관 안팎의 수면 차이를 잽니다
가는 유리관을 물에 세우면 관 안의 수면이 바깥 수면보다 높아질 수 있습니다. 액체와 관벽의 성질에 따라 가는 관에서 수면이 오르거나 내려가는 현상을 모세관 현상이라고 합니다. 여기서 높이 h는 관 바닥부터 잰 전체 물길이가 아니라, 관 안팎 수면의 높이 차이입니다.
물 분자끼리 끌어당기는 힘과 물·관벽 사이의 상호작용이 수면의 모양에 영향을 줍니다. 표면 장력 γ는 액체 표면의 길이당 힘으로 나타냅니다. 접촉각 θ는 관벽과 수면의 접선이 만나는 각도를 액체 쪽에서 잰 값입니다. 활동에서는 이 각도를 조건으로 직접 선택합니다.
위로 당기는 힘과 물기둥의 무게를 맞춥니다
관의 반지름을 r로 쓰면 둘레는 2πr이고 단면 넓이는 πr²입니다. 코사인(cosine)을 cos로 쓰면, 위쪽 힘 2πrγcosθ와 높이 차이 h에 해당하는 물의 무게 ρgπr²h를 같게 놓으면 h=2γcosθ÷(ρgr)입니다. ρ는 밀도, g는 중력 가속도입니다. 코사인은 각도에 대응하는 삼각비입니다. 관이 가늘어질 때 둘레보다 단면 넓이가 더 빠르게 줄어 같은 높이의 물기둥이 더 가벼워집니다.
활동은 20도 물의 γ=0.0728뉴턴/미터, 밀도 1000킬로그램/세제곱미터, g=9.8미터/초²를 씁니다. 접촉각 0도에서 반지름 0.5밀리미터이면 약 2.97센티미터, 0.25밀리미터이면 약 5.94센티미터입니다. 반지름은 절반, 평형 높이는 두 배가 됩니다.
같은 높이가 나오는 두 조건을 비교합니다
반지름 0.25밀리미터·접촉각 60도의 결과는 약 2.97센티미터입니다. 반지름 0.5밀리미터·접촉각 0도와 같습니다. 관이 더 가늘어진 효과와 접촉각이 커진 효과가 이 두 선택에서는 서로 상쇄됩니다. 수면 높이 하나만 보고 관의 반지름을 알아맞힐 수 있을까요?
반지름을 역으로 구하려면 표면 장력과 밀도, 접촉각도 알아야 합니다. 관 두 개를 비교할 때 무엇을 같게 두었는지 먼저 적으세요. ‘가는 관에서 더 높다’는 관계는 다른 조건이 같은 비교에서 성립합니다. 활동의 입력 두 개를 동시에 바꾼 뒤 같은 높이가 된 조건을 찾아 기록해 보세요.
각도를 바꾸면 같은 관에서도 답이 달라집니다
접촉각을 60도로 바꾸면 cos60°=0.5여서 높이는 절반이 됩니다. 90도에서는 0, 120도에서는 음수입니다. 음수는 관 안 수면이 바깥보다 낮다는 뜻입니다. θ=0도는 선택한 이상적 젖음 조건이며 모든 유리관의 실제 접촉각을 보장하지 않습니다.
이 계산은 충분히 긴 수직 원통관에서 정지한 수면을 다룹니다. 오르는 속도, 관 끝에 닿은 뒤의 변화, 관벽 오염과 온도 변화는 계산하지 않습니다. 나무 전체의 물 이동도 이 식 하나로 설명할 수 없습니다. 사진은 관찰 장면을 그린 생성 이미지이며 수치 증거는 아래 모형의 계산과 원문에서 확인합니다.