집합으로 추론하기 · 16강

다른 그림에서도
그 결론이 맞을까?

전제는 그대로 두고,
결론만 깨뜨리는 반례를 직접 만듭니다.

반례 직접 만들기255가지 전체 검사13~16강 마무리
전제 1참
전제 2참
결론거짓
이 조합이 만들어지면 반례입니다.

집합으로 추론하기전체 목차
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이번에 배울 내용전제를 모두 유지하면서 결론을 거짓으로 만드는 경우를 찾아, 추론의 유효 여부를 판단합니다.

시작하기 전에 확인하세요

15강에서는 결론 후보를 골라 반례가 있는지 확인했습니다. 이번에는 순서를 바꿉니다. 소속 유형을 직접 켜고 끄며 “전제는 참, 결론은 거짓”인 그림을 만드세요.

A·B·C는 같은 대상 범위의 세 범주이고, 한 소속 유형이 켜져 있다는 것은 그 유형에 적어도 한 대상이 있다는 뜻입니다. 정확한 인원수는 세지 않습니다. 빈 도메인은 사용하지 않으며, 실제 명단이나 확률을 추정하지 않습니다.

01 · 무엇이 반례일까요?

전제가 거짓이면 반례가 아닙니다.

반례는 단순히 결론이 거짓인 그림이 아닙니다. 전제를 모두 참으로 유지한 상태에서 결론만 거짓이어야 합니다.

논증의 반례가 되려면 어떤 그림이어야 할까요?

02 · 소속 유형으로 세계 만들기

사람이 있을 유형을 직접 골라보세요.

네 가지 추론을 바꾸어 가며 반례를 시도합니다. 유효한 추론에서는 직접 여러 그림을 만들어도 반례가 나오지 않으며, 전체 검사에서 그 이유를 확인할 수 있습니다.

A → B → C의 방향이 이어집니다. 전제를 지키면서 “모든 A는 C”를 깨뜨릴 수 있는지 시도합니다.

전제 1모든 A는 B이다.∀x(A(x) → B(x))
전제 2모든 B는 C이다.∀x(B(x) → C(x))
∴
결론모든 A는 C이다.∀x(A(x) → C(x))

이 추론에는 반례가 없습니다. 직접 여러 유형을 바꿔 본 뒤 전체 검사를 통해 확인합니다.

소속 유형을 켜고 끄세요.

켜진 카드 하나는 그 소속 유형에 적어도 한 사람이 있다는 뜻입니다. 꺼진 유형은 비어 있다고 둡니다. 반례가 되려면 카드가 적어도 하나는 켜져 있어야 합니다.

전제 1참

전제 2참

결론참

아직 반례 아님

왜 255가지만 보면 되나요?

A·B·C에 대한 한 사람의 소속 유형은 여덟 가지입니다. 각 유형에 사람이 있는지 없는지만 구분하면 가능한 존재 조합은 2⁸개이고, 이 수업에서는 대상이 하나 이상 있는 경우만 사용하므로 255가지가 남습니다.

범주 문장의 참·거짓은 같은 소속 유형에 정확히 몇 명이 있는지보다 그 유형이 비었는지 아닌지에 달려 있습니다. 그래서 이 대표 조합 전체를 검사하면 현재 강의에서 다루는 반례 유무를 빠짐없이 확인할 수 있습니다.

03 · 한 그림이 맞는 것과 반드시 맞는 것

같은 전제를 만족하는 다른 그림도 보세요.

전제 1모든 A는 B이다.∀x(A(x) → B(x))
전제 2모든 C는 B이다.∀x(C(x) → B(x))
비교할 결론모든 A는 C이다.∀x(A(x) → C(x))
그림 A · 전제 참, 결론 참
ABC
A·B·C적어도 한 사람 있음

이 그림은 결론과 잘 맞지만, 이것 하나만으로 결론이 반드시 따라온다고 증명하지는 못합니다.

