모든 A는 B이다.
참A에만 속한 사람이 없습니다.
집합으로 추론하기 · 13강
‘모든 A는 B’를
그림으로 나타내면?
누가 안에 있고,
어느 쪽 바깥에는 있을 수 없을까요?
집합의 포함대상의 위치 바꾸기적용 문제 3개
A ⊆ B
A에 속한 대상은 모두 B에도 속합니다.
이번에 배울 내용‘모든 A는 B’를 포함 관계로 나타내고, 한 대상의 소속과 집합 사이의 관계를 구별합니다.
시작하기 전에 확인하세요
1강의 모두, 5~8강의 조건과 반례를 영역으로 바꿔 봅니다. A와 B는 사람 한 명이 아니라 각각 해당하는 사람을 모은 집합입니다.
사진 모임 A와 문화 모임 B는 가상 사례입니다. 규칙만 나타낸 그림과 여섯 명의 전체 명단을 나타낸 그림을 구분합니다. 원의 크기는 인원수가 아니며, 표시 없는 영역에 사람이 있다고 덧붙이지 않습니다.
01 · 사람을 조건에 따라 모으기
사진 모임 사람은 어디에 들어갈까요?
조건에 맞는 대상을 모아 하나의 집합으로 나타낼 수 있습니다. ‘민지’는 한 사람이고, ‘사진 모임에 참여하는 사람들의 집합’은 여러 대상을 모아 나타낸 것입니다. 한 사람만 있거나 아무도 없는 집합도 가능합니다.
사진 모임에 참여하는 사람은 모두 문화 모임에도 참여합니다.
A · 사진 모임에 참여하는 사람들의 집합A는 모임에 참여하는 사람들을 모아 나타낸 것입니다.
B · 문화 모임에 참여하는 사람들의 집합한 사람은 두 집합에 모두 속할 수도 있습니다.
02 · 규칙이 알려 준 내용만 표시하기
A에 속한 대상이 B 밖에 있을 수 있을까요?
규칙 그림 · 실제 명단은 아직 모름
‘모든 A는 B’를 포함 관계로 표시해 보세요.
B ⊆ A
B에 속한 대상이 A에도 속한다는 반대 방향입니다. 이 규칙 하나만으로 A에 속한 대상이 모두 B에도 속한다고 결론 낼 수는 없습니다.
이 그림에서는 원 안의 비어 보이는 공간만으로 실제 사람이 있다고 판단하지 않습니다. 포함 방향을 표시하는 도식이며 원의 크기는 인원수와 관계없습니다.
이번에는 비어 있어야 하는 영역에만 빗금을 쳐 보세요.
아래 벤 다이어그램은 두 원을 그대로 둡니다. 빗금은 그 영역에 대상이 없다는 표시입니다. 문장이 알려 준 내용만 표시하세요.
1A에만 속함2A와 B에 모두 속함3B에만 속함4두 집합 바깥
위의 원 안에 원을 놓는 포함 표시와 아래의 빗금 표시는 그리는 규칙이 다릅니다. 여기서는 범례를 먼저 확인하며, 어느 그림에서도 표시하지 않은 존재 사실을 덧붙이지 않습니다. 두 활동의 선택은 서로 독립적입니다.
03 · 규칙과 한 사람의 정보 함께 읽기
이 사람을 어디에 놓을 수 있나요?
규칙을 참이라고 가정하고 · 한 사람의 가능한 위치 찾기
규칙: 모든 A는 B입니다. 빗금은 이 규칙에 따라 비어 있어야 하는 영역입니다.
1A에만 속함2A와 B에 모두 속함3B에만 속함4두 집합 바깥
가상의 사람 ‘가’를 아래 위치에 놓아 보세요. 그림의 점은 시도한 위치이며, 실제로 그곳에 있다는 정보가 새로 주어진 것은 아닙니다.
B에 속한 사람을 반드시 A에 놓으면 ‘모든 B는 A’라는 조건을 몰래 추가하게 됩니다. 집합 이름과 포함 방향을 함께 확인하세요.
04 · 이번에는 전체 명단으로 판단하기
사람을 옮기면 어느 말이 거짓이 될까요?
완전한 명단 · 여기서는 여섯 명이 전체지금 이 여섯 명의 명단에서 반대 방향과 비교하기
이번에는 여섯 명의 두 모임 참여 여부를 모두 압니다. 번호가 붙은 점 하나가 한 사람입니다. 이 명단 그림에는 빗금을 넣지 않고 실제 점을 모두 표시합니다.
1A에만 속함2A와 B에 모두 속함3B에만 속함4두 집합 바깥
1번 민지의 위치를 바꾸세요.
모든 B는 A이다.
거짓B에만 속한 사람: 서연, 도윤.
A의 구성원 민지, 준호
B의 구성원 민지, 준호, 서연, 도윤
현재 두 집합의 구성원은 서로 다릅니다.
한 사람으로 반례를 만들어 보세요.
