무한한 세계의 크기도 논리로 정할 수 있나요?

모형 M의 크기는 해석에 사용하는 전체 영역 D의 원소 수입니다. 유한 영역이라면 1개, 2개, 3개처럼 셉니다. 무한 영역에서는 자연수처럼 셀 수 있는 무한과 실수처럼 셀 수 없는 무한이 구별됩니다. 뢴벤하임–스콜렘 정리는 일차논리 이론의 모형 크기가 어떻게 달라질 수 있는지 설명합니다.

아닙니다. 일차논리에서 어떤 이론이 무한 모형 하나를 갖는다면, 언어의 크기에 맞는 조건 아래 여러 다른 무한 크기의 모형도 얻을 수 있습니다. 정리는 모형의 특정한 원소가 아니라 같은 문장들을 만족하는 구조들이 가질 수 있는 크기에 관한 것입니다.

상수·함수·술어 기호의 모음을 언어의 어휘로 생각할 수 있습니다. 이 기호들이 유한하거나 자연수 순서로 나열 가능하면 셀 수 있는 언어입니다. 각 문장은 유한한 길이이므로 그 언어의 모든 문장도 셀 수 있습니다. 기존 8~10편의 헨킨 구성은 이러한 경우에 자연수 단계의 열거를 사용했습니다.

더 일반적인 뢴벤하임–스콜렘 정리는 언어의 기수도 함께 고려합니다. 이 편에서는 먼저 셀 수 있는 언어의 결과를 이해하고, 그다음 언어가 클 때의 크기 제한을 별도로 언급하겠습니다.

셀 수 있는 일차논리 언어의 문장 집합 T가 무한 모형을 갖는다면 T는 셀 수 있는 무한 모형도 갖습니다. 이것이 하향 뢴벤하임–스콜렘 정리의 중요한 형태입니다. 단지 셀 수 있는 모형을 얻었다는 주장으로 끝내면 유한할 수도 있다는 의문이 들겠지만, 이론에 ‘적어도 n개’ 문장들을 모두 추가하면 무한성이 보존된다는 것을 확인할 수 있습니다.

원소를 아무렇게나 버리면 함수 결과가 영역 밖으로 나가거나 어떤 존재문의 증인이 사라질 수 있습니다. 그래서 식의 의미를 보존하도록 필요한 함수값과 존재 증인을 닫아 가는 조심스러운 하향 구성 또는 헨킨 항 모형을 사용합니다.

셀 수 있는 언어에 셀 수 있는 수의 헨킨 상수를 더하면 닫힌 항도 셀 수 있습니다. 항 모형의 영역은 닫힌 항의 동일성 동치류이므로 그 크기는 셀 수 있는 범위를 넘지 않습니다. 원래 이론에 무한성 조건이 있다면 그 모형의 영역은 유한할 수 없어 결국 셀 수 있는 무한 모형입니다.

그렇게 단정할 필요는 없습니다. 헨킨 항 모형은 만족 가능성을 보여 주는 새 구조일 수 있습니다. 원래 모형 안의 작은 부분구조를 만드는 보다 강한 하향 정리의 증명은 다른 구성법으로도 확인할 수 있습니다.

셀 수 있는 언어의 이론 T가 무한 모형 하나를 가지면 임의의 무한 기수 κ에 대해 크기가 κ인 모형도 얻습니다. 이를 상향 뢴벤하임–스콜렘 정리라고 부릅니다. 먼저 κ개의 새 상수 cᵢ를 도입하고 모든 서로 다른 i,j에 대해 cᵢ≠cⱼ를 더합니다. 원래 무한 모형이 있으므로 새 조건들의 모든 유한 부분을 만족시킬 수 있습니다.

콤팩트성으로 얻은 모형은 적어도 κ개의 대상을 가집니다. 크기를 정확히 κ로 낮추기 위해 확장된 언어의 크기 κ를 반영한 하향 정리를 적용합니다. ‘적어도’와 ‘정확히’를 바꾸는 단계를 따로 설명해야 증명이 완성됩니다.

그렇습니다. ∃x∃y∃z(x≠y∧x≠z∧y≠z∧∀w(w=x∨w=y∨w=z))는 정확히 세 대상이 있음을 나타냅니다. 앞부분은 적어도 셋, 마지막 보편 문장은 많아야 셋이라는 뜻입니다. 유한한 특정 n에 대해서는 같은 형태를 확장할 수 있습니다.