그림 B · 전제 참, 결론 거짓
ABC
A·B적어도 한 사람 있음
ABC
B·C적어도 한 사람 있음

두 전제는 그대로 참인데 결론만 거짓입니다. 이 한 그림으로 “모든 A는 C”가 반드시 따라온다는 주장을 반박할 수 있습니다.

두 그림 모두 A와 C가 B 안에 있다는 전제를 만족합니다. A와 C의 서로의 위치가 달라질 수 있기 때문에 추가 정보가 필요합니다.

1

전제는 건드리지 않습니다.

전제 가운데 하나를 거짓으로 만든 그림은 논증의 반례가 아닙니다. “전제가 모두 참이어도” 결론이 실패하는지를 보여야 합니다.

2

결론만 거짓으로 만듭니다.

반례 하나가 발견되면 그 결론은 전제에서 반드시 따라오지 않습니다. 여러 반례를 찾을 필요는 없습니다.

3

반례가 없다는 말은 더 강합니다.

몇 번 시도해 못 찾았다는 것과 실제로 없는 것은 다릅니다. 가능한 경우 전체를 검사하거나 일반적인 증명이 필요합니다.

04 · 반례의 조건을 다른 상황에 적용하기

전제 참·결론 거짓을 끝까지 유지하세요.

전칭문에서 존재를 잘못 끌어낸 경우, 두 존재문을 같은 사람으로 합친 경우, 실제로 반례가 없는 경우를 비교합니다.

1. 존재 결론을 깨뜨리는 그림

모든 A는 B입니다.

모든 B는 C입니다.

결론 후보: 어떤 A는 C입니다.

전제는 참이고 결론은 거짓이 되는 그림으로 가능한 것은 무엇인가요?

2. 두 존재문은 같은 사람일까요?

어떤 A는 B입니다.

어떤 A는 C입니다.

결론 후보: 어떤 B는 C입니다.

반례를 만들 수 있는 설명은 무엇인가요?

3. 아무리 바꿔도 반례가 안 나와요

모든 A는 B입니다.

모든 B는 C입니다.

결론: 모든 A는 C입니다.

여러 그림을 바꾸어도 전제는 참이고 결론은 거짓인 경우를 찾지 못했습니다. 다음 판단으로 적절한 것은 무엇인가요?

적용 문제 0 / 3개 해결

13~16강 묶음 마무리

집합을 그리는 데서 추론을 검증하는 데까지 왔습니다.

  1. 13강에서는 포함 관계와 대상의 소속을 그림으로 나타냈습니다.
  2. 14강에서는 빗금·X·표시 없음으로 비어 있음, 존재, 정보 부족을 구별했습니다.
  3. 15강에서는 두 전제를 합쳐 반드시 따라오는 결론을 찾았습니다.
  4. 16강에서는 전제를 유지하면서 결론을 깨뜨리는 반례를 직접 만들었습니다.
  5. 반례 하나는 무효성을 보이기에 충분하고, 반례가 없다는 판단은 전체 검사나 증명으로 뒷받침합니다.
전체 목차로 →15강 두 전제 추론 복습용어 사전

다음 묶음에서는 이런 “모든 경우에서 따라온다”는 판단을 한 단계씩 설명하는 증명과 논증 구조로 확장할 수 있습니다. 아직 공개되지 않은 다음 강의로 자동 연결하지는 않습니다.

참고 자료와 검증 범위

공개: 2026년 9월 29일 · 한국논리학협회 자체 제작

연역 논증의 반례 정의와 벤 다이어그램을 이용한 검증 방식을 대조하고, 15강의 A·B·C 소속 유형 엔진을 이용해 반례를 직접 조작하는 활동을 새로 구성했습니다.

이 수업에서 “유효”는 제시한 전제가 모두 참인 대표 소속 조합 가운데 결론이 거짓인 경우가 없다는 뜻입니다. 실제 범주의 경험적 사실이나 주장의 건전성까지 보장하는 표현은 아닙니다.

실제 사람의 소속 정보를 입력하거나 저장하지 않습니다. 조작 상태와 답안은 새로고침하거나 페이지를 나가면 초기화됩니다.