선택한 사람이 ‘모든 A는 B’의 반례가 되도록 위치를 바꾸고 확인하세요.
점의 위치를 바꾸면 이 가상 명단의 참여 기록이 바뀝니다. 원의 크기는 그대로이며 인원수에 비례하지 않습니다. 실제 모임 정보는 변경하지 않습니다.
A가 비어 있거나 두 집합이 같아도 될까요?
두 명단이 같아도 A의 모든 사람이 B에 속하므로 A ⊆ B가 성립합니다. A에 아무도 없는 명단에도 A 안·B 밖의 반례가 없습니다. 이 강의의 고전논리에서는 이 경우에도 모든 A는 B를 참으로 판정합니다.
따라서 규칙 하나만 보고 A에 실제 사람이 있다거나 두 집합이 반드시 다르다고 추정하지 않습니다. 존재 여부를 그림에 표시하는 자세한 방법은 다음 학습 주제로 남겨 둡니다.
한 대상의 소속
민지 ∈ A민지는 A에 속한다는 말입니다. 이 문제에서 민지는 한 사람입니다.
집합 사이의 포함
A ⊆ BA의 모든 원소가 B에도 속한다는 말입니다. A와 B가 같은 경우도 포함합니다.
앞에서 배운 조건문으로 읽어볼까요?
각 대상 x에 대해 ‘x가 A에 속하면 x는 B에도 속한다’고 읽습니다. 식으로는 ∀x(x ∈ A → x ∈ B)입니다. 같은 대상 범위에서 A이지만 B는 아닌 반례가 하나도 없어야 합니다.
민지 ∈ A와 A ⊆ B를 함께 알면 민지 ∈ B를 알 수 있습니다. 반대로 민지 ∈ B만으로 민지 ∈ A를 결정할 수는 없습니다.
05 · 다른 집합에도 적용하기
대상·집합·포함 방향을 함께 확인하세요.
1. 자료 한 편과 자료 집합
A는 번역 자료의 집합, B는 공개 자료의 집합입니다. 모든 A는 B라고 알려져 있습니다.
자료 가는 한 편의 자료이며 A에 속합니다.
2. 두 명단이 완전히 같다면?
A는 온라인 자료 집합, B는 공개 자료 집합인 가상 목록입니다.
지금 A와 B의 자료 명단이 완전히 같습니다.
3. 문장이 알려 주는 빈 영역
A는 예약한 자료, B는 대여 가능한 자료의 집합입니다.
“예약한 자료는 모두 대여 가능합니다”라는 문장만 그림으로 나타내려 합니다.
적용 문제 0 / 3개 해결
오늘 배운 내용
‘안에 있다’는 말의 대상을 구별합니다.
- 원소는 집합에 속하는 개별 대상입니다. 한 대상의 소속은 ∈로 표시합니다.
- 모든 A는 B를 A ⊆ B로 나타냅니다. 포함 방향을 거꾸로 읽지 않습니다.
- 벤 다이어그램에서는 A 안·B 밖 영역이 비어 있음을 표시합니다.
- 하나의 규칙만으로 다른 영역의 존재 여부를 덧붙이지 않습니다.
- 두 집합이 같거나 A가 비어 있는 경우도 부분집합의 정의에 포함됩니다.
참고 자료와 그림의 약속
공개: 2026년 9월 29일 · 한국논리학협회 자체 제작
부분집합과 전칭 문장의 의미를 대조한 뒤 사례·그림·한국어 설명·문제를 새로 구성했습니다. 집합의 원소가 다른 집합인 고급 사례와 존재 판단의 상세한 표기 체계는 이번 수업의 범위에 넣지 않았습니다.
- OpenStax · Contemporary Mathematics 1.2절
부분집합, 같은 집합, 공집합, 한 원소의 소속을 대조했습니다. 교재의 진부분집합 그림을 그대로 복제하지 않았습니다.
- 오픈 로직 프로젝트 · forall x: Calgary 24장
모든 A는 B라는 문장의 조건 관계와 한 대상에 대한 적용을 확인했습니다.
- Occidental College · Logic Primer: 범주 문장의 의미
A 안·B 밖이 비어 있다는 빗금 표시와 존재 표시를 구분했습니다.
- 같은 자료 · 전칭 범주 문장
모든 A는 B가 A에 실제 대상이 있다는 주장까지 포함하지 않는다는 범위를 확인했습니다.
규칙 그림에서 빗금은 그 영역이 비어 있다는 뜻입니다. 표시 없는 공간은 그곳에 대상이 존재함을 보장하지 않습니다. 완전한 명단 그림은 주어진 여섯 대상을 모두 표시합니다. 두 방식의 정보 범위를 섞지 마세요.
실제 모임 명단을 입력하거나 저장하지 않습니다. 연습 선택과 답안은 새로고침하거나 페이지를 나가면 초기화됩니다. 별도의 학습 완료 표시는 이 실험의 답안 저장과 구분됩니다.