두 전제가 참이라면 결론도 반드시 참일까요? 조지 불(George Boole)은 전제를 불 논리의 부류 방정식으로 옮기고, 공통 기호를 소거해 결론을 구하려 했습니다. 이번에는 같은 질문을 후대의 진리표 방식으로 바꾸어, 전제가 모두 1인 행만 남기고 결론이 0인 반례가 있는지 확인합니다.
01 · 불이 풀려던 문제
여러 부류 관계에서 결론이 정말 따라오는지 어떻게 알까요?
불은 삼단논법의 문장들을 방정식으로 나타낸 다음, 두 전제에 공통으로 나타나는 중간 부류를 없애 결론의 관계를 얻었습니다. 1848년 글의 예에서 “모든 Y는 X다”, “모든 Z는 Y다”를 각각 식으로 나타내고 Y를 소거해 “모든 Z는 X다”를 얻습니다.
오늘의 기호를 x, y, z로 두면 이 구조는 “x이면 y”, “y이면 z”에서 “x이면 z”가 따르는지 묻는 일과 닮았습니다. 다만 불의 원전은 부류 방정식과 소거를 사용했고, 아래의 여덟 행 진리표는 명제 변수가 가질 수 있는 값을 모두 나열하는 후대의 현대적 검토법입니다.
불은 추론을 기호 사이의 관계를 계산하는 문제로 바꾸었습니다. 표 실험은 그 문제의식을 이어받아 결론이 거짓인 한 행이 있는지 체계적으로 찾습니다.
02 · 불의 방법과 현대 검토
전제가 허용하는 경우만 남긴 뒤 결론을 봅니다
전제 1을 x→y, 전제 2를 y→z로 두겠습니다. 세 입력에는 2³=8개의 가능한 조합이 있습니다. 먼저 두 전제가 모두 1인 행만 남깁니다. 그 행들에서 결론 x→z가 모두 1이면, 이 두 값 모형에서는 반례가 없어 논증이 타당합니다.
결론을 역방향 z→x로 바꾸면 상황이 달라집니다. 전제는 모두 참인데 z가 1이고 x가 0인 행이 남아 결론의 반례가 됩니다. 타당성은 전제가 참인 모든 가능한 경우에 결론도 참인지로 판단합니다.
전제 가운데 하나라도 0인 행은 이 논증의 반례가 아닙니다. 결론이 0이더라도 전제가 약속한 상황에 들어오지 않기 때문입니다. 반대로 결론이 1인 실제 사례가 많아도 타당성이 곧 증명되지는 않습니다. 전제를 모두 만족하는 가능한 행 전체에서 결론이 빠짐없이 1인지 확인해야 합니다.
03 · 불의 문제를 표로
결론을 바꾸어 반례 행을 직접 찾아보세요
| 입력 | x | y | z | 전제1 | 전제2 | 결론 | 검토 |
|---|
처음 상태에서는 전제를 모두 만족하는 4행 가운데 결론이 0인 행이 없습니다. 결론을 ‘z이면 x’로 바꾸고 ‘반례만’을 누르면 001과 011이 남습니다. 결과가 빈 표이면 현재 논증에 반례가 없다는 뜻이고, 행이 하나라도 나오면 그 행만으로 타당하지 않음을 설명할 수 있습니다.
04 · 표에서 얻은 발견
타당한 추론에서는 전제가 모두 참이면 결론도 참입니다
x→y와 y→z가 모두 참인 행에서는 x=1이면 y도 1이고, 이어 z도 1이어야 합니다. 그래서 x→z를 거짓으로 만드는 100행은 애초에 전제를 통과하지 못합니다. 이것이 표에서 읽는 연결 추론입니다.
반대로 z→x는 전제가 보장하지 않습니다. 전제들은 x에서 y, y에서 z로 가는 방향만 말합니다. 001행은 x와 y가 0이고 z가 1이므로 두 전제가 참이지만 역방향 결론은 거짓입니다. 반례 한 개만으로도 논증이 타당하지 않음을 확인할 수 있습니다.