셀 수 있는 언어에서 어떤 일차논리 이론이 무한 모형을 하나라도 가지면 여러 다른 무한 기수 크기의 모형을 갖는다는 정리 때문입니다. 특정한 무한 크기 하나만 가능한 이론으로 일차논리 문장들을 구성할 수 없습니다.

셀 수 있는 언어의 어떤 이론이 셀 수 있는 무한 모형을 가지면 상향 정리로 더 큰 무한 기수의 모형도 가집니다. 따라서 그 이론의 모든 모형이 정확히 셀 수 있는 무한이어야 한다는 요구는 만족시킬 수 없습니다. 또 무한 모형이 있으면서 셀 수 있는 무한 모형이 전혀 없다는 요구도 하향 정리와 충돌합니다.

셀 수 있는 언어의 일차논리 이론에서는 그렇습니다. 셀 수 없는 모형이 있다면 하향 정리로 셀 수 있는 무한 모형을 확보할 수 있습니다. 여기서 언어의 크기 조건을 빼면 설명 범위가 달라집니다.

그렇습니다. 두 모형이 언어의 모든 닫힌 문장에 대해 같은 진리값을 주면 초등 동치라고 부릅니다. 무한한 구조와 적절히 구성한 다른 크기의 구조는 초등 동치일 수 있습니다. 그러나 원소의 수가 서로 다르면 구조 사이에 전단사 대응이 없으므로 동형인 모형일 수는 없습니다.

동형은 원소를 일대일 대응시키면서 함수와 관계의 해석을 정확히 보존하는 강한 관계입니다. 초등 동치는 주어진 일차논리 언어의 모든 문장을 똑같이 참으로 만드는 관계입니다. 구조가 동형이면 초등 동치지만 역은 일반적으로 성립하지 않습니다.

일차논리로 공리화한 집합론이 모형을 갖는다면, 적절한 조건에서 그 모형이 외부 관찰자의 관점에서 셀 수 있을 수도 있습니다. 모형 내부에서 ‘집합 X의 원소 전체를 나열하는 함수가 있다’는 주장과, 외부 수학자가 그 모형의 영역을 세는 일은 서로 다른 이야기입니다. 내부에 존재하는 함수만을 대상으로 수량을 판단하는 방식 때문에 역설처럼 보이는 현상을 설명할 수 있습니다.

아닙니다. ‘모형 내부에 있는 함수’와 ‘외부에서 정의할 수 있는 함수’를 구별하면 두 진술이 같은 내용을 부정하는 것이 아님을 확인할 수 있습니다. 다만 집합론이 실제 모형을 가진다는 결론은 그 이론의 만족 가능성이라는 별도 전제가 필요합니다.

언어의 기수가 λ인 경우, 무한 모형을 가진 이론이 충분히 큰 무한 기수 κ에 대해 크기 κ의 모형을 얻는 형태를 씁니다. 하향 정리에서는 원래 필요한 원소들과 기호 해석을 보존하며 크기를 대략 max(λ,ℵ₀) 이상으로 제어합니다. 셀 수 있는 언어에서의 ‘셀 수 있는 무한 모형’이라는 쉬운 결론을 모든 언어에 무조건 복사할 수는 없습니다.

맞습니다. 논리학의 깊은 정리일수록 언어의 크기, 무한 모형의 존재, 고려하는 모형의 종류를 분리해서 확인합니다. 그 조건들이 결론의 정확한 범위를 결정합니다.

자연수에 관한 일차논리 이론도 충분한 조건에서 비표준 모형을 가질 수 있습니다. 14편에서는 자연수의 표준 구조에서 참인 모든 일차논리 문장을 모았을 때조차, ‘모든 표준 숫자보다 큰 새로운 원소’를 포함하는 모형을 콤팩트성으로 구성합니다. 말은 이상해 보여도 정리가 요구하는 조건을 따라가면 모순이 생기지 않습니다.

표준 자연수 집합 자체에서는 그런 원소가 없습니다. 다른 모형에서 새로운 상수 c가 가리키는 대상으로 등장합니다. 원래 자연수의 구조와 이론의 다른 모형을 구별해야 합니다.