포함과 겹침을 벤다이어그램으로 표현하기

두 활동의 참여자를 한눈에 비교할 때

한 달 프로그램에서 독서 모임 참여자 집합 A와 토론 모임 참여자 집합 B를 비교한다고 하자. 두 명단을 따로 보면 두 활동 모두 참여한 사람, 한 활동만 참여한 사람, 어느 활동에도 참여하지 않은 사람을 놓치기 쉽다. 벤다이어그램은 전체 대상 U 안에 모든 가능한 소속 영역을 먼저 만든다.

두 집합이면 A만, B만, A와 B 모두, 둘 다 아님의 네 영역이 생긴다. 원을 단순히 “주제 두 개”로 읽지 않고 각 위치가 어떤 소속 조합을 뜻하는지 읽는다. 집합 이름, 전체 범위, 기준 시점이 빠지면 같은 사람을 넣어도 뜻이 달라질 수 있다.

안쪽·겹침·바깥쪽을 식으로 읽는다

A 안은 독서 모임 참여자 전체이며 A만과 A∩B를 합친다. B도 같다. A∩B는 두 활동 모두 참여한 사람, A∪B는 둘 중 적어도 하나에 참여한 사람이다. A의 여집합 Aᶜ는 전체 U에는 속하지만 A에는 속하지 않는 사람이다.

“또는”은 일상어에서 둘 중 하나만 뜻하기도 하지만 집합의 합집합은 둘 다인 경우를 포함한다. 정확히 하나만을 말하려면 (A−B)∪(B−A)처럼 배타 영역을 적는다. 기호를 쓸 때는 바로 옆에 한국어 읽기를 붙여 독자가 식과 영역을 왕복할 수 있게 한다.

점은 존재를, 숫자는 원소 수를 나타낸다

영역 안의 점 하나는 그 조건을 만족하는 원소가 적어도 하나 있음을 나타낼 수 있다. 이름을 쓰면 어떤 원소인지도 보인다. 숫자 7을 쓰면 해당 영역에 원소가 7개 있다는 뜻이다. 점이나 숫자가 없는 공간이 곧 빈 집합인지는 표기 규칙에 따라 다르므로 범례를 둔다.

“비어 있음”을 확정하려면 0, 음영, 또는 명시적 문장을 사용한다. 아직 자료를 확인하지 못한 영역은 ?나 “미확인”으로 둔다. 빈칸을 0으로 처리하면 데이터 누락을 논리적 부재로 바꾸게 된다. 벤다이어그램은 가능한 영역을 유지하므로 비어 있음과 미확인을 구분하기 좋다.

원 크기는 수량이 아닐 수 있다

일반 벤다이어그램에서는 가능한 교집합을 보여 주는 것이 중심이므로 원 넓이가 집합 크기에 비례하지 않는다. A 참여자가 100명이고 B 참여자가 10명이어도 같은 크기의 원을 쓸 수 있다. 넓이를 숫자로 오해할 위험이 있으면 실제 수량을 영역에 적거나 별도 막대그래프를 함께 둔다.

면적 비례 벤 또는 오일러 도표는 별도의 계산과 배치가 필요하며, 여러 집합에서는 정확한 넓이와 모든 교집합을 동시에 만족하기 어렵다. “큰 원이 더 많다”는 말을 하려면 면적 비례 여부와 기준을 캡션에 밝힌다. 이 회차의 그림은 논리 영역을 보여 주며 넓이는 수량을 뜻하지 않는다.

세 집합은 여덟 영역을 모두 확인한다

독서 A, 토론 B, 글쓰기 C의 세 집합이면 소속 조합은 2³=8개다. 셋 모두, A와 B만, A와 C만, B와 C만, A만, B만, C만, 셋 다 아님을 구분한다. “A와 B의 교집합”이라고만 쓰면 C 참여자를 포함하는지 모호하므로 필요하면 A∩B∩Cᶜ처럼 적는다.

집합 수가 늘면 영역 수가 빠르게 증가한다. 네 집합은 16개, 다섯 집합은 32개다. 원을 계속 겹치면 읽기 어려워지므로 많은 집합의 정확한 교차 수를 비교할 때는 조합 행렬과 막대를 쓰는 UpSet 같은 대안을 검토한다. 벤은 작은 집합 수의 논리 가능성을 점검할 때 강하다.

서로 다른 사례에서 전체 범위를 먼저 고정한다

도서관 이용에서는 A=대출 이용자, B=전자책 이용자, U=해당 월 등록 회원으로 둘 수 있다. 문서 검색에서는 A=제목에 “인과”가 있는 문서, B=본문에 “편향”이 있는 문서다. LLM 평가에서는 A=정답 문항, B=출처를 정확히 제시한 문항처럼 출력 사례를 집합으로 나눌 수 있다.