세 입력의 가능한 조합이 8개라는 뜻입니다. 각 행이 같은 확률로 나타난다는 뜻도 아닙니다. 실제 빈도와 확률을 말하려면 자료의 분포와 표본 조건을 따로 확인해야 합니다.
05 · 오늘의 실제 적용
규칙을 바꾼 뒤에도 반례가 생기는지 검사합니다
가상의 접근 정책에서 x를 ‘민감 문서 열람’, y를 ‘보안교육 이수’, z를 ‘활성 계정’이라고 하겠습니다. 정책이 “열람 가능이면 교육 이수”, “교육 이수이면 활성 계정”이라면 “열람 가능이면 활성 계정”은 따라옵니다. 표의 여덟 조합을 테스트 사례로 만들면 규칙을 수정한 뒤에도 전제 참·결론 거짓인 행이 생겼는지 자동으로 확인할 수 있습니다.
① 각 행에서 전제 조건을 계산합니다. ② 모든 전제가 1인 행만 필터링합니다. ③ 그중 결론이 0인 행을 찾습니다. ④ 결과가 있으면 입력값과 함께 반례로 기록하고, 없으면 확인한 조합 범위에서 통과했다고 보고합니다.
스프레드시트의 고급 필터도 같은 점검에 쓸 수 있습니다. 여러 열의 조건을 한 행에 놓으면 AND로 필터링할 수 있으므로 ‘전제1=1, 전제2=1, 결론=0’인 기록만 뽑을 수 있습니다. 조건 열을 바꾸면 반례 목록과 개수도 함께 갱신해야 합니다.
06 · 바르게 쓰는 기준
반례가 없다는 말의 범위를 밝힙니다
완전한 진리표에서 세 입력의 여덟 조합을 모두 확인했다면, 이 고전적 두 값 모형에서 반례가 없다고 말할 수 있습니다. 그러나 실제 명단 몇 건만 검색해 반례를 찾지 못했다면 그것은 자료 범위 안의 결과입니다. 가능한 모든 경우를 검사한 것과 관찰 자료에서 못 찾은 것을 구별해야 합니다.
0은 확인된 거짓 또는 비해당입니다. 미확인을 0으로 넣으면 존재하지 않던 반례를 만들거나 실제 반례를 숨길 수 있습니다. 미확인 값이 있다면 가능한 0·1 완성을 따로 검사하거나, 자료를 보완한 뒤 결론을 내립니다.
전제나 결론의 방향을 바꾼 뒤에는 이전 결과 문구도 함께 바뀌어야 합니다. 표에는 새 결론의 값이 보이는데 요약에는 옛 반례 수가 남아 있다면 검토가 실패한 것입니다. 이번 실험은 결론·표·반례 목록·행 수를 한 상태로 갱신합니다.
불의 문제: 전제의 부류 관계에서 결론이 따르는지 계산하기. 불의 제안: 방정식으로 옮기고 공통 기호를 소거하기. 오늘의 쓰임: 전제 참·결론 거짓인 반례 행을 테스트와 정책 감사에서 찾기.
07 · 자료와 출처
불의 원전과 현대 타당성 자료
- 조지 불, 「The Calculus of Logic」(1848), ‘On Syllogism’ — 두 전제의 공통 기호를 소거해 결론을 얻는 예.
- 조지 불, 『An Investigation of the Laws of Thought』(1854), 제7장 — 논리 방정식의 소거.
- 같은 책, 제15장 — 삼단논법과 추론의 분석.
- Open Logic Project, forall x: Calgary, 제12장 — 완전한 진리표와 타당성 검토.
- Open Logic Project, forall x: Calgary, 제2장 — 전제가 모두 참이고 결론이 거짓인 경우를 반례로 설명.
- Microsoft Support · Filter by using advanced criteria — 여러 조건이 모두 참인 행을 필터링하는 공식 자료.
- 조지 불 초상 판화 · Wikimedia Commons — 1865년 1월 21일 게재, 공개 영역.