한 사례에서 존재를 어떻게 증명하나요?

그렇습니다. 아라가 지금 모자를 썼다는 사실을 확보했다고 하겠습니다. 그러면 “모자를 쓴 사람이 적어도 한 명 있다”라고 말할 수 있습니다. 그 한 명의 증거로 아라를 가리킬 수 있기 때문입니다.

그럴 필요가 없습니다. P(a)가 참임을 확보했다면 아라만으로 존재문의 증거가 됩니다. 다른 사람들도 모자를 썼을 수 있고 쓰지 않았을 수도 있습니다. 그 어느 쪽이든 이미 확보한 아라의 사례는 남아 있습니다.

존재 도입이라고 하며 ∃I로 적습니다. I는 도입을 뜻하는 영어 introduction의 첫 글자입니다. a가 놓인 자리를 x로 바꾸고, 그 x를 맡는 ∃x를 앞에 붙입니다.

2줄을 읽을 때 “한 사람이 새로 생겼다”고 생각할 필요는 없습니다. 이미 1줄에서 말한 아라가 2줄을 참으로 만드는 대상입니다. 원래 사실에서 그 이름을 직접 밝히지 않는 존재 진술로 옮겨 간 것입니다.

네. 이 짧은 식에서는 ∃yP(y)라고 써도 같은 뜻입니다. P 뒤의 변수와 그 변수를 맡는 양화사의 글자를 맞추면 됩니다. 길이가 늘어날 때에는 다른 양화사의 범위와 겹치지 않는지도 살펴보겠습니다.

∃xP(x)만 주어졌다면 그 증거가 아라인지 알 수 없습니다. 아래 두 세계를 비교해 보세요. 두 세계 모두 모자를 쓴 사람이 존재하지만, 아라의 모자 상태는 서로 다릅니다.

맞습니다. 앞서 증명한 P(a)가 함께 남아 있다면 그 줄을 계속 사용할 수 있습니다. 하지만 존재문 하나만 새로 전달받은 사람에게는 아라라는 정보가 없습니다. 추론할 때 지금 실제로 확보한 전제가 무엇인지 확인해야 합니다.

무엇의 존재를 말하려는지에 따라 선택합니다. “보라의 이름을 기억하는 사람이 있다”를 말하려면 아라의 자리 a를 x로 바꿉니다. “아라가 이름을 기억하는 사람이 있다”를 말하려면 보라의 자리 b를 y로 바꿉니다.

두 식 모두 원래의 R(a,b)로 확인할 수 있습니다. 첫 식의 x에 아라를, 둘째 식의 y에 보라를 넣으면 원래 사실을 그대로 되찾습니다. 이처럼 그 대상이 실제로 이 존재문의 증거가 되는지 확인하는 습관을 들여 보세요.

존재 도입에서는 어느 내용을 존재한다고 말할지에 따라 같은 이름의 일부 또는 전부를 바꿀 수 있습니다. R(a,a), “아라는 자기 이름을 기억한다”가 참일 때를 보겠습니다.

네. “아라의 이름을 기억하는 사람이 있다”의 증거를 아라 자신이 제공합니다. 이름 일부가 남아 있어도 됩니다. 중요한 것은 새 존재문의 변수에 원래 대상을 넣었을 때, 이미 확보한 식이 되느냐는 점입니다.

그렇게 한 번에 합치면 증거가 사라질 수 있습니다. R(a,b)는 아라가 보라의 이름을 기억한다는 말입니다. ∃xR(x,x)는 자기 이름을 기억하는 사람이 있다는 말입니다. 원래 사실만으로 자기 이름을 기억하는 사람이 보장되지는 않습니다.

여기서는 R(a,b)가 참입니다. 그러나 아라도 보라도 자기 이름을 기억하지 않으므로 ∃xR(x,x)는 거짓입니다. 서로 다른 대상을 한 변수의 여러 출현으로 합쳐 쓸 수 없는 이유가 보입니다.

그때는 같은 대상이라는 근거를 먼저 사용해야 합니다. 예를 들어 별도의 사례에서 a=b와 R(a,b)가 주어졌다면 동일성의 대입으로 R(a,a)를 얻은 뒤 존재 도입을 쓸 수 있습니다. 하지만 지금의 첫 장면에서는 아라와 보라를 서로 다른 사람으로 정했습니다.

그 두 사실은 같은 아라에 관한 것입니다. 먼저 P(a) ∧ Q(a)로 묶습니다. 그다음 두 자리의 a를 함께 x로 바꾸어 ∃x(P(x) ∧ Q(x))를 얻을 수 있습니다.

∧I는 기초에서 배운 연언 도입입니다. 3줄에서 아라 한 사람이 두 조건을 함께 만족함을 적었기 때문에, 4줄에서도 같은 사람의 증거를 유지할 수 있습니다.

