불의 기호로 ‘모든’과 ‘어떤’을 읽기

01 · 불이 풀려던 문제

‘모든’과 ‘어떤’을 같은 계산법에서 어떻게 다룰까요?

불은 1848년 논문에서 ‘모든 Y는 X다’, ‘어떤 Y는 X다’ 같은 정언명제를 부류 사이의 관계로 다뤘습니다. 논리의 일을 부류의 관계와 그 관계를 생각하는 방식에 두고, 이를 수학적으로 표현하려 했습니다.

오늘의 표로 바꾸면 핵심 질문은 두 가지입니다. “모든 x는 y다”를 깨뜨리는 x이면서 y가 아닌 대상이 있는가? “어떤 x는 y다”를 뒷받침하는 x이면서 y인 대상이 있는가? 하나는 반례 칸이 0인지 보고, 다른 하나는 증인 칸이 0보다 큰지 봅니다.

02 · 불의 방법과 기호

보편은 금지된 부류가 비었음을 말합니다

x를 교육 대상, y를 교육 이수라고 하겠습니다. “모든 x는 y다”는 교육 대상 가운데 미이수자가 없다는 뜻이므로 x(1−y)=0으로 확인할 수 있습니다. 불은 1848년 논문에서 ‘모든 Y는 X다’를 y=vx로, 그에 딸린 관계를 y(1−x)=0으로 다뤘습니다.

“어떤 x는 y다”는 교집합 xy에 적어도 한 대상이 있어야 합니다. 불은 특칭명제를 적을 때 임의의 부류를 나타내는 보조 선택 기호 v, v′를 사용했습니다. 원전의 v를 오늘날의 존재기호 ∃와 같은 기호로 바꾸어 읽지는 않습니다. 아래의 xy>0 검사는 유한 명단에서 실제 행을 세는 현대적 표현입니다.

03 · 불의 제안을 표로

네 부류의 인원수를 바꾸며 문장을 판정해 보세요

‘모두 0’에서는 x가 비어 있으므로 반례가 없어 보편 조건은 성립하지만, xy의 증인이 없어 특칭 조건은 성립하지 않습니다. 이 차이가 이번 회차의 핵심입니다.

04 · 표에서 얻은 발견

반례 0명과 증인 1명 이상은 서로 다른 검사입니다

“모든 x는 y”는 x(1−y) 칸 하나를 봅니다. 그 값이 0이면 현재 집계에는 문장을 깨뜨리는 대상이 없습니다. xy가 0인지 10인지와는 관계가 없습니다. 반면 “어떤 x는 y”는 xy가 1명 이상인지 봅니다. 다른 세 칸의 크기는 존재를 대신 증명하지 못합니다.

현대의 표준 1차 논리에서는 x가 하나도 없을 때도 “모든 x는 y”가 참으로 평가되는 공허한 참이 가능합니다. 그러나 자연어 업무 문장에서 ‘모든 교육 대상이 이수했다’는 보고는 교육 대상이 실제로 있다는 뜻으로 받아들여질 수 있습니다. 그래서 실무 표에는 보편 조건과 x>0을 따로 표시하는 편이 안전합니다.

05 · 오늘의 실제 적용

명단 감사에서 반례와 증인을 따로 셉니다

교육 대상 여부가 B열, 이수 여부가 C열에 0·1로 기록된 명단을 생각해 보겠습니다. “모든 대상자가 이수했는가?”는 B=1, C=0인 행의 수가 0인지 확인합니다. “이수한 대상자가 적어도 한 명 있는가?”는 B=1, C=1인 행의 수가 0보다 큰지 확인합니다.

검색에서도 같습니다. “모든 공개 문서에 검토 기록이 있다”는 주장은 공개이면서 검토 기록이 없는 문서를 찾는 반례 검색으로 점검합니다. “검토된 공개 문서가 있다”는 주장은 두 조건을 함께 만족하는 행을 한 건 이상 보여 주어야 합니다.

06 · 바르게 쓰는 기준

빈 부류, 미확인, 인원수를 섞지 않습니다

네 칸의 0은 확인 결과 그 부류에 사람이 없다는 뜻입니다. 아직 확인하지 않은 사람을 어느 칸에도 억지로 넣지 않습니다. 미확인은 별도 상태로 보존하고, 확인된 대상만으로 내린 결론의 범위를 밝혀야 합니다.

한 사람의 x·y 값과 각 부류의 인원수도 구별합니다. 개인 표에서 xy=1은 한 개인이 두 조건에 해당한다는 값이지만, 이번 집계 표에서 xy=3은 그 부류에 3명이 있다는 뜻입니다. 보편문장이 성립한다고 해서 xy의 비율이 높다는 뜻도 아닙니다. 비율이나 확률을 말하려면 분모와 표본 방법을 별도로 정해야 합니다.