가능한 상황의 연결 방식이 달라지면, 같은 “반드시”도 뜻이 달라질까요?

세 상황의 집합을 W={w₀,w₁,w₂}라고 적겠습니다. w에서 v를 검토할 수 있다는 관계를 wRv, 또는 w→v로 표시합니다. 화살표는 시간이 흘러 실제 이동했다는 뜻으로 쓰지 않습니다. 지금 어떤 가능성을 포함해 판단하는지를 나타냅니다.

상황 집합 W와 관계 R을 함께 둔 것을 이 글에서는 틀(frame)이라고 부릅니다. 여기에 각 상황에서 p가 참인지 거짓인지 정한 값 배정을 더하면 하나의 모델이 됩니다. 같은 틀에서도 p의 값을 바꾸면 문장의 참·거짓이 달라질 수 있습니다.

원전은 지정된 상황 G, 상황들의 집합 K, 관계 R을 묶어 모델 구조라고 정의합니다. 이 글은 현대적으로 널리 쓰는 W 표기와 틀·모델의 구분을 사용하면서, 원전의 지정 상황 G는 계산을 시작하는 w₀에 대응시킵니다. 표기를 바꾼 부분을 원전 그대로의 용어처럼 제시하지 않겠습니다.

□p는 “검토할 수 있는 모든 상황에서 p”라고 읽습니다. 출발 상황 w에서 나가는 화살표의 끝을 모두 조사합니다. 그 끝마다 p가 참이면 w에서 □p가 참입니다. 하나라도 p가 거짓인 끝이 있으면 □p는 거짓입니다.

◇p는 “검토할 수 있는 어떤 상황에서 p”라고 읽습니다. 화살표의 끝 가운데 적어도 하나에서 p가 참이면 w에서 ◇p가 참입니다. 모든 끝에서 p가 거짓이면 ◇p도 거짓입니다. ◇는 ¬□¬로 정의할 수 있습니다.

예를 들어 w₀의 검토 범위가 {w₀,w₁}이고 두 곳의 p가 모두 참이면 □p와 ◇p가 함께 참입니다. 범위가 {w₁,w₂}이고 p가 각각 참·거짓이면 □p는 거짓이고 ◇p는 참입니다. 먼저 범위의 원소를 적고 그 값들을 읽으면 두 기호를 혼동하기 어렵습니다.

p는 w₀와 w₁에서 참이고 w₂에서 거짓이라고 고정하겠습니다. 먼저 w₀의 화살표가 w₀와 w₁로만 나가면 □p는 참입니다. 그다음 w₀→w₂를 추가하면 검토 범위에 거짓인 p가 들어오므로 □p가 거짓으로 바뀝니다.

이때 w₀ 자체에서 p가 참이라는 사실은 그대로입니다. 바뀐 것은 w₀가 어떤 상황을 함께 검토하는가입니다. 더 많은 상황을 확인할수록 “모두 참”이라는 조건은 충족하기 어려워질 수 있습니다.

반대로 화살표를 추가하면 “하나 이상 참”이라는 조건을 새로 만족할 수도 있습니다. 범위 안 p가 모두 거짓이던 상태에서 p가 참인 상황으로 향하는 화살표를 하나 추가하면 ◇p가 참이 됩니다. 범위와 값 배정을 나누어 기록한 이유가 여기서 드러납니다.

모든 상황 w에서 자기 자신으로 향하는 화살표 wRw가 있다고 합시다. 이런 관계를 반사적(reflexive)이라고 부릅니다. w에서 □p가 참이면 w가 검토하는 모든 곳에서 p가 참입니다. 자기 자신도 그 범위에 포함되므로 w의 p가 참입니다.

따라서 반사적 관계에서는 □p→p가 모든 상황과 모든 값 배정에서 성립합니다. 이 식은 흔히 T 공리라고 부릅니다. 여기서 보장의 근거는 오늘 실험의 몇 가지 p 값이 아니라, 검토 범위에 출발 상황 자신이 반드시 포함된다는 조건입니다.

이 대목은 원전을 읽을 때 특히 조심해야 합니다. 1963년 논문이 “normal”이라고 부르는 체계는 □A→A를 포함하고, §2의 관계 R도 처음부터 반사적입니다. 오늘날 K를 포함해 사용하는 더 넓은 “정규 양상논리”라는 말과 범위가 같다고 읽으면 원전의 가정을 빠뜨리게 됩니다.

w₀에서 w₁로만 화살표가 나가고, w₀의 p는 거짓, w₁의 p는 참이라고 합시다. w₀가 검토하는 유일한 곳 w₁에서는 p가 참이므로 w₀에서 □p는 참입니다. 그러나 w₀의 p 자체는 거짓입니다. 따라서 □p→p는 w₀에서 거짓입니다.

이 반례는 앞 문답의 증명에서 왜 w₀Rw₀가 필요했는지 보여 줍니다. 자기 자신을 검토 범위에 넣지 않으면 “검토한 모든 곳에서 참”을 현재의 사실로 옮기는 단계가 성립하지 않을 수 있습니다.

