“모르겠습니다”라는 말을 듣고도 새 사실을 알 수 있을까요?

가람의 표식이 빨강이라는 문장을 p, 나래의 표식이 빨강이라는 문장을 q로 정하겠습니다. 각각 빨강과 파랑 두 가능성이 있으므로 전체 경우는 00,01,10,11의 네 개입니다. 첫 자리는 p, 둘째 자리는 q의 참·거짓을 기록하며 1은 참, 0은 거짓입니다.

이 숫자는 확률을 뜻하지 않습니다. 두 학생이 초기 정보만으로 어떤 경우를 구별할 수 있는지 표시하는 이름입니다. 실제로 일어난 경우는 11로 정하지만, 학생들의 지식은 그들이 아직 배제하지 못한 경우들을 함께 보고 판단합니다.

여기서 가능한 경우 하나를 가능세계(possible world, 사실들이 정해져 있는 한 경우)라고 부릅니다. 네 경우가 모두 고려 대상이라는 것, 각자 상대 표식만 본다는 것, 이 규칙을 두 사람 모두 알고 서로도 안다고 여긴다는 것을 처음부터 공통으로 약속합니다.

그렇습니다. 가람은 나래의 표식, 즉 둘째 자리 q만 봅니다. q가 1이면 01과 11을 구별할 수 없습니다. q가 0이면 00과 10을 구별할 수 없습니다. 자기 표식이 달라져도 눈에 보이는 나래의 표식은 같기 때문입니다.

나래는 첫 자리 p만 봅니다. p가 1이면 10과 11이 같아 보이고, p가 0이면 00과 01이 같아 보입니다. 서로 구별할 수 없는 세계들을 한 묶음으로 모으면 각 사람의 정보가 표현됩니다.

이 구별 불가능 관계(indiscernibility relation, 그 사람이 현재 정보로 가려낼 수 없는 경우들의 관계)가 원전 모형의 핵심입니다. 실제 세계 11에서 가람의 후보는 {01,11}, 나래의 후보는 {10,11}입니다. 두 학생 모두 자기 표식에 관해서는 두 색을 남겨 둡니다.

가람이 남겨 둔 모든 후보에서 p가 참인지 검사해야 합니다. 실제 11에서 가람의 후보는 01과 11입니다. 01에서는 p가 거짓이고 11에서는 참이므로, 가람은 p를 확정하지 못합니다. 외부에서 p가 참이라는 사실을 아는 것과 가람의 지식을 판단하는 일은 이렇게 구별됩니다.

K_Ap는 “가람이 p가 참임을 안다”는 뜻입니다. 자신이 구별하지 못하는 모든 세계에서 p가 참일 때 성립합니다. 이에 비해 Kw_Ap는 “가람이 p의 참·거짓을 안다”는 뜻이며, K_Ap ∨ K_A¬p로 읽습니다. 자기 표식이 파랑임을 정확히 아는 경우에도 Kw는 참입니다.

따라서 “p를 모른다”는 표현을 사용할 때 범위를 분명히 해야 합니다. 이 글에서 학생의 발언 “자기 표식의 색을 모르겠다”는 빨강도 파랑도 확정하지 못한다는 ¬Kw_Ap입니다. 단순히 빨강임을 모른다는 ¬K_Ap와 구별합니다.

발표 내용을 식으로 쓰면 p∨q입니다. “또는”은 둘 중 하나 이상이 참이라는 뜻이므로 둘 다 빨강인 11도 포함합니다. 네 세계 중 이 식이 거짓인 곳은 두 사람 모두 파랑인 00뿐입니다.

진실한 내용을 모두가 듣고 그 사실도 함께 아는 공개 발표(public announcement, 같은 내용을 모두에게 공개하는 정보 전달)를 하면, 00을 지우고 W₁={01,10,11}을 남깁니다. 각 사람의 구별 불가능 관계도 남은 세계 안으로 제한합니다. 새로운 표식을 붙이거나 색을 바꾸는 행동은 없습니다.

