존재한다고 한 대상에게 이름을 어떻게 마련하나요?

전체 영역 안에 P를 만족하는 적어도 한 대상이 있다는 뜻입니다. 그런데 문장에 그 대상의 이름이 들어 있을 필요는 없습니다. 모형을 문장으로부터 만들려면 증인을 가리킬 이름을 마련하는 편이 유리합니다.

우리는 원래 언어에 없던 새 상수 c를 추가하여 ‘존재한다면 c가 하나의 증인이다’라는 조건을 붙입니다. 나중에 모형을 만들 때 그 이름이 실제 대상을 가리키게 할 것입니다.

어떤 존재문이 참인지 아직 결정되지 않았으므로 증거 조건을 ∃xP(x)→P(c)로 둡니다. 존재 전제가 거짓이면 이 조건은 참이고, 존재 전제가 참이면 P(c)가 참이어야 합니다. 이 형식은 원래 집합과의 충돌을 피하도록 만듭니다.

그때 함의문과 존재문으로 P(c)를 얻게 됩니다. 존재하지 않는 것까지 존재한다고 강요하지 않으면서, 존재를 요구할 때는 실제로 이름이 나오게 합니다.

기존 a가 이미 다른 조건에 묶여 있을 수 있기 때문입니다. 예를 들어 ∃xP(x)와 ¬P(a)는 두 대상 모형에서 만족 가능하지만, 새 이름 대신 a를 증인으로 강요하면 P(a)와 ¬P(a)가 충돌합니다.

증거 조건을 추가하는 그 순간 기존 언어·공리·다른 요구에 나타나지 않는 새로운 상수로 고릅니다. 그 다음부터 c를 다른 문장의 일부로 사용하는 것은 가능하며, 그 새로운 존재 요구도 빠짐없이 처리해야 합니다.

기존 언어의 무모순한 집합 Γ와 Γ·식 A에 나타나지 않는 새로운 c를 잡습니다. Γ∪{∃xA(x)→A(c)}가 모순이라고 가정하면, 고전 논리의 조건문과 부정 규칙에 의해 Γ에서 ∃xA(x)와 ¬A(c)를 도출할 수 있습니다. c가 Γ와 A에 전혀 등장하지 않으므로 증명에서 c를 임의 대상으로 취급하여 ∀x¬A(x)를 얻습니다. 그러면 Γ에서 존재문과 그 부정이 모두 도출되어 Γ가 모순이 됩니다.

그 일반화 단계가 허용되지 않을 수 있습니다. 신선성 조건은 바로 이 논증을 지켜 줍니다. 변수 포획을 피하는 대입과 속박변수 이름 정리도 전제로 합니다.

헨킨 상수는 논리적 의미에서 각기 다른 대상임을 보증하지 않습니다. 존재문 두 개의 증인이 우연히 같은 대상일 수도 있습니다. 모형에서 c와 d가 같은 대상을 가리킬 가능성을 열어 두어야 합니다.

언어 안에 c≠d와 같은 전제가 있어야 합니다. 이름들의 구별은 구문에 속하고, 지시 대상의 구별은 동일성 해석에 속합니다.

새 상수를 넣으면 그 상수를 포함한 새 존재문도 생깁니다. 예를 들어 증거 이름 c를 더하면 ∃yR(c,y)도 새롭게 쓸 수 있습니다. 따라서 확장된 언어에서 만들어지는 모든 존재문 요구를 언젠가는 처리하도록 순서를 세워야 합니다.

셀 수 있는 언어에서 상수·문장·공식을 공정한 순서로 열거하고, 단계마다 지금까지 등장한 이름을 고려하여 신선한 증거 이름을 넣습니다. 이미 등장한 형식이 뒤로 영원히 밀리지 않도록 대각선식 열거를 사용할 수 있습니다.

처음 언어가 유한하거나 셀 수 있고, 각 단계에 유한 또는 셀 수 있는 새 상수를 추가한다면 확장된 언어도 셀 수 있습니다. 8~10편의 구성에서는 이 경우를 기본으로 설명합니다. 더 큰 언어를 위한 일반형은 기수와 열거를 그에 맞게 확장해야 합니다.

항 모형의 영역이 빈집합이 되지 않도록 최소 한 개의 새로운 상수를 도입합니다. 이것은 반드시 어떤 특정 성질의 존재를 주장한다는 뜻이 아닙니다.

이 함의문만으로 존재문이 참이라고 증명할 수 없습니다. 증거 조건은 이미 성립하는 존재 요구에 대응할 대상을 준비합니다. 원래 Γ에 ¬∃xP(x)가 있다면 Γ와 증거 조건을 함께 만족하는 모형도 가능할 수 있습니다.

∃xP(x) 자체가 확장 집합에 들어 있고 조건문 제거를 할 때입니다. 두 전제를 모두 써야 합니다.

단계들이 포함 관계로 늘어나고 증명이 유한하므로 그렇습니다. 합집합에서 모순 증명이 있다면 그 증명이 사용한 유한 문장들이 어느 한 단계에 모두 포함됩니다. 그 단계도 모순이라는 결론이 되어 단계별 보존 가정과 충돌합니다.

각 새 조건의 무모순성 보존 논증과 빠짐없는 열거가 함께 있어야 합니다. 이 두 성질이 헨킨 확장의 핵심입니다.

아직은 문장들의 확장을 얻었을 뿐입니다. 이후 모든 문장 A에 대해 A 또는 ¬A 중 한쪽을 일관되게 결정하는 극대 일관 집합을 만듭니다. 그 다음 닫힌 항들을 대상으로 삼고 동일성으로 동치류를 나눌 것입니다.

진리 보조정리의 존재 양화사 단계에서 ‘∃xA가 집합에 속하면 어떤 이름 c에 대한 A(c)도 집합에 속한다’를 보장합니다. 존재문의 의미론과 문장 집합을 잇는 다리입니다.

새 이름이 없으면 기존 전제와 충돌할 수 있고, 함의문 대신 무조건 A(c)를 넣으면 존재를 강요할 수 있습니다. 열거가 누락되면 나중에 나온 존재문의 증인이 없을 수 있습니다. 세 조건을 함께 갖추어야 모형 구성으로 옮겨갈 수 있습니다.

그 뜻은 아닙니다. 구문에서 쓰이지 않았던 새로운 기호라는 뜻이고, 그 대상의 해석은 이후 모형 구성에서 정합니다.