논리학 첫걸음 · 2강

학생마다 읽은 책이 있다면,
모두가 읽은 책도 있을까?

학생과 책을 연결하며, 각자 읽은 책이 있다는 말과 모두가 읽은 공통의 책이 있다는 말을 비교합니다.

연결 그림과 표적용 문제 3개로그인 없이 학습
1강 ‘모두’와 ‘적어도 하나’ 복습하기

말과 그림으로 관계 읽기전체 목차
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이번에 배울 내용각자 읽은 책이 있는 경우와 모두가 읽은 공통의 책이 있는 경우를 구별합니다.

시작하기 전에 확인하세요

1강의 ‘적어도 하나’를 떠올려 보세요. 학생마다 읽은 책은 서로 달라도 되고 같아도 됩니다. 공통의 책이 여러 권인 경우도 가능합니다.

학생 세 명과 책 세 권의 읽기 기록을 모두 안다고 가정합니다. 이 활동에서 선이 없으면 읽지 않은 것입니다. 실제 기록이 빠진 경우까지 ‘읽지 않았다’고 단정하는 것은 아닙니다.

01 · 예상해 보기

독서 모임의 두 가지 보고

민지, 준호, 서연이 독서 모임을 준비합니다. 이번 모임에서 다루는 책은 별, 숲, 바다 세 권입니다. 모두 책을 읽어 왔다는 보고를 받고, 진행자가 묻습니다.

“그럼 세 사람이 모두 읽은 책으로 이야기를 나눌 수 있겠네요?”

학생들이 각자 다른 책만 읽어 왔을 수도 있습니다. 다음 두 주장이 요구하는 상황을 비교해 봅시다.

  1. 학생마다 읽은 책이 있다.
  2. 학생 모두가 읽은 공통의 책이 있다.
각 학생에게 읽은 책이 있으면, 모두가 읽은 공통의 책도 반드시 있을까요?

02 · 학생과 책을 연결해 보기

모두가 읽은 책을 만들어 보세요.

처음에는 민지가 별, 준호가 숲, 서연이 바다만 읽었습니다. 각자 읽은 책이 있는지, 모두가 읽은 책이 있는지 확인한 다음 선을 추가해 보세요.

가상의 독서 상황

학생 3명 · 책 3권

읽기 관계 3개

먼저 학생을 누르고, 그 학생이 읽은 책을 눌러 보세요. 같은 책을 다시 누르면 선이 지워집니다.

학생책 · 민지 기준
선 하나는 학생 한 명이 책 한 권을 읽었다는 뜻입니다.

민지 선택됨 · 읽은 책: 별

학생 한 명씩 확인학생마다 읽은 책이 있다.
참

세 학생 모두에게 책이 하나 이상 연결되어 있습니다. 학생마다 그 책이 달라도 됩니다.

모두와 연결된 책 찾기학생 모두가 읽은 공통의 책이 있다.
거짓

세 학생 모두와 연결된 책이 없습니다. 각 책에는 읽지 않은 학생이 한 명 이상 있습니다.

같은 관계를 표로 보기·바꾸기

학생은 가로줄, 책은 세로줄로 놓았습니다. 칸을 누르면 그림의 선도 함께 바뀝니다. ✓는 읽음, —는 읽지 않음입니다.

같은 관계를 표로 확인하기
학생 / 책별숲바다
민지
준호
서연

첫 주장은 모든 가로줄에 ✓가 있는지, 두 번째 주장은 ✓로 가득 찬 세로줄이 있는지 확인합니다.

작은 도전: 선 두 개로 공통의 책 만들기

학생들이 서로 다른 책만 읽은 상황에서 시작합니다. 기존 선을 유지하면서 선을 두 개 추가해 두 주장을 모두 참으로 만들어 보세요.

그림에 있는 학생 세 명과 책 세 권만 다룹니다. 같은 책은 같은 제목의 책을 뜻하며, 한 권의 실물을 돌려 읽어야 한다는 뜻은 아닙니다. 이 활동에서는 읽기 기록을 모두 알고 있으므로 선이 없으면 읽지 않은 것으로 정합니다. 선을 지우면 가상의 독서 기록이 바뀝니다.

03 · 그림에서 발견한 원리

책을 고르는 기준이 다릅니다.

학생마다 한 권 이상

학생을 정한 뒤 책을 찾습니다.