이 계산에는 발표가 참이고 모두에게 정상적으로 전달된다는 약속이 있습니다. 사회자는 전체 상황을 보고 참인 내용을 발표합니다. 실제 세계를 00으로 바꾸면 이 발표의 전제가 충족되지 않으므로 같은 정보 갱신을 실제로 일어난 것으로 처리할 수 없습니다.

남은 세 세계를 각각 실제라고 가정해 봅시다. 10에서는 가람이 나래의 파랑을 봅니다. 처음에는 00도 후보였지만 발표로 지워졌으므로 가람의 후보는 10 하나입니다. 가람은 자기 표식이 빨강임을 알게 됩니다.

01에서는 대칭적으로 나래가 가람의 파랑을 봅니다. 후보 00이 사라져 01 하나가 남으므로 나래가 자기 빨강을 압니다. 그러나 실제 11에서는 가람에게 {01,11}, 나래에게 {10,11}이 그대로 남아 둘 다 자기 색을 모릅니다.

발표 내용은 같지만, 각 사람이 이미 관측한 정보가 달라 새로 얻는 결론도 달라집니다. 다음 실험은 실제 세계와 발표 단계를 바꾸어 각 학생의 후보 집합을 다시 계산합니다. 어떤 세계들이 남았기에 해당 결론을 얻었는지 결과에 함께 표시합니다.

가람의 말이 참일 수 있는 세계만 남겨 봅시다. 방금 표에서 가람이 자기 색을 아는 세계는 10입니다. 따라서 가람이 정직하게 “모르겠다”고 말했다면 10은 실제일 수 없습니다. 01과 11에서는 가람이 여전히 두 색을 고려하므로 그 말이 참입니다.

두 번째 발표 뒤의 모형은 W₂={01,11}입니다. 이 두 세계의 공통점은 둘째 자리가 모두 1이라는 것입니다. 나래의 표식이 빨강이라는 q가 모든 남은 세계에서 참이 됩니다.

“모르겠다”를 내용 없는 대답으로 취급하면 이 추론을 놓칩니다. 이 모형의 학생들은 자신이 가진 정보로 무엇을 확정할 수 있는지 정확히 판단합니다. 그래서 가람의 무지에 관한 진실한 보고가, 가람이 알고 있었을 세계를 제외하는 근거가 됩니다.

실제 세계 11에서 나래가 처음 남겨 두었던 후보는 10과 11이었습니다. 가람의 발언으로 10이 제외되어 이제 11 하나만 남습니다. 나래는 자신이 빨강인 q가 참임을 압니다. 자기 표식을 직접 보지 않고도 상대의 지식에 관한 말을 이용해 알아낸 것입니다.

실제가 01이었다면 나래는 첫 발표 뒤부터 자기 빨강을 알고 있었습니다. 두 번째 발표 뒤에는 01과 11 모두에서 나래가 자기 빨강을 압니다. 반면 가람은 여전히 01과 11을 구별할 수 없으므로 자기 색을 모릅니다.

따라서 이 대화만으로 외부 관찰자가 가람의 색까지 하나로 정할 수는 없습니다. 가능한 실제 상황은 두 개이고, 두 상황에서 공통으로 확정되는 사실은 나래가 빨강이라는 것입니다. 처음 실제를 11로 정한 사실과 대화만으로 얻은 결론의 범위를 구별해야 합니다.

플라자는 φ+ψ라는 기호를 씁니다. 지금 φ가 참이고, 그 φ를 공개한 뒤의 모형에서 ψ가 참이라는 뜻입니다. 여기서 +는 숫자의 덧셈이 아닙니다. 앞의 정보로 모형을 제한한 다음 뒤의 주장을 평가하는 연결 기호입니다.

우리 대화는 (p∨q)+(¬Kw_Ap+K_Bq)로 적을 수 있습니다. 먼저 “적어도 한 명은 빨강”을 공개하고, 이어 “가람은 자기 색을 모른다”를 공개한 뒤, 나래가 자신의 빨강을 안다는 결론을 검사합니다. 괄호는 뒤 단계에서 새로 평가할 부분을 묶습니다.

