추론이 성립하지 않는 사례를 어떻게 만드나요?

네. 누군가 몇 가지 사실을 근거로 결론을 내렸다고 해 봅시다. 그 근거들을 전제라고 부릅니다. 우리는 전제를 모두 인정했을 때 결론까지 받아들여야 하는지 살펴보겠습니다.

배지를 받은 다른 사람이 있을 수 있는지 생각해 보세요. 전제 1은 모자를 쓴 사람에게 배지가 있다는 조건입니다. 모자를 쓰지 않은 사람이 배지를 달았을 때에도 이 조건을 지킬 수 있습니다. 그 가능성을 작은 세계로 정확히 적어 보겠습니다.

거기에 조건이 하나 더 있습니다. 그 세계에서 전제가 모두 참이어야 합니다. 전제 자체가 어긋난 세계는 “그 전제들을 인정했을 때”의 문제를 보여 주지 못합니다. 전제 두 개 중 하나만 참인 경우도 부족합니다.

맞습니다. 그런 해석을 반모형이라고 합니다. “모형”은 여기서 어떤 식들을 참으로 만드는 해석을 뜻합니다. 반모형은 전제들을 참으로 만들고 결론을 거짓으로 만들어, 그 추론이 성립하지 않는다는 것을 보여 줍니다. 반례를 영역·이름·술어까지 정해서 제시한 셈입니다.

먼저 누가 있는지를 정하고, 이름 기호가 그중 누구를 가리키는지 적겠습니다. 그다음 각 사람이 모자와 배지를 갖는지 빠짐없이 적으면 됩니다. “모르겠다”는 칸을 남기면 아직 하나의 완성된 해석이 되지 않습니다.

이 후보의 영역은 이 두 명으로 완전히 정했습니다. 실제 모임 전체를 조사했다는 뜻은 아닙니다. 논리적 가능성을 시험하려고 만든 가상 해석입니다. 다른 후보를 만들 때에는 영역을 바꿀 수 있지만, 한 후보를 검사하는 동안에는 같은 영역과 같은 기호 뜻을 유지합니다.

∀x(P(x) → Q(x))는 두 사람 모두에 대해 조건문을 확인합니다. 아라는 P가 거짓이고 Q가 참입니다. “모자를 썼는데 배지는 없다”는 위반이 없으므로 조건문이 참입니다. 보라는 P와 Q가 모두 참이므로 그에게도 조건문이 참입니다.

두 사람 모두에서 조건문이 참이므로 전제 1 전체가 참입니다. 전제 2인 Q(a)도 아라에게 배지가 있으므로 참입니다. 마지막으로 결론 P(a)를 확인하면, 아라는 모자를 쓰지 않았으므로 거짓입니다.

그 세계가 두 전제를 모두 지키기 때문에 반모형으로 쓸 수 있습니다. 이제 이 추론이 타당하지 않다는 판단을 내릴 수 있습니다.

결론이 거짓이려면 무엇이 필요한지 먼저 묻는 방법이 좋습니다. 앞선 결론 P(a)를 거짓으로 만들려면 아라가 모자를 쓰지 않게 해야 합니다. 그리고 전제 Q(a)를 참으로 만들려면 배지는 달게 해야 합니다. 이렇게 필요한 조건을 하나씩 모을 수 있습니다.

이 표의 A와 B는 설명을 위해 문장 전체를 대신 적은 표시입니다. 어떤 술어인지와 관계없이 연결사의 참 조건을 쓰는 것입니다. 결론을 거짓으로 만든 다음에는 반드시 전제들로 돌아와 전부 참인지 확인해야 합니다.

각 ∃x가 자기 범위 안의 자리를 맡습니다. 첫 식은 모자를 쓴 증거 대상을, 둘째 식은 배지를 단 증거 대상을 찾습니다. 그 두 대상이 같다는 조건은 주어져 있지 않습니다. 그래서 두 성질을 나누어 주는 후보를 만들 수 있습니다.

전제 1의 증거는 아라, 전제 2의 증거는 보라입니다. 둘은 각각 참입니다. 하지만 아라와 보라 모두 P와 Q를 함께 갖지는 않으므로 결론은 거짓입니다. 두 전제를 모두 지킨 반모형이 완성되었습니다.

학생이 있다는 전제가 함께 주어졌는지 확인해야 합니다. 이번 절에서는 새 기호를 쓰겠습니다. S(x)는 학생이다, T(x)는 보고서를 제출했다입니다. 전체 영역은 모임에 있는 사람들입니다.

