서 w의 후속 세계는 {w} 하나로, b의 관계에서 w의 후속 세계는 {w,v}로 정합니다. 그러면 w에서 Kₐp는 참이지만 Kᵦp는 거짓입니다.

b가 가능성 목록에서 v를 제외하지 못하기 때문입니다. 여기서 b가 p를 모른다는 사실은 b가 ¬p를 안다는 뜻이 아닙니다. 두 지식 술어의 부정을 구별해야 합니다.

Bₐp는 주체 a가 p를 믿는다는 뜻으로 사용합니다. 믿음 접근 관계에는 현실 세계를 반드시 포함해야 한다는 조건을 붙이지 않을 수 있습니다. 그러면 Bₐp가 참이어도 실제 세계에서 p가 거짓일 수 있습니다.

따라서 Kₐp→p를 믿음의 기호에 아무 설명 없이 적용하면 안 됩니다. 어느 종류의 믿음 체계를 모델링하는지에 따라 직렬성, 추이성 같은 가정을 선택할 수 있습니다.

Op는 ‘p가 의무이다’라는 표현으로 쓰며, 주어진 규범에 비추어 이상적이라고 정한 세계에서 모두 p가 참이라는 뜻으로 해석할 수 있습니다. 의무의 접근 관계 R_O는 물리적으로 가능한 미래나 누군가 아는 세계와 다른 기준으로 정합니다.

이때 의무 Op가 성립한다고 실제 세계에서 p가 참인 것은 아닙니다. 의무 위반이 가능하기 때문입니다. 의무의 참은 선택한 규범적 의미론의 해석에 의존합니다.

기본적인 정상 의무 양상논리에서는 Pp := ¬O¬p로 허용을 정의합니다. 이는 p가 참인 이상 세계가 적어도 하나 접근 가능하다는 뜻입니다. 의무의 □와 허용의 ◇가 앞 편의 쌍처럼 연결됩니다.

이 정의는 규범 철학과 법학의 모든 허용 개념을 담는다는 뜻이 아닙니다. 명시적 허가와 금지 부재, 예외 규칙 같은 제도적 차이를 다루려면 모델을 보강해야 합니다.

의무 접근 관계가 직렬적이라면 모든 세계 w에 적어도 하나의 이상적 후속 세계가 있습니다. 이때 Op→Pp가 타당합니다. Op가 참이면 존재하는 이상 세계에서 p가 참이고 따라서 Pp가 참입니다.

후속 세계가 하나도 없는 세계를 허용하면 Op와 O¬p가 모두 공허하게 참이 될 수 있습니다. 이때 Pp는 거짓이므로 Op→Pp가 무너집니다. 직렬성은 공허한 의무 모델을 피하는 한 가지 선택입니다.

Fp는 미래에 어느 시점에 p가 일어난다는 뜻이고, Kₐp는 주체 a가 p를 배제되지 않은 모든 세계에서 참으로 안다는 뜻이며, Op는 규범상 이상적인 모든 세계에서 p를 요구한다는 뜻입니다. 같은 문자 p를 써도 각각 살피는 접근 관계는 다릅니다.

예컨대 Op가 참인 순간에도 Fp가 거짓일 수 있습니다. 이상적 세계에서는 p가 지켜져야 하지만 실제로 고려한 미래 시점에서는 전부 p가 거짓인 모델을 만들 수 있기 때문입니다.

같은 상황에 ‘언젠가 문이 잠긴다’, ‘관리자는 문이 잠겼음을 안다’, ‘문을 잠가야 한다’라는 세 문장을 쓰겠습니다. 첫째는 시간의 미래 시점, 둘째는 관리자의 정보상 가능한 세계, 셋째는 규범상 이상 세계를 평가합니다.

표현을 만들기 전에 어떤 시간 구간과 현재 포함 여부를 쓰는지, 주체가 누구인지, 무엇을 이상 세계로 정의했는지 기록합니다. 현실의 정책 판단은 이 추상 모형에 담지 않은 추가 조건을 함께 검토해야 합니다.