맞습니다. ∃x(Q(x) → P(x))로 적으면 학생이 아닌 대상도 조건문을 참으로 만들 수 있습니다. “학생이면서 모자를 썼다”를 표현하려면 두 조건을 함께 요구하는 ∧를 씁니다.

두 존재문은 각각 증거를 찾습니다. 처음 식에서 찾은 사람이 다음 식의 증거와 같다는 조건은 없습니다. 두 사람이 있는 아래 비교 세계를 보세요.

아라가 모자를 썼으므로 ∃xP(x)는 참입니다. 보라가 학생이므로 ∃xQ(x)도 참입니다. 그러나 두 조건을 함께 만족하는 사람은 없습니다. ∃x(P(x) ∧ Q(x))는 거짓입니다.

각 ∃x는 자기 범위 안의 x만 맡습니다. 첫 식을 ∃uP(u), 둘째 식을 ∃vQ(v)로 적어도 뜻은 같습니다. 두 조건을 한 사람에게 묶으려면 7절처럼 같은 대상의 두 사실을 확보해야 합니다.

쓸 수 있습니다. 이미 확보한 내용은 “모자를 쓰지 않았다”입니다. 그 내용 전체를 유지하면서 b 자리를 x로 바꾸면 ∃x¬P(x)가 됩니다. 모자를 쓰지 않은 사람이 있다는 뜻입니다.

그렇습니다. 존재 도입은 원래의 부정을 양화사 바깥으로 옮기지 않습니다. ¬P(b)의 부정은 P에 붙어 있으므로, ∃x를 새로 붙이면 그 부정이 ∃x의 범위 안에 남습니다.

여기서 아라에게 붙은 내용 전체는 “모든 사람의 이름을 기억한다”입니다. 그 내용을 만족하는 증거가 아라에게 있으므로 ∃x∀yR(x,y)를 얻습니다. “모든 사람의 이름을 기억하는 사람이 있다”는 뜻입니다.

네. ∃x의 증거인 아라 한 사람을 고정한 상태로, 안쪽 ∀y가 모든 이름의 주인을 살펴봅니다. 존재 도입에서 보존해야 하는 것은 P 같은 짧은 글자만이 아니라 그 대상에 관해 이미 확보한 내용 전체입니다.

그 자리에 x를 넣으면 이미 있는 ∀x가 새 x까지 맡게 됩니다. 잘못 만든 ∃x∀xR(x,x)에서는 R의 두 x를 안쪽 ∀x가 모두 맡습니다. 바깥 ∃x가 맡는 자리는 없습니다.

맞습니다. 처음에는 식 안에서 아직 쓰지 않은 변수를 고르는 것이 편합니다. 그리고 그 변수에 원래 증거 대상을 넣었을 때 처음 식으로 돌아오는지 확인하세요. 변수 글자가 짧다고 해서 뜻도 단순해지는 것은 아니므로, 맡은 범위를 먼저 봅니다.

이 과정의 약속 아래에서는 가능합니다. 전체 논의 영역에는 대상이 적어도 하나 있고, 이름 a는 그 영역의 대상을 가리킵니다. 그 대상에게 P가 성립하므로 P를 만족하는 대상이 적어도 하나 있습니다.

∀x(Q(x) → P(x))는 전체 영역의 모든 대상에게 P를 단정하는 전제와 다릅니다. Q에 해당하는 학생이 없을 수 있습니다. 영역에 사람은 있지만 모두 학생이 아니고 모두 모자를 쓰지 않은 세계에서도 그 조건부 전칭문은 참입니다.

네. 한 자리씩 존재 도입을 하면 됩니다. 먼저 둘째 자리의 b를 y로 바꾸고, 그다음 남은 a를 x로 바꿉니다. 두 단계의 증거가 각각 누구인지 적어 보겠습니다.

그 결론 자체는 두 사람이 서로 달라야 한다고 요구하지 않습니다. R(a,a)에서도 같은 아라를 두 자리의 증거로 삼아 ∃x∃yR(x,y)를 얻을 수 있습니다. 서로 다름을 표현하려면 9편에서 배운 x≠y를 추가해야 합니다.

“새 존재문을 참으로 만드는 증거가 이미 있나요?”입니다. 그 증거를 넣었을 때 이미 확보한 식으로 돌아오는지 확인하세요. 이름을 바꾼 자리, 부정·연결사의 범위, 같은 사람의 조건, 안쪽 양화사를 하나씩 살피면 됩니다.

아래 표는 행마다 출발 전제를 새로 정한 예시입니다. 첫 장면의 모자 상태를 대입하지 않고, 각 행에 적힌 사실에서 무엇을 얻는지 봅니다. P(b)를 확보한 경우와 ¬P(b)를 확보한 경우는 서로 별개의 예시입니다.