조지 불(George Boole)은 논리의 결합을 기호로 계산하는 데서 멈추지 않고 확률 문제까지 같은 방법으로 다루려 했습니다. 1854년 『사고의 법칙에 대한 탐구』 제17장에서 그는 두 사건이 함께 일어날 확률을, 첫 사건의 확률과 “그 사건이 일어났을 때 다른 사건도 일어날” 확률의 곱으로 설명했습니다. 이번 표에서는 그 두 번째 비율의 분모가 조건을 만족한 집단이라는 점을 직접 확인합니다.
01 · 불이 풀려던 문제
‘둘 다’인 사람 수를 어느 집단과 비교해야 할까요?
가상의 독서 프로그램에 100명이 있습니다. 불 논리의 부류를 빌려 토론 신청 x는 60명, 글쓰기 신청 y는 50명, 두 활동을 모두 신청한 사람은 30명이라고 합시다. 30명은 전체의 30%입니다. 그러나 “토론 신청자 가운데 글쓰기 신청자는?”이라고 물으면 기준은 60명이 되어 30/60=50%입니다. 반대로 “글쓰기 신청자 가운데 토론 신청자는?”의 답은 30/50=60%입니다.
교집합은 30명으로 같습니다. 질문이 전체, x, y 가운데 어느 집단을 기준으로 삼는지가 달라졌습니다. 불이 확률의 결합을 계산하려 한 문제에서도 이 기준은 핵심입니다. x와 y의 결합 xy를 셌다면, 그 수를 전체로 나누면 P(x∩y), x 집단으로 나누면 P(y|x), y 집단으로 나누면 P(x|y)가 됩니다.
불은 동시 발생 확률을 “첫 사건의 확률 × 첫 사건이 일어났을 때 둘째 사건의 확률”로 연결했습니다. 아래 표의 현대 기호 P(y|x)와 세로 막대는 후대의 표준 표현이지만, 조건 아래 기준 집단을 다시 잡는 계산은 불의 확률 논의에 분명히 나타납니다.
02 · 불의 제안과 현대 표기
조건을 세우면 분모가 줄어듭니다
P(y|x)는 “x가 확인된 경우에 y일 비율”입니다. 분자는 x∩y의 수이고 분모는 x의 수입니다. 따라서 P(y|x)=P(x∩y)/P(x)입니다. 이 계산에는 P(x)>0이라는 조건이 필요합니다. 사람 수로 쓰면 (둘 다인 사람)/(x인 사람)입니다. 같은 방식으로 P(x|y)의 분모는 y인 사람 수입니다.
앞 회차의 곱셈식도 이제 분모를 드러내어 읽을 수 있습니다. P(x∩y)=P(x)P(y|x)에서 0.60×(30/60)=0.30입니다. x 집단 안의 30/60을 사용해야 실제 교집합 30/100과 맞습니다. 독립일 때만 P(y|x)를 전체의 P(y)로 바꿀 수 있습니다.
03 · 불의 조건 계산을 표로 확인하기
같은 셀을 세 번, 다른 분모로 읽어 보세요
| 분할 | y=1 | y=0 | 행 합계 |
|---|
‘x 중 y’를 누르면 x=1 행이 기준 집단으로 표시되고, 둘 다인 셀이 분자로 강조됩니다. ‘y 중 x’에서는 y=1 열이 기준입니다. 겹치는 인원을 바꾸어도 분모 60과 50은 그대로지만 분자가 바뀌므로 두 조건부 비율이 함께 변합니다.
04 · 표에서 얻은 발견
세로 막대의 오른쪽은 이미 알고 있는 조건입니다
P(y|x)와 P(x|y)는 대개 다릅니다. 겹침이 30명일 때 앞의 값은 30/60=50%, 뒤의 값은 30/50=60%입니다. 분자는 같아도 분모가 다르기 때문입니다. 조건의 방향을 바꾸는 것은 단순히 글자 순서를 바꾸는 일이 아닙니다.
