정보가 비어 있을 때 정한 결론은 언제 바꿔야 할까요?

확인된 자료를 F, 확인된 자료에 적용하는 규칙을 R, 기본 가정을 D로 나누어 놓겠습니다. F에는 “a17은 접수된 신청이다”를 적습니다. R에는 “동쪽 독서모임 소속 신청자의 수령 장소는 별관이다”처럼 이 예에서 확정적으로 적용하기로 약속한 규칙을 둡니다. D에는 “확정 장소를 알아낼 수 없으면 본관을 임시 장소로 삼는다”를 둡니다.

먼저 F와 R만으로 얻을 수 있는 내용을 모두 계산합니다. 이 결과를 C라고 부르겠습니다. 신청서에 장소가 직접 적혀 있지 않아도, 리나가 동쪽 독서모임 소속이라는 자료가 있으면 R을 거쳐 별관을 얻을 수 있습니다. 기본값을 넣기 전에 이 계산을 끝내야 합니다.

여기서는 신청서 하나, 수령 장소 두 곳, 앞을 향해 적용되는 몇 개의 규칙만 사용합니다. 사실 계산을 마친 뒤 기본값을 적용하는 두 단계 절차는 이 작은 사례에 맞춘 설계입니다. 원전이 제기한 모든 기본 추론 문제를 해결하는 일반적인 방법으로 제시하는 것은 아닙니다.

수령(a17, 별관)을 P라고 해 봅시다. 현재 자료에서 P를 얻지 못했다는 말과 ¬P라는 결론을 얻었다는 말은 서로 다른 상태를 가리킵니다. 신청서의 장소 칸이 비어 있다면, 리나가 실제로 별관을 원할 가능성과 본관을 원할 가능성이 모두 남습니다.

확정 자료 C에서 P를 도출할 수 있다는 표시는 C ⊢ P입니다. 도출할 수 없다는 표시는 C ⊬ P입니다. 반면 C ⊢ ¬P는 “별관 수령을 하지 않는다”는 부정 내용을 뒷받침하는 자료나 규칙이 있다는 뜻입니다. ⊬는 우리가 사용할 수 있는 근거와 추론의 상태를 말하고, ¬는 문장 안에서 내용을 부정합니다.

도서관은 정보가 빈 상태에서도 본관 안내를 준비하도록 D를 정했습니다. 따라서 기본값을 사용했을 때는 그 기본 규칙까지 근거에 포함해야 합니다. “별관이라는 기록을 보지 못했다”는 사실 하나만으로 모든 상황에서 별관 수령을 부정할 수는 없습니다.

신청서의 수령 장소 칸은 비어 있고, 리나의 모임 정보에는 “동쪽 독서모임”이 기록돼 있다고 합시다. 이 예의 확정 규칙은 동쪽 독서모임의 신청을 별관에서 받도록 정합니다. 따라서 “동쪽모임(a17)”에서 “수령(a17, 별관)”을 얻습니다.

이제 본관 기본값의 조건을 검사합니다. 그 조건은 확정 장소를 알아낼 수 없다는 것입니다. 이미 별관을 알아냈으므로 조건이 충족되지 않습니다. 입력 칸 하나가 비어 있는지 확인하는 방법과, 자료 전체에서 장소를 도출할 수 있는지 확인하는 방법이 서로 다른 답을 내는 지점입니다.

실험에서는 직접 지정과 모임 정보를 각각 바꿀 수 있습니다. 직접 지정이 본관인데 동쪽 모임 규칙으로 별관도 나오면 두 확정 장소가 충돌합니다. 이 예에서는 신청서당 수령 장소가 한 곳이라는 별도 조건을 두므로, 임의로 한 곳을 택하지 않고 확인이 필요한 상태로 표시합니다.

우리 사례의 첫 조건은 신청 a17이 접수됐다는 것입니다. 둘째 조건은 확정 자료와 규칙으로 장소를 계산한 C에 수령(a17, 본관)도 수령(a17, 별관)도 없다는 것입니다. 두 조건을 함께 확인하면 기본값으로 수령(a17, 본관)을 임시 추가합니다.