학생이 자기 판단을 발표할 때는 그 내용을 알고 말한다는 조건도 필요합니다. 이 지식 모형에서는 학생이 자신의 무지를 정확히 아는 성질을 가정하므로, 가람의 모름 보고를 해당 식으로 나타낼 수 있습니다. 원전의 일반 메시지에서는 말하는 사람의 지식 조건 K_iφ까지 고려합니다.

첫 발표 뒤에 두 사람이 서로의 답을 듣기 전의 정보로 동시에 “모르겠다”고 답한다고 합시다. 가람의 모름은 01과 11에서, 나래의 모름은 10과 11에서 참입니다. 두 답을 같은 모형 W₁에서 함께 평가하면 교집합인 11만 남습니다. 이제 둘 다 자기 빨강을 압니다.

하지만 가람이 먼저 말하고 나래가 그 답을 들은 다음 말한다면 상황이 달라집니다. 가람의 답 뒤에는 W₂={01,11}입니다. 여기서는 나래가 자기 빨강을 압니다. 그러므로 나래가 그때 정직하게 “모르겠다”고 답하는 대화는 성립할 수 없습니다.

동시 발표에서는 두 조건을 발표 직전의 같은 정보 상태에서 검사합니다. 순차 발표에서는 첫 발언으로 바뀐 모형에서 둘째 발언을 다시 검사합니다. 아래 실험은 이 차이를 실제 집합 계산으로 보여 줍니다. 말의 글자만 복사해서 같은 조건으로 처리하지 않도록 평가 시점을 함께 봅니다.

실제가 10인 경우를 보겠습니다. 사회자의 첫 발표 p∨q는 참입니다. 그러나 그 뒤 가람은 나래의 파랑을 보고 자기 빨강을 압니다. 가람이 “자기 색을 모른다”고 말한다는 다음 단계는 이 실제 상황과 맞지 않습니다.

그 발언을 기계적으로 적용하면 실제 세계 10을 삭제해 버립니다. 남은 집합 {01,11}에서 어떤 결론을 얻더라도, 처음 정한 실제 상황에서 정직하게 이루어진 대화의 결과라고 할 수 없습니다. 그래서 실험은 각 발언을 적용하기 전에 실제 세계에서 참인지 검사하고, 거짓이면 그 단계에서 멈춥니다.

또한 이 모형의 지식에는 사실성이 들어 있습니다. K_Ap가 참이면 p도 참이어야 합니다. 실제 세계가 가람 자신의 후보에 포함되기 때문입니다. 착각·거짓말·통신 누락을 다루려면 해당 상황을 표현하는 추가 모형이 필요합니다.

가능합니다. 처음 네 세계가 모두 있는 상태로 돌아가 봅시다. 실제는 11이고 가람은 자기 색을 모릅니다. 모든 표식을 아는 사회자가 “가람의 표식은 빨강이고, 가람은 아직 자기 표식이 빨강임을 모릅니다”라고 발표합니다. 식으로는 φ=p∧¬K_Ap입니다.

처음 모형에서는 10과 11에서 이 말이 참입니다. 가람은 두 세계에서 모두 자기 빨강을 확정하지 못합니다. 발표 뒤에는 이 두 세계만 남습니다. 그러면 가람이 보기에 가능한 모든 세계에서 p가 참이므로, 이제 가람은 자기 빨강을 압니다. p는 그대로 참이지만 “가람은 아직 모른다”는 부분이 거짓이 됩니다.

따라서 모든 발표에 대해 “발표 내용이 발표 뒤에도 참이다”라고 일반화할 수 없습니다. 물리적 표식의 색은 변하지 않았고 지식 상태가 변했습니다. 원전도 지식에 관한 문장이 발표 뒤 거짓이 되는 반례를 제시합니다. 여기의 네 세계와 φ는 그 현상을 따로 계산한 교육용 예입니다.