겹침을 최소 10명으로 내리면 P(y|x)=10/60≈16.7%, P(x|y)=10/50=20%입니다. 최대 50명에서는 y인 50명이 모두 x에도 속하므로 P(x|y)=100%이지만, x인 60명 가운데 y인 사람은 50명이어서 P(y|x)≈83.3%입니다. 한 방향이 100%여도 반대 방향은 100%가 아닐 수 있습니다.
“x 중 y”를 고르면 분모는 x의 수, 분자는 x와 y의 교집합입니다. 0은 확인된 비해당이고, 조사하지 않은 사람을 0에 넣지 않습니다.
05 · 오늘의 실제 적용
검색 결과와 명단 지표의 기준 집단을 함께 씁니다
도서관 검색에서 “청소년 자료 가운데 전자책”의 비율을 구한다면 분모는 청소년 자료 수입니다. 전체 소장 자료 수로 나누면 다른 질문의 답이 됩니다. 신청 명단에서도 “안내 메일을 연 사람 가운데 신청한 비율”과 “신청자 가운데 안내 메일을 연 비율”은 서로 다른 운영 지표입니다.
조건부 비율을 표시하면 개선 지점도 구체적으로 보입니다. 전체 신청률 하나만 볼 때보다, 안내를 받은 집단·연 집단·신청한 집단을 차례로 분모로 삼아 어느 단계에서 비율이 크게 낮아지는지 찾을 수 있습니다. 다만 관찰된 비율 차이는 관계를 보여 줄 뿐 원인을 확정하지 않습니다.
① 질문의 조건을 먼저 적습니다. ② 그 조건을 만족한 사람만 분모로 셉니다. ③ 원하는 결과와 조건이 함께 참인 사람을 분자로 셉니다. ④ 분자/분모와 원자료의 인원수를 함께 제시합니다. ⑤ 미확인은 0과 분리합니다.
06 · 바르게 쓰는 기준
조건부 비율, 확률 추정, 인과 설명을 구별합니다
이번 화면은 100명 전원을 정리한 가상 명단의 비율입니다. 표의 50%는 이 명단에서 계산한 조건부 비율이며, 다른 모집단의 확률을 자동으로 보장하지 않습니다. 표본에서 모집단 확률을 추정하려면 표본을 어떻게 뽑았는지와 불확실성을 함께 살펴야 합니다.
불의 원전은 현대의 세로 막대 표기를 쓰지 않습니다. 이 글은 원전의 조건 아래 확률 계산을 오늘의 P(y|x)로 옮겨 보여 줍니다. 원전의 설명, 후대의 기호, 오늘의 명단 적용을 한 사람의 직접 제안처럼 섞지 않습니다.
불의 문제: 사건의 결합과 확률 계산을 연결하기. 불의 제안: 한 사건이 일어난 조건 아래 다른 사건의 비율을 곱셈에 넣기. 오늘의 쓰임: 질문에 맞는 기준 집단을 분모로 정해 검색·명단 지표를 정확히 비교하기.
07 · 자료와 출처
불의 원전과 공식 확률 자료
- 조지 불, 『An Investigation of the Laws of Thought』(1854), 제17장, 원서 195~197쪽 — 동시 발생과 조건 아래 확률의 곱.
- Wikisource, 『Laws of Thought』 제17장 첫 쪽 — 확률을 유리한 경우와 가능한 경우의 비로 정의한 원문 전사.
- Project Gutenberg, 『An Investigation of the Laws of Thought』 서지 페이지 — 1854년 저술의 전자본 제작·공개 정보.
- NIST/SEMATECH e-Handbook, Probability — 결합·조건부 확률의 공식 정의.
- OpenStax, Probability Terminology — 사건, 교집합, 조건부 확률의 현대 표기.
- 조지 불 초상 판화 · Wikimedia Commons — 1865년 1월 21일 게재, 공개 영역.