이 세계에서는 학생인데 제출하지 않은 사람이 없습니다. 따라서 전칭 조건문은 참입니다. 반면 학생이면서 제출한 사람도 없으므로 존재 결론은 거짓입니다. 전체 영역을 비우지 않고 반모형을 만들었습니다.

네. x가 아라일 때 y는 아라, x가 보라일 때 y는 보라로 고를 수 있으므로 전제는 참입니다. 결론은 모든 행에서 참인 열 하나가 필요합니다. 아라 열에는 보라 행의 거짓이 있고, 보라 열에는 아라 행의 거짓이 있습니다. 공통으로 쓸 열이 없어서 결론은 거짓입니다.

그런 약속은 없습니다. 8편에서 두 이름이 같은 대상을 가리킬 수 있다고 배웠지요. 지금부터는 이 절의 새 후보를 정하겠습니다. 앞선 두 사람의 이름 해석을 그대로 이어 쓰는 경우와 구별해 읽으세요.

P(a)와 P(b)는 둘 다 참입니다. 같은 모자 쓴 아라를 두 이름으로 가리키기 때문입니다. 영역에는 한 명뿐이므로 서로 다른 x와 y를 찾을 수 없습니다. 결론은 거짓이고, 이 세계가 반모형입니다.

먼저 실패 이유를 적어 보세요. 어떤 전제가 거짓이 되었는지, 결론이 참으로 바뀌었는지 확인하면 다음에 고칠 부분이 보입니다. 다만 추론이 타당해서 반모형을 만들 수 없는 경우도 있습니다. 실패가 계속된다는 이유만으로 어느 쪽인지 결정할 수는 없습니다.

이 추론에는 한 명의 세계로 반모형을 만들 수 없습니다. 한 명뿐이면 그 한 명에게 P가 있거나 없어서 ∃xP(x)와 ∀xP(x)의 값이 같아집니다. 두 명을 놓고 성질을 나누면 필요한 차이가 드러납니다.

그 백 개에서는 추론이 어긋나지 않았다고 말할 수 있습니다. 하지만 논리적 타당성은 그 밖의 모든 허용된 해석도 포함하는 요구입니다. 영역의 크기와 이름·술어·관계를 다르게 정한 세계가 남아 있습니다. 많이 확인했다는 수만으로 일반적인 타당성이 증명되지는 않습니다.

그러면 P(a)는 참이고 Q(a)는 거짓이 됩니다. 아라에게 P(a) → Q(a)가 거짓이므로, 전제 1인 전칭문도 거짓이 되어 버립니다. 두 전제를 모두 참으로 지키는 어떤 해석에서도 결론을 거짓으로 만들 수 없습니다. 이 설명은 아라 이외에 몇 명이 있는지, 다른 사람들이 어떤 성질을 갖는지에 의존하지 않습니다.

이처럼 모든 허용된 해석에 통하는 이유를 설명하면 타당성을 보일 수 있습니다. 다음 편부터는 그 이유를 증명의 규칙과 한 줄씩 적는 방식으로 정리해 보겠습니다.

같은 대상·같은 순간·같은 뜻으로 읽는 고전 이값 논리에서는 두 전제가 함께 참일 수 없습니다. 반모형은 모든 전제를 참으로 만들어야 하므로, 이 전제 묶음에는 어떤 결론을 붙여도 반모형이 없습니다.

지금 사용하는 타당성의 정의에 따르면 그렇습니다. 전제가 모두 참인데 결론이 거짓인 경우가 없기 때문입니다. 그렇다고 실제 아라에게 배지가 있다는 사실이 확보되지는 않습니다. 실제 결론을 받아들일 근거로 쓰려면, 추론의 타당성과 함께 전제들이 실제로 참인지도 확인해야 합니다.

그 두 역할을 같은 사람이 맡아도 되는지 확인해 보세요. 전제 어디에도 두 사람이 서로 달라야 한다는 조건은 없습니다.

반모형은 설명을 곁들여야 다른 사람도 확인할 수 있습니다. “그럴 수도 있잖아요”에서 한 걸음 더 나아가, 어떤 대상이 어떤 조건을 만족하는지 정확히 적는 연습입니다. 작은 세계 하나를 완성하면 추론에서 어느 정보가 빠졌는지도 드러납니다.

네. 12편에서는 모든 대상에 관한 사실을 그 안의 한 대상에 적용하는 전칭 제거부터 시작하겠습니다. 오늘 확인한 “모든 모자 쓴 사람에게 배지가 있다”는 조건을 아라에게 적용하는 단계가 어떻게 생겼는지 자세히 보겠습니다.