한 대상을 살펴보고 ‘모두’라고 말해도 되나요?

그 두 결론이 요구하는 대상을 하나씩 세어 보겠습니다. ‘있다’에는 조건을 만족하는 한 사람이면 충분합니다. ‘모두’에는 정한 영역의 모든 사람이 들어갑니다.

두 번째 모습에서도 전제 P(a)는 참입니다. 그런데 결론 ∀xP(x)는 거짓입니다. 11편에서 배운 반모형이 생겼으므로, 이 전제 하나로 그 결론을 이끌어 낼 수는 없습니다.

제비뽑기로 뽑힌 사람이 모자를 썼다는 사실도 그 사람에 대한 관찰입니다. 다른 참가자는 모자를 쓰지 않았을 수 있습니다. 오늘의 ‘임의의 대상’은 뽑는 방식보다 증명에서 무엇을 근거로 쓰는지에 관한 말입니다.

네. 선택한 대상을 특별하게 제한하는 전제나 아직 열린 가정을 사용했는지 살펴보겠습니다. 그런 제한 없이 정당한 규칙으로 얻은 결과여야 합니다. 여러 사람을 관찰해 경향을 찾는 조사와, 모든 대상을 보장하는 논리적 증명은 이 점에서 구별됩니다.

이번 편의 증명에서는 새 약속을 씁니다. d를 아라의 별명으로 정해 두지 않겠습니다. 증명마다 아직 사용하지 않은 이름 d를 골라, 영역의 임의의 대상을 잠시 가리키게 하겠습니다.

이름을 정한 것만으로는 그런 성질을 얻지 못합니다. P(d)를 쓰려면 전제나 규칙의 근거가 있어야 합니다. 예를 들어 ∀xP(x)가 주어졌다면 12편의 전칭 제거로 P(d)를 얻을 수 있습니다.

새 가상 모임에서 P(x)는 ‘x가 이름표를 받았다’, Q(x)는 ‘x가 안내문을 받았다’로 정하겠습니다. 전제는 ‘모든 참가자가 이름표와 안내문을 받았다’입니다. 여기서 ‘모든 참가자가 이름표를 받았다’를 증명해 보겠습니다.

2번에서는 d도 전체 참가자에 들어 있으므로 전제의 내용을 적용합니다. 3번에서는 ‘이름표를 받았고 안내문을 받았다’의 앞부분을 얻습니다. 어느 단계에서도 d만의 특별한 사정을 쓰지 않았습니다. 그래서 4번에서 모든 참가자에 관해 말할 수 있습니다.

맞습니다. 마지막 줄의 ∀를 새로 붙이는 규칙을 전칭 도입, ∀I라고 적습니다. I는 도입을 뜻하는 영어 introduction의 첫 글자입니다.

우선 d라는 이름으로 얻은 결과가 누구에게나 통하는지 봅니다. 이 수업에서는 그 점을 분명하게 확인하도록 다음 규칙을 쓰겠습니다.

그렇게 이름만 바꾸어도 전제는 여전히 그 사람의 모자에 관한 사실입니다. P(d)를 원래 전제로 놓았다면 d가 바로 그 전제에 나타납니다. 따라서 전칭 도입의 조건을 만족하지 않습니다.

그 경우에도 a=d라는 전제에 d가 들어 있습니다. 아라와 같은 대상이라는 특별한 조건을 사용한 것이지요. 이름의 모양보다 사용한 근거를 확인해야 합니다.

그 가정이 열려 있는 동안에는 d를 P인 대상으로 제한한 셈입니다. 그 안에서 얻은 P(d)를 다른 모든 대상에게 넓힐 근거는 없습니다.

원래 전제뿐 아니라 지금도 사용 중인 임시 가정을 확인하는 이유가 여기 있습니다. 그 가정을 닫으려면 기초에서 배운 조건문 도입과 같은 정당한 규칙을 써야 합니다.

이미 올바르게 닫은 가정은 구별합니다. 다음 증명에는 원래 전제가 없습니다. P(d)를 잠깐 가정하고 같은 P(d)를 얻은 뒤, 조건문 도입으로 가정을 닫겠습니다.