수식으로 적으면 “접수(a17) ∈ C이고, C에서 수령(a17, 장소)를 얻을 수 없으면, 기본 가정으로 수령(a17, 본관)을 채택한다”가 됩니다. 적용 후에는 “기본값 D1을 사용했다”는 표시를 붙입니다. 이후 계산에서 그 표시가 안내의 의존 관계를 추적하는 출발점이 됩니다.

여기서 “없음”을 검사하는 대상은 기본값을 넣기 전에 계산한 C로 고정합니다. 기본값을 넣고 나서 그 값 자체를 근거로 조건을 되풀이해 바꾸면 절차가 혼란스러워집니다. 이처럼 검사할 자료의 범위와 순서를 밝히는 일이 기본 추론의 구현에서 필요합니다.

이 예에는 두 확정 규칙을 더 넣겠습니다. 본관 수령이면 보관함 M12를 사용하고, 별관 수령이면 보관함 X07을 사용합니다. 각 보관함에 맞는 수령 안내도 만듭니다. 따라서 본관 기본값을 적용한 뒤에는 “M12에 보관한다”, “본관 M12로 안내한다”는 결과가 이어집니다.

세 결과의 근거가 서로 연결돼 있습니다. 본관 수령은 D1에, M12 보관은 본관 수령과 보관함 규칙에, 본관 M12 안내는 앞의 두 결과에 의존합니다. 프로그램이 이 연결을 보관하면 D1의 적용 조건이 사라졌을 때 어떤 안내를 다시 계산해야 하는지 찾을 수 있습니다.

접수 번호 a17이나 신청자 리나는 이 기본 가정에 기대어 얻은 정보가 아닙니다. 이 사실들을 안내와 한 덩어리로 지우면 정확한 자료까지 잃습니다. 무엇이 무엇을 근거로 생겼는지 나누어 기록하면 수정 범위도 분명해집니다.

새 확정 자료에 수령(a17, 별관)을 넣고 C를 다시 계산합니다. 이제 확정 장소가 있으므로 D1을 사용할 조건이 사라집니다. 그 결과 기본 가정에만 기대어 얻었던 본관 수령, M12 보관, 본관 M12 안내를 현재 결과에서 거둡니다.

새 결과는 별관 수령에서 시작합니다. 별관 수령 규칙을 적용하면 보관함 X07이 나오고, 이어 “별관 X07에서 받으세요”라는 안내를 만듭니다. 접수 번호와 신청자 정보는 그대로 사용합니다. 단순히 새 문장을 덧붙이는 방식으로 처리하면 옛 안내와 새 안내가 동시에 남을 수 있습니다.

본관이라는 임시 결론을 철회했다는 사실만으로 ¬수령(a17, 본관)이 증명되는 것은 아닙니다. 다만 이 예에는 서로 다른 두 수령 장소 중 한 곳만 사용할 수 있다는 조건이 추가돼 있습니다. 별관 확정과 이 조건을 함께 사용하면 본관 수령과 양립할 수 없다는 판단까지 할 수 있습니다. 철회 이유와 그 별도 조건을 구분해 보세요.

이 경우에는 본관이라는 값이 계속 유지됩니다. 바뀌는 것은 그 값을 뒷받침하는 근거입니다. 처음에는 D1 때문에 본관을 채택했지만, 이제는 신청자의 확정 지정이 본관을 뒷받침합니다. 새 C에서 본관이 도출되므로 기본값을 사용할 필요가 없어집니다.

M12와 안내도 본관이라는 확정 결과를 근거로 다시 얻을 수 있습니다. 내부 계산에서 과거의 기본값 의존 기록을 걷어내더라도 새 근거로 같은 내용이 살아남습니다. 화면에는 “본관 · 기본값”이 “본관 · 확정”으로 바뀌는 것이 정확합니다.

결론 하나가 여러 근거를 가질 때는 어떤 근거가 사라졌는지와 모든 근거가 사라졌는지를 구별해야 합니다. 여기의 작은 프로그램은 확정 자료부터 다시 계산해 이를 확인합니다. 큰 시스템이 항상 전체를 처음부터 계산해야 한다는 주장은 이 예에 포함하지 않습니다.

