빨간 1과 파란 6이 놓인 칸
빨간 주사위의 눈을 행으로, 파란 주사위의 눈을 열로 적으면 6행 6열, 모두 36칸이 생깁니다. 두 주사위는 공정하고 서로 독립이라고 가정합니다. 이때 36칸은 나올 가능성이 모두 같습니다. 빨강 1·파랑 6과 빨강 6·파랑 1도 따로 셉니다.
합이 7인 칸은 (1,6)에서 (6,1)까지 비스듬히 이어진 여섯 칸입니다. 아무 조건도 걸지 않으면 확률은 6/36, 곧 1/6입니다. 합이 2인 칸은 (1,1) 하나뿐입니다. 가능한 합의 이름을 열한 개 적어 놓아도 각 합의 확률은 서로 다릅니다.
‘적어도 하나’가 남기는 열한 칸
적어도 하나가 6인 결과만 남겨 봅시다. 빨간 눈이 6인 마지막 행에 여섯 칸, 파란 눈이 6인 마지막 열에 여섯 칸이 있습니다. 두 줄이 만나는 (6,6)은 한 번만 세므로 6+6−1=11칸이 남습니다.
이 열한 칸 중 합이 7인 칸은 (6,1)과 (1,6)입니다. 그래서 조건부 확률은 2/11입니다. ‘조건부’라는 말은 여기서 비교할 전체가 이미 열한 칸으로 좁혀졌다는 뜻입니다.
‘정확히 하나’가 지우는 한 칸
실습에서 조건을 ‘적어도 하나가 6’에서 ‘정확히 하나만 6’으로 바꿔 보세요. 오른쪽 아래 (6,6) 한 칸만 사라집니다. 이 칸의 합은 12이므로 합이 7인 두 칸은 그대로 남습니다. 분모만 11에서 10으로 바뀌어 확률은 2/10=1/5가 됩니다.
조건을 ‘둘 다 6’으로 바꾸면 남는 칸은 (6,6) 하나입니다. 그중 합이 7인 칸은 0개입니다. 세 조건은 모두 숫자 6을 말하지만 남겨 둔 칸의 집합은 저마다 다릅니다.
같은 말처럼 들리는 다른 관찰
이번에는 한 친구가 주사위를 굴리기 전에 ‘빨간 눈만 읽어 줄게’라고 정했고, 나중에 ‘6이야’라고 알려 줍니다. 이때는 마지막 행 여섯 칸만 남습니다. 합이 7인 칸은 (6,1) 하나이므로 확률은 1/6입니다. ‘적어도 하나가 6’이라는 정보와 비교해 보세요.
확률 문제에서 누가 무엇을 어떤 규칙으로 골라 알려 주었는지 확인해야 하는 까닭입니다. 모든 결과에서 같은 조건으로 칸을 골랐을 때와, 미리 정한 주사위 하나의 눈만 들었을 때의 분모는 서로 다릅니다.