앞 회차에서는 불 논리의 부류 계산으로 전체 100명, 조건 x 60명, 조건 y 50명일 때 겹침이 10~50명일 수 있음을 확인했습니다. 이번에는 그 범위 안에서 겹침을 움직이며 확률의 곱이 언제 맞는지 살펴봅니다. 조지 불(George Boole)은 1854년 확률론 장에서 두 사건의 동시 발생 확률을 조건부 확률과 연결하고, 두 사건이 독립일 때에는 각 확률의 곱으로 계산할 수 있다고 설명했습니다.
01 · 불이 풀려던 문제
논리의 곱 xy를 확률의 곱 pq로 언제 바꿀 수 있을까요?
불의 논리에서 xy는 x와 y에 함께 해당하는 부류입니다. 개인별 0·1 값에서는 xy가 곱셈으로 계산됩니다. 그러나 집단의 비율에서는 P(x∩y)가 언제나 P(x)P(y)와 같지 않습니다. 두 계산을 연결하려면 x가 일어났다는 정보가 y의 가능성을 바꾸지 않는다는 독립 조건이 필요합니다.
가상의 독서 프로그램에서 토론 신청 비율은 60%, 글쓰기 신청 비율은 50%입니다. 둘을 곱하면 30%입니다. 실제 두 활동의 동시 신청자가 30명일 때만 관찰된 교집합 비율 30/100과 곱 0.6×0.5가 일치합니다. 겹침이 20명이나 40명이라면 같은 주변 합계에서도 두 조건은 독립 기준과 다른 결합을 보입니다.
불은 제17장에서 동시 발생 확률을 P(x)×P(y|x)로 설명한 뒤, 독립이면 P(y|x)=P(y)가 되어 P(x∩y)=P(x)P(y)라고 정리했습니다. 아래 표는 이 구별을 사람 수로 확인하는 현대적 실험입니다.
02 · 불의 제안과 현대 표기
먼저 교집합을 보고, 독립이 확인될 때 곱을 사용합니다
조건부 곱셈은 P(x∩y)=P(x)P(y|x)입니다. x에 속한 60명 가운데 y에도 속한 사람이 c명이면 P(y|x)=c/60입니다. 따라서 0.6×(c/60)=c/100으로 실제 교집합 비율과 정확히 같습니다.
독립은 P(y|x)=P(y)인 특별한 경우입니다. 여기서는 c/60=0.5여야 하므로 c=30입니다. 그때 P(x∩y)=0.30이고 P(x)P(y)=0.60×0.50=0.30입니다. 현대 기호 P와 2×2 분할표는 후대의 표준 표현이며, 핵심 관계는 불의 확률론 장에 명시되어 있습니다.
03 · 불의 곱셈 조건을 직접 확인하기
겹침을 바꾸며 두 값이 같아지는 표를 찾으세요
| 분할 | y=1 | y=0 | 행 합계 |
|---|
‘독립 표 30’을 누르면 두 값 사이의 기호가 =로 바뀝니다. 20명에서는 x 안의 y 비율이 20/60≈33.3%로 전체 y 비율 50%보다 낮습니다. 40명에서는 40/60≈66.7%로 높습니다. 주변 합계가 같아도 내부 배치가 달라지면 독립 여부가 달라집니다.
04 · 표에서 얻은 발견
두 확률을 곱하기 전에 독립 조건을 확인합니다
P(x)=0.6과 P(y)=0.5만 보고 교집합을 0.3으로 정하면, 앞 회차에서 확인한 0.1~0.5의 가능 범위 가운데 한 값을 선택한 셈입니다. 그 선택이 맞으려면 독립이라는 관계가 자료나 설계로 뒷받침되어야 합니다.