먼저 명단이 다루는 범위를 정해야 합니다. 오늘 접수하는 신청 번호가 a17·a18·a19·a20의 네 개이고, 접수가 모두 끝난 뒤 확인한 완전한 명단이라고 약속해 봅시다. 목록에 a17과 a18만 있다면 그 범위에서 a19와 a20을 미접수로 처리할 수 있습니다. 명단에 있는 신청과 그 밖의 신청을 네 번호 안에서 계산한 결과입니다.

이런 사용은 닫힌 세계 가정(closed world assumption, 정해 둔 범위에서 도출되지 않는 항목을 부정으로 채우는 가정)에 해당합니다. 원전은 해당 영역에 관한 지식이 충분히 갖춰져 있어야 한다는 조건을 강조합니다. 접수 중이라 새 신청이 아직 반영되지 않았다면 a19의 상태는 미확인으로 남겨야 합니다.

실험에서 “완전한 명단”을 고르면 빠진 번호를 미접수로 계산하고, “아직 모으는 중”을 고르면 미확인으로 표시합니다. a19의 접수 자료를 추가하면 두 경우 모두 접수로 바뀝니다. 적용 범위는 화면에 정한 오늘의 네 번호와 접수 여부에 한정합니다.

P를 “a19가 신청했다”, Q를 “a20이 신청했다”로 정합시다. 확정 자료가 P ∨ Q 하나라면 가능한 경우는 P만 참, Q만 참, 둘 다 참의 세 가지입니다. P가 모든 경우에서 참은 아니고, Q도 모든 경우에서 참은 아닙니다. 그래서 P와 Q를 각각 따로 도출할 수 없습니다.

여기에 도출되지 않는 개별 항목을 모두 부정으로 채우는 절차를 기계적으로 적용하면 ¬P와 ¬Q가 함께 들어갑니다. 그런데 이 둘을 만족하는 경우는 두 사람 모두 미신청인 경우뿐입니다. 처음의 P ∨ Q가 허용하던 세 경우와 겹치는 경우가 없어집니다.

이 계산은 기본 가정을 서로 결합할 때 전체 자료의 일관성도 살펴야 한다는 점을 보여 줍니다. 앞 실험은 접수 여부를 하나씩 기록하는 작은 명단으로 제한했습니다. 그 실험의 성공을 선택지·불완전 정보가 섞인 모든 데이터에 그대로 확대하면 이런 문제가 생깁니다.

a17은 접수됐고 보류 사유는 아직 확인되지 않았다고 합시다. 이 예의 기본 규칙은 그 상태에서 수령 가능을 임시로 채택합니다. 이제 담당자가 자료 오류를 발견해 보류(a17)를 확정 기록하면 기본 규칙의 조건이 충족되지 않습니다. 임시로 얻었던 수령 가능을 거두어야 합니다.

보류 기록이 추가됐다는 사실에서 곧바로 어떤 부정 문장이 따라오는지는 별도의 운영 규칙에 달려 있습니다. “보류된 신청은 수령할 수 없다”를 확정 규칙으로 약속했다면, 보류(a17)와 그 규칙으로 수령 불가를 얻습니다. 그 규칙을 아직 정하지 않았다면 현재 계산에서 할 수 있는 일은 기본 가정에 의한 가능 판단을 거두는 것입니다.

일상적인 “대체로 그렇다”를 모든 대상에 예외 없이 적용하는 규칙으로 바꾸면 예외가 나왔을 때 충돌합니다. 기본 가정을 사용한 결론에는 적용 조건을 붙이고, 예외를 알게 되었을 때 어떤 부분을 재검토할지 기록해 두어야 합니다.

장소가 하나도 확인되지 않은 상태에서 첫 규칙부터 적용해 봅시다. 본관이 없으므로 별관을 채택합니다. 그러면 둘째 규칙을 검사할 때는 별관이 있으므로 본관을 채택할 조건이 충족되지 않습니다. 최종 결과는 별관입니다.

순서를 뒤집으면 처음에 본관을 채택하고, 그다음 별관 규칙이 막힙니다. 같은 시작 자료와 같은 두 규칙인데 결과가 본관으로 바뀝니다. 이 두 단계 절차는 규칙의 적용 순서에 의존한다는 사실을 직접 보여 줍니다. 먼저 실행했다는 이유만으로 그 결과가 더 타당하다고 판단할 근거는 없습니다.