사례마다 U가 달라지면 여집합의 뜻도 바뀐다. 전체 시민인지 등록 회원인지, 모든 문서인지 검색된 문서인지, 전체 평가 세트인지 검수한 표본인지 반드시 쓴다. 벤다이어그램이 범위를 보여 주는 도구인 만큼 바깥 사각형의 라벨이 원 이름만큼 중요하다.

LLM에는 원소 목록과 판정 규칙을 준다

LLM에게 명단과 제목만 주고 벤다이어그램을 요청하면 동명이인을 합치거나 “참여 의향”을 실제 참여로 처리할 수 있다. 원소 ID, 집합 가입 조건, 기준 기간, 결측 처리 규칙을 먼저 준다. 모델은 각 원소의 소속을 표로 계산한 뒤 영역 수와 합계가 맞는지 검사해야 한다.

그림보다 먼저 A, B의 원소 목록과 네 영역 목록을 출력하게 한다. 각 원소는 정확히 한 배타 영역에만 들어가야 하고 네 영역 수의 합은 U의 수와 같아야 한다. 준비된 예시와 실제 운영 명단을 구분하며 개인정보는 승인 없이 외부 모델에 넣지 않는다.

잘못된 그림은 빈 영역을 지워 버린다

준비된 오류 그림은 독서 참가자가 모두 토론에도 참여했다는 자료를 받고 두 원을 겹치되 A만 영역을 작게 남겼다. 원소가 없는 영역을 남긴 채 설명하지 않으면 존재 가능성과 실제 존재가 뒤섞인다. 벤 형식을 유지한다면 그 영역에 0 또는 음영을 표시해야 한다.

또 A∩B에 6명을 넣고 A 전체를 8명, B 전체를 5명이라고 적어 교집합이 B보다 큰 모순이 있었다. 영역 수에서 집합 합계를 다시 계산해 B 전체를 확인하고, 합집합 공식 |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|로 총원을 검산한다.

완료 기준은 모든 원소의 한 번 배치다

두 집합의 배타 영역 네 곳을 기준으로 모든 원소 ID가 정확히 한 번 나타나는지 확인한다. 같은 사람이 A만과 교집합에 동시에 있으면 중복이고, 어느 곳에도 없는데 U에는 있으면 누락이다. 집합 전체 수, 교집합 수, 합집합 수가 영역 합계와 맞는지 계산한다.

도표에는 U의 정의, 기준 날짜, 가입 규칙, 0·미확인 표기, 면적 비례 여부를 남긴다. 세 집합 이상에서 영역을 읽기 어렵다면 표나 UpSet으로 바꾼다. 벤다이어그램의 목적은 원을 겹치는 데 있지 않고 가능한 모든 소속 조합을 빠짐없이 검사하는 데 있다.

복사해서 쓸 수 있는 LLM 요청문

아래 요청문은 교육용 예시다. 원문을 함께 제공하고, 모델이 빈칸을 추측하지 않도록 금지 조건을 넣었다. 결과를 받으면 원문 문장과 노드·선의 대응을 사람이 다시 확인한다.

다음 명단을 벤다이어그램 작성용 배타 영역 표로 바꿔 줘.
1. 전체 집합 U, 기준 기간, 원소 ID를 먼저 확인한다. 동명이인은 ID가 다르면 합치지 않는다.
2. A와 B의 가입 조건을 원문 그대로 적용하고 의향·신청·실제 참여를 섞지 않는다.
3. A만, B만, A와 B 모두, 둘 다 아님의 네 영역에 각 ID를 정확히 한 번 배치한다.
4. 0인 영역과 자료 미확인 영역을 구분한다.
5. |A|, |B|, |A∩B|, |A∪B|와 U 합계를 계산해 모순을 보고한다.
6. 그림 면적은 수량 비례가 아니라면 그렇게 명시한다.
7. 세 집합 이상이면 모든 배타 영역을 식으로 쓰고 읽기 어려우면 표나 UpSet 대안을 제안한다.
8. 실제 개인정보는 출력하지 말고 제공된 가명 ID만 사용한다.

[전체 명단과 가입 규칙] …

직접 실습하고 결과를 읽기

이 실습은 브라우저 안에 준비한 교육용 자료만 사용한다. 외부 LLM을 호출하거나 실제 기관 자료를 조회하지 않는다. 입력을 바꾸어 결과가 어떻게 달라지는지 보고, 설명과 맞지 않는 결과가 나오면 어떤 정보가 빠졌는지 적어 본다.

자료와 출처

아래 자료는 이번 글의 정의와 표기법을 확인하는 데 사용했다. 생각그림과 사례 문장은 원자료를 복제하지 않고 이 글의 교육 목적에 맞게 새로 구성했다.

• John Venn, On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings, 1880
• Frank Ruskey·Mark Weston, A Survey of Venn Diagrams, 2005
• Alexander Lex et al., UpSet: Visualization of Intersecting Sets, IEEE TVCG, 2014