“둘 다 안다”를 Eφ=K_Aφ∧K_Bφ로 적겠습니다. 실제 11에서 첫 발표 전에도 두 사람은 상대의 빨강을 보므로 E(p∨q)가 참입니다. 그러나 가람이 후보로 두는 01에서는 나래가 두 파랑인 00도 가능하다고 생각합니다. 가람은 나래도 적어도 한 명의 빨강을 안다고 확신하지 못합니다.

공통지식(common knowledge, 모두가 알고 서로가 안다는 사실도 끝없이 함께 아는 상태)은 이 단계를 더 이어갑니다. 모두가 φ를 알고, 모두가 “모두가 φ를 안다”를 알고, 그 사실도 계속 안다고 보는 조건입니다. 원전은 이를 E의 반복으로 설명하고, 가능세계 사이의 관계를 이어 가며 해석합니다.

첫 발표 뒤에는 남은 모든 세계가 p∨q를 만족합니다. 가람의 후보 관계와 나래의 후보 관계를 번갈아 따라가도 00으로 갈 수 없습니다. 따라서 같은 공개 발표를 모두가 함께 들었다는 조건 아래, p∨q가 공통지식이 됩니다. 이 설명은 변하지 않는 표식 사실 p∨q에 적용하며, 바로 앞 질문의 무지 문장에 그대로 일반화하지 않습니다.

핵심은 발표 뒤에 살아남는 후보만 검사한다는 것입니다. 원전의 환원식 중 하나는 φ+K_iψ를 φ∧K_i(φ→(φ+ψ))로 바꿉니다. 지금 φ가 참이고, 행위자가 고려하는 후보 중 φ를 만족하는 후보마다 발표 뒤 ψ가 참이어야 한다는 뜻입니다.

우리 두 번째 발표에서 확인해 봅시다. 첫 발표 뒤의 모형 W₁에서 φ를 “가람이 자기 색을 모른다”, ψ를 q로 둡니다. 실제11에서 나래의 후보는10과11입니다. 10에서는 φ가 거짓이어서 발표 뒤 후보에서 빠집니다. 11에서는 φ가 참이고 발표 뒤에도 q가 참입니다. 그래서 φ를 발표하면 나래가 q를 안다는 결론을 얻습니다.

이런 규칙을 식의 작은 부분부터 적용하면 발표 연산을 포함한 문장을 지식 논리의 식으로 옮길 수 있습니다. 플라자는 정리2.5에서 이 번역을 제시하고, 기본 명제 언어에 대한 건전성·완전성과 판정가능성을 이어 논합니다. 네 세계 실험은 그 정리의 일반 증명을 대신하지 않으며, 한 모형에서의 계산을 보여 줍니다.

가능한 상황을 먼저 정하고, 각 사람이 무엇을 구별할 수 있는지 기록해야 합니다. 다음으로 발언이 사실에 관한 말인지, 누군가의 지식이나 무지에 관한 말인지 구별합니다. 발언 시점을 정해 같은 시점의 답은 같은 모형에서 평가하고, 뒤에 이어지는 답은 갱신된 모형에서 다시 평가합니다.

이 글의 세 실험은 네 세계, 두 학생, 빨강·파랑이라는 고정된 모형에서 후보 집합과 지식값을 실제로 계산합니다. 각 단계에서 실제 세계가 남아 있는지, 어떤 후보가 왜 제외됐는지, 각자의 후보 전체에서 무엇이 참인지 확인할 수 있습니다. 이 모형에서는 “모르겠다”는 말도 유효한 정보가 되며, 같은 문구라도 발언 시점에 따라 성립 여부가 달라집니다.

원논문은 완전한 추론 능력, 정직한 메시지, 정상적인 전달, 모두가 공유하는 초기 모형 등의 조건을 명시합니다. 기본 명제 지식 언어의 결과와, 어떤 값인지를 아는 Kv가 추가된 언어의 결과도 구별합니다. 값에 관한 확장 전체에 똑같은 완전성 결과를 붙이지 않습니다. 실제 사람의 착각이나 비공개 전달을 다룰 때는 그 정보 구조까지 따로 표현해야 합니다.