독립과 서로 배타적이라는 말도 구별해야 합니다. 서로 배타적이면 교집합이 0입니다. 이 표에서는 x와 y의 확률이 모두 양수이므로 교집합 0은 독립식 0.6×0.5=0.3과 맞지 않습니다. 독립은 함께 일어날 수 있으면서 한 조건의 정보가 다른 조건의 비율을 바꾸지 않는 관계입니다.
“60%×50%=30%”라고 바로 계산하기보다 “실제 겹침은 c명이며, c=30일 때 P(x∩y)=0.30=P(x)P(y)가 되어 이 분할표에서 독립 조건과 일치한다”고 적습니다.
05 · 오늘의 실제 적용
명단 교차 분석과 품질 지표에서 독립 가정을 점검합니다
마케팅 명단에서 이메일 열람 60%와 행사 신청 50%를 곱해 30%의 교집합을 예상할 수 있습니다. 이는 두 행동이 독립이라는 모형의 예상값입니다. 실제 AND 집계가 40%라면 열람자 안에서 신청 비율이 더 높습니다. 이 차이는 관계를 탐색할 단서이며, 곧바로 인과관계를 뜻하지는 않습니다.
품질검사에서는 두 분류 기준의 각 행·열 비율을 곱해 독립일 때 기대되는 셀 비율을 구합니다. NIST의 분할표 안내도 독립이면 각 셀의 확률이 해당 행과 열 확률의 곱과 같다고 설명합니다. 실제 자료와 기대값의 차이를 정식으로 판단하려면 표본 크기와 검정 방법을 함께 살펴야 합니다.
① 같은 전체에서 P(x), P(y), P(x∩y)를 집계합니다. ② P(x)P(y)와 실제 교집합을 비교합니다. ③ 같으면 해당 표가 독립 조건과 일치한다고 설명합니다. ④ 차이가 있으면 조건부 비율 P(y|x)을 함께 제시합니다. ⑤ 관찰된 연관을 원인으로 해석하려면 별도의 연구 설계가 필요합니다.
06 · 바르게 쓰는 기준
논리곱, 조건부 곱셈, 독립 곱셈을 구별합니다
개인 행에서 xy는 두 0·1 값을 곱해 ‘둘 다 해당’을 표시합니다. P(x)>0일 때 P(x∩y)=P(x)P(y|x)가 성립하고, 독립일 때 P(y|x)=P(y)이므로 P(x∩y)=P(x)P(y)로 줄어듭니다. 중간 조건을 생략하면 곱셈을 적용할 범위를 넓혀 버립니다.
이번 표는 100명 전원을 관찰한 가상 명단의 비율입니다. 무작위 표본에서 모집단의 독립성을 추론하는 통계 검정까지 수행하지 않습니다. 화면의 = 표시는 현재 네 칸이 독립식과 정확히 일치한다는 산술 확인입니다.
불의 문제: 사건의 논리적 결합을 확률 계산과 연결하기. 불의 제안: 동시 발생을 조건부 곱으로 계산하고 독립일 때 각 확률의 곱을 쓰기. 오늘의 쓰임: 실제 교집합과 독립 모형의 기대값을 비교해 명단·분할표를 검토하기.
07 · 자료와 출처
불의 원전과 공식 확률 자료
- 조지 불, 『An Investigation of the Laws of Thought』(1854), 제17장 ‘General Method in Probabilities’, 원서 195~197쪽 — 조건부 곱셈과 독립 사건의 곱.
- Project Gutenberg, 『An Investigation of the Laws of Thought』 서지 페이지 — 원전 전자본의 제작·공개 정보.
- NIST CSRC, Statistically Independent Events — P(A and B)=P(A)P(B)인 독립 정의.
- NIST/SEMATECH e-Handbook, Comparing Classifications — 분할표에서 독립일 때 셀 확률과 행·열 확률의 곱.
- OpenStax, Independent and Mutually Exclusive Events — 독립·조건부 확률·서로 배타적 사건의 구별.
- 조지 불 초상 판화 · Wikimedia Commons — 1865년 1월 21일 게재, 공개 영역.