집합과 범주

하나의 대상과 대상들의 모임

사람 한 명은 원소이고, 같은 기준으로 묶은 사람들은 집합입니다

집합은 일정한 기준에 따라 대상을 모은 것입니다. 한 대상이 어느 집합에 속한다는 것과, 한 집합 전체가 다른 집합 안에 들어간다는 것은 서로 다른 관계입니다.

“모든 A는 B”를 그림으로 바꾸기

A의 모든 원소가 B에도 속하면 A ⊆ B입니다

두 집합이 만나는 방식

겹치는 부분은 교집합, 함께 속할 수 없으면 서로 배제됩니다

원의 크기나 면적은 인원수를 뜻하지 않습니다. 이 그림에서는 오직 소속 관계만 읽습니다.

‘모든’과 ‘어떤’을 집합 관계로 읽기

네 가지 기본 문장은 빈 영역과 존재 영역을 다르게 말합니다

그림은 같은 목적을 다른 방식으로 보여 줍니다

오일러 그림은 관계를 배치로, 벤 그림은 가능한 영역 전체를 표시합니다

포함 관계를 거꾸로 읽지 않기

A ⊆ B라고 해서 B ⊆ A가 되는 것은 아닙니다

B에는 A가 아닌 원소가 있을 수 있습니다. 따라서 포함 관계에서는 방향을 반드시 확인해야 합니다. 반면 “어떤 A는 B다”처럼 단순한 겹침을 말하는 문장은 “어떤 B는 A다”로 바꾸어도 같은 존재를 가리킬 수 있습니다.

세 범주를 이어 보기

포함의 방향이 이어지면 결론도 이어집니다

가운데 범주 B가 두 전제를 연결합니다. 하지만 A와 C가 각각 B 안에 있다는 사실만으로 A와 C 사이의 포함 방향이 정해지는 것은 아닙니다.

다른 그림에서도 결론이 유지되는가?

전제를 지키면서 결론을 깨뜨리는 그림이 있으면 추론은 보장되지 않습니다

B와 C가 겹치는 부분을 A 바깥에 둘 수 있습니다. 그러면 두 전제는 모두 참이면서 후보 결론은 성립하지 않습니다. 이 한 그림이 반례가 됩니다.