그렇습니다. 4번에서 넓히는 대상도 그 조건문 전체입니다. 누구에게든 ‘P이면 P’가 성립한다는 것을 얻습니다. ‘모두 P다’라는 결론을 얻은 것은 아닙니다.

그 말을 식으로 쓰는 순서를 함께 보겠습니다. 영역은 참가자 전체이고, S(x)는 ‘x가 학생이다’, P(x)는 ‘x가 이름표를 받았다’입니다. 목표는 ∀x(S(x)→P(x))입니다.

맞습니다. 어떤 사람이 학생이면 무엇이 따라오는지 보여 주는 것입니다. 실제 학생이 없는 모임에서도 그 조건문이 참일 수 있다는 2편의 설명과 이어집니다.

사라져야 할 것은 이번에 일반화하는 새 이름 d입니다. 고정해서 말하려는 아라의 이름 a는 그대로 둘 수 있습니다. 이 절에서 R(x,y)는 ‘x가 y의 이름을 기억한다’입니다.

원래 전제에는 a가 있지만 d는 없습니다. 최종식에도 d는 남지 않습니다. 그래서 이 증명은 올바릅니다. 앞의 x와 뒤의 y가 다른 것은, 같은 역할을 하는 속박변수의 이름만 바꾼 것입니다.

그 일반화에서는 a를 임의의 이름처럼 쓰게 됩니다. 하지만 a는 이미 원래 전제에서 ‘기억되는 이름의 주인’으로 고정되어 있습니다. 세 사람이 아라의 이름만 기억하는 경우, 전제는 참이지만 보라와 찬우는 자기 이름을 기억하지 않습니다.

전칭 도입에서는 d의 모든 출현을 같은 변수로 바꿉니다. 따라서 두 자리 모두를 바꾼 ∀xR(x,x)를 얻습니다. d 하나를 남긴 식은 이번 규칙의 조건에 맞지 않습니다.

이유도 관계의 뜻으로 확인할 수 있습니다. ‘모두 자기 이름을 기억한다’는 전제에서 ‘모두 d의 이름을 기억한다’는 결론은 따라오지 않습니다. 각자가 자기 이름만 기억하는 세 사람을 떠올리면 됩니다.

6편에서 배운 변수의 범위를 다시 확인하면 됩니다. 여기서는 ∃yR(d,y)를 보겠습니다. d는 기억하는 사람이고 y는 그 사람이 이름을 기억하는 대상입니다. d를 y로 바꾸면 두 역할이 섞일 수 있습니다.

올바른 식은 바깥 x와 안쪽 y가 각자의 역할을 맡습니다. 잘못된 식에서는 R의 두 y를 안쪽 ∃y가 모두 맡습니다. 그래서 ‘자기 이름을 기억하는 사람이 있다’는 뜻을 주장하게 되고, 처음 정보보다 다른 내용을 말합니다.

새 모임에서 S(x)는 ‘x가 학생이다’, P(x)는 ‘x가 이름표를 받았다’, Q(x)는 ‘x가 출석 명단에 등록되어 있다’입니다. 두 전제가 모두 참이라고 두고 무엇이 따라오는지 보겠습니다.

맞습니다. 9번에 도달했을 때 남아 있는 것은 1·2번 전제뿐입니다. 거기에 d가 없으므로 전칭 도입을 적용합니다. 이 증명은 두 전제가 참이면 모든 학생이 출석 명단에 등록되어 있음을 보장합니다. 실제 모임의 두 전제가 참인지는 별도로 확인할 일입니다.

좋습니다. ‘내가 d에게서 사용한 근거가 특정 대상의 성질을 요구하나요?’, ‘가정을 닫고 무엇을 얻었나요?’, ‘d의 자리를 안전하게 모두 바꾸었나요?’를 순서대로 물어보세요.

오늘은 임의의 대상을 특별하게 제한하지 않은 채 증명하고, 그 결과를 ‘모두’로 옮기는 법을 배웠습니다. 다음 편에서는 ‘누군가 있다’는 전제에서 출발합니다. 그 사람에게 잠깐 붙인 이름을 어디까지 사용할 수 있는지 함께 살펴보겠습니다.