원전은 이와 같은 순서 의존을 기본 이론의 문제로 제기합니다. 아래 실험은 그 문제를 드러내는 작은 실행 모형입니다. 이 결과를 라이터의 후속 논리에서 말하는 확장이나 의미론적 해답으로 부르지 않습니다. 앞의 수령 안내 예에서는 이런 대칭적인 경쟁 규칙을 피하고 명시한 단일 기본값만 사용했습니다.

검색을 계속하면 답을 찾을 수 있는데 1초 제한 때문에 중단됐을 수도 있습니다. 그 경우 “이번 탐색이 끝나지 않았다”와 “주어진 규칙으로 그 사실을 도출할 수 없다”를 구별해야 합니다. 시간 제한은 계산을 멈추게 하는 운영 결정이며, 그 자체가 논리적 부재의 증거를 주지는 않습니다.

이 글의 첫 실험은 정해진 신청서 하나와 두 장소, 유한한 규칙만 다룹니다. 이미 얻은 사실이 더 늘지 않을 때까지 규칙을 적용하면 멈춥니다. 마지막 단계에서 새로 더해지는 사실이 없다는 것을 확인한 뒤 장소의 존재 여부를 검사합니다. 이 한정된 모형에서는 탐색 범위를 모두 살필 수 있습니다.

일반적인 논리식과 임의의 규칙으로 범위를 넓히면 “도출할 수 없음”을 항상 계산으로 알아낼 수 있다고 보장할 수 없습니다. 원전도 기본 규칙의 적용 여부를 효과적으로 판단하는 문제를 남겨 둡니다. 실제 시스템은 어떤 제한 아래에서 검사가 끝나는지 설명해야 합니다.

일반적인 고전 추론에서는 같은 규칙 아래 전제를 더해도 이미 도출한 결론이 유지됩니다. 이런 성질을 단조성(monotonicity, 전제를 더해도 기존 도출이 유지되는 성질)이라고 합니다. 기본 추론의 조건에는 “확정 자료에서 아직 알아낼 수 없다”는 내용이 들어갑니다. 새 자료가 오면 그 조건 자체가 달라집니다.

처음의 자료 F에서는 장소를 알아낼 수 없어 D1을 사용했습니다. 새 자료 F′에는 별관 지정이 추가됩니다. 따라서 F′의 확정 결과 C′에는 별관이 들어가고 D1의 적용 조건이 사라집니다. 기본 가정으로 만든 본관 안내가 거두어지는 까닭을 이 순서대로 확인할 수 있습니다.

이 성질을 비단조성(nonmonotonicity, 전제의 추가로 이전의 기본 결론이 철회될 수 있는 성질)이라고 부릅니다. 실험은 새 정보가 올 때마다 확정 자료와 기본 가정의 적용 여부를 재계산합니다. 어떤 정보가 추가됐고 어떤 조건이 달라졌는지를 보여 주면 결론 변화도 설명할 수 있습니다.

처음에 확인한 것은 신청 a17이 접수됐다는 사실입니다. 직접 지정과 모임 규칙으로 장소를 알아낼 수 없을 때 본관 기본값을 적용했고, 그 값에서 M12와 안내를 계산했습니다. 화면은 “본관 · 기본값”이라고 표시합니다. 이후 동쪽 모임 정보나 별관 직접 지정이 오면 별관을 확정 결과로 얻고 X07 안내를 만듭니다.

직접 본관 지정과 동쪽 모임 정보가 함께 들어오면 본관과 별관이 모두 도출됩니다. 이때는 기본값을 바꾸어 충돌을 숨길 수 없습니다. 신청서당 한 장소라는 조건을 만족하도록 확정 자료나 규칙을 확인해야 합니다. 명단이 미완성인 경우에도 빠진 이름을 곧바로 미접수로 표시하지 않고 확인 범위를 드러냅니다.

세 실험은 각각 확정 자료의 계산, 명단의 완전성 약속, 경쟁하는 기본 규칙의 순서를 바꿉니다. 지금 보이는 결론에 어떤 자료와 가정이 들어갔는지, 새 자료가 오면 무엇이 바뀌는지를 확인할 수 있습니다. 이것이 이 글에서 기본 추론을 사용해 만든 수령 안내의 설명 범위입니다.