이처럼 자기 화살표를 없앨 수 있는 실험은 일반 관계를 허용하는 현대적인 학습 확장입니다. 원전이 정의한 반사적 모델 구조에는 이 반례가 들어가지 않습니다. 실험 결과에는 반사성 여부를 함께 표시해, 원전의 범위와 가정을 바꾼 비교를 구분합니다.

wRv이고 vRu이면 wRu도 성립하는 관계를 추이적(transitive)이라고 부릅니다. 두 번 연결해 닿는 곳을 출발점에서 한 번에 검토할 수 있다는 조건입니다.

w에서 □p가 참이라고 합시다. w가 검토하는 임의의 v를 고르고, 다시 v가 검토하는 임의의 u를 고릅니다. 추이성에 따라 wRu입니다. 그러므로 처음 가정 □p에 의해 u의 p가 참입니다. v의 모든 검토 상황에서 p이므로 v에서 □p가 참입니다.

이 설명은 w가 검토하는 모든 v에 적용됩니다. 따라서 w에서 □□p가 참입니다. 추이적 관계에서 □p→□□p가 보장되는 이유입니다. 원전은 반사적 관계에 추이성을 더해 S4 모델 구조를 정의합니다.

세 상황 모두 자기 자신으로 향하는 화살표를 갖게 합시다. 여기에 w₀→w₁과 w₁→w₂를 넣고 w₀→w₂는 넣지 않습니다. 이 관계는 반사적이지만 추이적이지 않습니다. 추이성을 어기는 증거는 바로 w₀,w₁,w₂라는 세 상황입니다.

p는 w₀와 w₁에서 참, w₂에서 거짓으로 정합니다. w₀가 직접 검토하는 곳은 w₀와 w₁이므로 w₀에서 □p가 참입니다. 그러나 w₁은 p가 거짓인 w₂도 검토하므로 w₁에서 □p는 거짓입니다.

w₀는 바로 그 w₁을 검토합니다. 따라서 w₀에서 □□p는 거짓입니다. □p→□□p가 실패하는 것을 두 단계에 걸쳐 확인했습니다. w₀→w₂를 더하면 추이성 위반을 고칠 수 있고, 같은 값 배정에서 첫 □p부터 거짓으로 바뀌어 이 반례는 사라집니다.

wRv이면 vRw도 성립하는 관계를 대칭적(symmetric)이라고 부릅니다. 출발점에서 검토할 수 있는 상황이 다시 출발점도 검토할 수 있다는 뜻입니다. 이 조건을 이용해 p→□◇p를 확인해 봅시다.

w에서 p가 참이라고 가정합니다. w가 검토하는 임의의 v를 고르면 대칭성에 따라 vRw입니다. v가 검토하는 곳 가운데 w가 있고, 그 w에서 p가 참입니다. 그러므로 v에서 ◇p가 참입니다.

w가 검토하는 모든 v에서 ◇p이므로 w에서 □◇p가 참입니다. 이 계산은 대칭 관계에서 p→□◇p가 보장됨을 보여 줍니다. 원전의 Brouwer 체계는 반사적인 기본 관계에 대칭성을 추가합니다. 철학적 이름만으로 어떤 방향의 화살표가 필요한지를 대신하지 않고, 실제 두 단계의 계산을 확인할 수 있습니다.

세 조건을 모두 갖춘 관계는 동치관계입니다. 이 관계는 상황들을 서로 연결된 묶음으로 나눕니다. 한 묶음 안에서는 각 상황이 그 묶음의 모든 상황을 검토할 수 있습니다. 서로 다른 묶음 사이에 화살표가 있어야 한다는 요구는 없습니다.

예를 들어 w₀와 w₁은 서로와 자기 자신을 검토하고, w₂는 자기 자신만 검토한다고 합시다. 이 관계는 세 조건을 모두 만족합니다. 그런데 w₀에서 w₂로 가는 화살표는 없습니다. 따라서 “S5라면 전체 집합의 모든 상황이 무조건 연결된다”는 표현은 범위를 빠뜨립니다.

원전도 지정된 상황에서 관련되는 연결 부분으로 모델을 줄이는 성질을 논의합니다. 지정 상황이 속한 S5 묶음만 보면 그 안에서는 모든 상황이 서로 접근 가능합니다. 전체 집합을 말하는지, 선택한 연결 부분을 말하는지 밝혀야 두 설명이 함께 정확해집니다.

한 모델에서는 p의 값 배정이 이미 정해져 있습니다. 그 값 배정과 한 상황에서 논리식이 참이라는 것은 하나의 계산 결과입니다. 틀에서 논리식이 유효하다고 말하려면 그 틀의 모든 값 배정과 모든 상황에서 참이어야 합니다.

