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참으로 판정할 수 있습니다.논리학 배우기 · 기초
명제논리
문장을 참과 거짓의 구조로 읽는 법
짧은 문장을 p와 q로 바꾸고, 부정·그리고·또는·조건문으로 연결해 봅니다. 그다음 진리표를 이용해 여러 경우를 한꺼번에 확인하고, 서로 같은 뜻을 가진 식까지 찾아봅니다.
1명제2기호화3부정4그리고·또는5조건문6진리표7괄호8동치
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명제논리의 기본 도구를 한 번씩 사용할 수 있습니다
- 명제와 명제가 아닌 표현 구별하기
- 문장을 p와 q 같은 기호로 바꾸기
- ¬, ∧, ∨, →의 의미 읽기
- 진리표로 복합명제의 참·거짓 계산하기
- 괄호와 동치식을 이용해 같은 구조 찾기
01명제
참인지 거짓인지 판단할 수 있는 문장
명제는 참과 거짓을 따질 수 있는 문장입니다
명제논리에서는 문장의 주제보다 그 문장이 참인지 거짓인지에 주목합니다. 현재 우리가 답을 알고 있는지는 중요하지 않습니다. 일정한 상황에서 참 또는 거짓으로 판정될 수 있으면 명제로 다룰 수 있습니다.
7은 짝수다.
거짓으로 판정할 수 있습니다.오늘 몇 시에 만날까?
참·거짓을 판정하는 문장이 아닙니다.문을 닫아 주세요.
행동을 요청하는 표현입니다.눌러서 확인하기 · “내일 비가 온다”도 명제일까요?
네. 내일의 날씨를 지금 확실히 알지 못하더라도, 정해진 지역과 시점을 기준으로 나중에 참 또는 거짓으로 판정할 수 있으므로 명제로 다룰 수 있습니다.
02기호화
문장의 내용을 잠시 접어 두기
명제를 p와 q로 바꾸면 구조가 선명해집니다
한 문장이 길어도 하나의 명제로 다룰 때는 간단한 기호를 붙일 수 있습니다. 이렇게 하면 내용에 흔들리지 않고 문장들이 어떻게 연결되는지 볼 수 있습니다.
p
오늘 비가 온다.
q
운동회가 실내에서 열린다.
¬부정~이 아니다
∧그리고둘 다
∨또는적어도 하나
→조건문이면
p와 q는 문장을 대신하는 이름입니다. 기호 자체에는 특별한 뜻을 넣지 않습니다.
03부정
참과 거짓을 뒤집는 연결사
¬p는 p의 부정입니다
p가 참이면 ¬p는 거짓이고, p가 거짓이면 ¬p는 참입니다.
p
오늘 비가 온다.
¬p오늘 비가 오지 않는다.
p¬pTFFT
눌러서 확인하기 · “모든 학생이 참석했다”의 부정은 무엇일까요?
이 문장은 양화사를 포함하므로 뒤에서 배우는 술어논리와도 연결됩니다. 뜻으로는 “참석하지 않은 학생이 적어도 한 명 있다”가 정확한 부정입니다.
04그리고·또는
두 명제를 하나로 연결하기
∧는 둘 다, ∨는 적어도 하나를 뜻합니다
그리고
p와 q가 둘 다 참일 때 참입니다.
“민지는 참석하고 준호도 참석한다.”또는
p와 q 가운데 적어도 하나가 참이면 참입니다.
“민지 또는 준호가 참석한다.” 둘 다 참석하는 경우도 포함합니다.명제논리의 ∨는 보통 ‘포괄적 또는’를 뜻합니다. 일상에서 “둘 중 한 명만”이라고 말할 때는 별도의 조건이 더 필요합니다.
눌러서 확인하기 · p와 q가 둘 다 참이면 p ∨ q는 참일까요?
참입니다. ∨는 하나만 참인 경우와 둘 다 참인 경우를 모두 포함합니다.
05조건문
“이면”의 구조
p → q는 p가 성립할 때 q가 따라야 한다는 뜻입니다
p
이 도형은 정사각형이다.
→q이 도형은 사각형이다.
이 조건문에서 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건입니다. 정사각형이면 사각형이라는 관계가 주어졌다고 해서 모든 사각형이 정사각형이 되는 것은 아닙니다.
고전 명제논리의 계산 규칙
p → q는 p가 참이고 q가 거짓인 경우에만 거짓입니다. 나머지 세 경우에는 참으로 계산합니다.
눌러서 확인하기 · q → p도 같은 뜻일까요?
같은 뜻이 아닙니다. p → q의 방향을 뒤집은 q → p를 역이라고 합니다. 원래 조건문이 참이어도 역은 거짓일 수 있습니다.
06진리표
가능한 경우를 빠짐없이 검사하기
진리표는 p와 q의 모든 조합을 한 표에 놓습니다
명제가 두 개라면 참·거짓 조합은 네 가지입니다. 각 연결사가 어느 경우에 참인지 한 번에 비교할 수 있습니다.
| p | q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p → q |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | F | F | T |
조건문 열에서 거짓은 한 줄뿐입니다. “p라고 했는데 q가 성립하지 않은 경우”입니다.
07괄호·범위
어디까지 묶여 있는지 읽기
괄호가 바뀌면 부정이 적용되는 범위도 달라집니다
p의 부정과 q를 ‘또는’으로 연결합니다.
p ∨ q 전체를 부정합니다.
두 식은 모양이 비슷하지만 진리값이 달라질 수 있습니다. 긴 식을 읽을 때는 괄호와 부정 기호가 어느 부분까지 적용되는지 먼저 확인하면 실수가 크게 줄어듭니다.
눌러서 확인하기 · ¬(p ∨ q)가 참이려면?
p ∨ q가 거짓이어야 합니다. 따라서 p와 q가 둘 다 거짓이어야 합니다.
08동치
표현이 달라도 같은 진리값
모든 경우에서 값이 같으면 두 식은 논리적으로 동치입니다
두 식의 진리표를 비교했을 때 모든 행의 값이 같다면 논리적 동치라고 합니다. 동치식은 복잡한 표현을 더 읽기 쉬운 형태로 바꾸는 데 쓰입니다.
¬(p ∧ q)≡¬p ∨ ¬q드모르간 법칙
¬(p ∨ q)≡¬p ∧ ¬q드모르간 법칙
p → q≡¬p ∨ q조건문의 동치 표현
“민지와 준호가 둘 다 참석한다”의 부정
→ “민지가 참석하지 않거나 준호가 참석하지 않는다.”
눌러서 확인하기 · 동치인지 가장 확실하게 확인하는 방법은?
두 식의 진리표를 만들고 모든 행의 진리값을 비교합니다. 한 행이라도 값이 다르면 논리적으로 동치가 아닙니다.
3문제로 마무리
명제논리 핵심 확인
1. p와 q가 모두 참일 때 p ∨ q의 값은?
참(T)입니다. ∨는 둘 중 적어도 하나가 참이면 참입니다.
2. p → q가 거짓이 되는 한 가지 경우는?
p가 참이고 q가 거짓일 때입니다.
3. ¬(p ∨ q)와 동치인 식은?
¬p ∧ ¬q입니다.
사용 설명서에서 더 깊이
명제논리 관련 수업으로 이어가기
명제논리 완료
이제 문장을 진리값의 구조로 읽을 수 있습니다
명제를 기호로 바꾸고, 기본 연결사로 묶고, 진리표와 동치식을 이용해 구조를 검사하는 흐름을 한 번 완주했습니다.