세 상황에서 원자 문장 p 하나만 사용하면 값 배정은 2³=8개입니다. 세 번째 실험은 이 여덟 배정을 빠짐없이 조사합니다. 각 배정의 세 상황에서 T, 4, B 식을 계산하고, 거짓이 되는 배정과 상황이 있으면 하나를 보여 줍니다.

실험이 검사하는 식들은 p 하나로 된 T·4·B의 해당 형태입니다. 임의로 복잡한 논리식을 자동으로 증명하는 도구는 아닙니다. 또한 세 상황의 현재 틀에서 모든 배정을 확인한 결과와, 임의 크기의 모든 틀에 관한 일반 정리는 구별해야 합니다. 일반적인 관계 조건의 보장은 앞 문답에서 논증했습니다.

현재 틀의 한 상황에서 식이 거짓인 값 배정을 찾으면 그 틀에서 식이 유효하지 않다는 것을 확정할 수 있습니다. “모든 배정과 모든 상황에서 참”이라는 주장을 깨는 데에는 실패한 배정과 상황 한 쌍이면 충분하기 때문입니다.

예를 들어 자기 화살표가 없는 w₀를 골라 p(w₀)를 거짓으로 두고 w₀가 접근하는 모든 다른 상황의 p를 참으로 두면 T의 실패를 만들 수 있습니다. w₀가 검토하는 곳에서 모두 p이면서 w₀ 자체의 p는 거짓이 됩니다.

이 구성은 왜 반사성이 T의 틀 유효성과 맞물리는지를 거꾸로도 설명합니다. 실험에서 찾은 숫자·체크 표시만 보는 대신, 어느 관계의 빈틈을 어떤 값 배정이 드러냈는지 읽어 보세요. 반례는 조건을 수정할 구체적인 위치를 알려 줍니다.

일반 관계를 허용하면 어떤 상황 w에서 나가는 화살표가 없을 수 있습니다. “모든 검토 상황에서 p”라는 조건을 어기는 끝이 하나도 없으므로 □p는 참입니다. 반면 p인 끝을 하나 이상 찾아야 하는 ◇p는 거짓입니다.

이 계산은 p 자체가 w에서 참인지 거짓인지와 무관합니다. □p의 진리 조건이 w의 사실을 직접 읽는 대신 R로 연결된 끝들을 조사하기 때문입니다. 빈 집합에 대한 보편 조건과 존재 조건의 차이가 나타납니다.

원전의 반사적 모델에서는 각 상황이 최소한 자기 자신을 검토하므로 이런 빈 범위는 생기지 않습니다. 실험에서 자기 화살표를 모두 끌 수 있게 한 이유는 일반 관계와 반사적 관계의 차이를 직접 확인하기 위해서입니다. 화면은 이때 “원전의 반사적 범위 밖”이라는 설명을 함께 보여 줍니다.

w₀의 p가 참이고 w₀가 검토하는 w₁의 p는 거짓인 모델을 생각해 보겠습니다. w₀에서 p는 참이지만 □p는 거짓입니다. 그러므로 한 상황의 사실 p에서 곧바로 □p를 얻는 추론은 이 진리 조건에서 허용되지 않습니다.

양상논리에는 증명된 정리 A에서 □A를 얻는 필연화 규칙이 있습니다. 전제가 필요한 한 상황의 사실과, 해당 체계에서 전제 없이 성립하는 정리를 구별해야 합니다. 모든 허용된 모델과 상황에서 A가 참이라면 각 상황이 검토하는 곳에서도 A가 참이므로 □A의 보장을 설명할 수 있습니다.

이 구별을 놓치면 “내가 지금 확인했다”를 “모든 검토 상황에서 보장된다”로 넓히게 됩니다. 논리식 앞에 □를 붙일 때는 어떤 체계의 정리인지, 현재 모델의 한 사실인지, 별도 가정 아래의 결론인지 먼저 적어야 합니다.

첫 실험은 한 모델의 계산입니다. 화살표와 p 값을 직접 바꾸며 □p와 ◇p의 참·거짓을 확인했습니다. 둘째 실험은 관계 자체를 읽습니다. 반사성·대칭성·추이성을 검사하고, 조건이 깨지는 화살표나 상황 묶음을 찾습니다.

셋째 실험은 현재 세 상황 틀에서 p의 여덟 값 배정을 전부 검사합니다. T·4·B가 유효한지와 실패한다면 어떤 배정이 반례인지를 보여 줍니다. 원전은 더 나아가 관련 양상 체계의 증명 규칙과 의미론 사이의 연결을 다루며, 의미론적 타블로를 사용해 완전성 등을 논증합니다.

이 글의 유한 실험은 그 일반 증명을 대신하지 않습니다. 우리가 남길 기록은 사용한 관계 조건, 값 배정의 범위, 계산한 식, 반례 또는 증명의 이유입니다. “반드시”라는 한 단어를 읽는 일은 어떤 가능성을 포함했고 어떤 조건이 그 판단을 보장하는지 명시하는 일로 이어집니다.