민지에게는 별, 준호에게는 숲을 제시해도 됩니다. 학생에 따라 제시하는 책이 달라질 수 있습니다. 모두 같은 책을 읽은 상황도 여기에 포함됩니다.

학생 한 명그 학생이 읽은 책
모두에게 공통인 책

같은 책으로 모든 학생을 확인합니다.

책 한 권을 골라 어느 학생이든 그 책을 읽었는지 살핍니다. 학생이 바뀌어도 같은 책을 제시할 수 있어야 합니다. 공통의 책은 여러 권이어도 됩니다.

책 한 권학생 모두 확인

공통의 책이 있으면 각 학생에게도 읽은 책이 있습니다. 반대 방향을 확인할 때에는, 학생들이 서로 다른 책만 읽은 상황을 떠올려 보세요.

이제 양화사의 순서를 기호로 볼까요?

S는 학생 세 명의 집합, B는 책 세 권의 집합입니다. R(x,y)는 ‘학생 x가 책 y를 읽었다’를 뜻합니다. x∈S는 x가 S에 속한다는 뜻입니다.

∀x∈S [∃y∈B R(x,y)]

모든 학생 x에 대하여, x가 읽은 책 y가 적어도 하나 있다.
학생마다 y로 고르는 책이 달라도 됩니다.

∃y∈B [∀x∈S R(x,y)]

어떤 책 y가 있어서, 모든 학생 x가 그 책 y를 읽었다.
학생이 바뀌어도 같은 y를 사용합니다.

여기서 순서는 실제로 누가 먼저 책을 읽었는지를 뜻하지 않습니다. 학생마다 다른 책을 골라도 되는지, 모두에게 같은 책을 제시해야 하는지를 구분합니다.

이 표기에서는 ∈S와 ∈B로 각 양화사가 다루는 대상을 제한했습니다. ∀는 전칭 양화사, ∃는 존재 양화사입니다. 대괄호는 양화사의 적용 범위를 드러내기 위해 썼습니다.

학생과 책을 하나의 논의 영역에 넣어 쓰기

논의 영역을 학생과 책 전체로 잡고, H(x)를 ‘x는 학생이다’, T(y)를 ‘y는 책이다’로 정하면 같은 두 주장을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

∀x (H(x) → ∃y (T(y) ∧ R(x,y)))

학생마다 읽은 책이 있다.

∃y (T(y) ∧ ∀x (H(x) → R(x,y)))

학생 모두가 읽은 공통의 책이 있다.

어떤 경우에 ‘양화사 교환 오류’가 될까요?

‘학생마다 읽은 책이 있다’를 근거로 ‘학생 모두가 읽은 공통의 책이 있다’를 곧바로 결론 내리면 양화사 교환 오류에 해당합니다. 서로 다른 책만 읽은 초기 그림이 이 추론의 반례입니다.

전칭과 존재 양화사를 바꾸는 추론에서는 어느 방향으로 옮기는지 살펴야 합니다. 공통의 책이 있다는 주장에서는 학생마다 읽은 책이 있다는 주장이 따라옵니다.

04 · 읽기·추론·적용

그림과 표를 보고 판단해 보세요.

관계를 읽고, 최소한의 변화를 찾고, 새로운 상황에서도 같은 원리를 적용해 보세요.

1. 연결을 보고 두 주장 판단하기

세 학생이 아래와 같이 책을 읽었습니다. 선으로 연결되지 않은 책은 읽지 않았습니다.

학생책
민지
준호
서연
별
숲
바다
선 하나는 학생 한 명이 책 한 권을 읽었다는 뜻입니다.
‘학생마다 읽은 책이 있다’와 ‘학생 모두가 읽은 공통의 책이 있다’ 중 참인 것은 무엇인가요?

2. 공통의 책을 만드는 최소 변화

지금은 민지가 별, 준호가 숲, 서연이 바다만 읽었습니다. 기존 선을 유지하면서 새 선을 추가해 보려 합니다.

독서 기록 · ✓ 읽음, — 읽지 않음
학생 / 책별숲바다
민지✓——
준호—✓—
서연——✓
세 학생 모두가 읽은 공통의 책을 만들려면 선을 최소 몇 개 추가해야 하나요?

3. 탐사 장비와 검사로 바꾸기

탐사 장비 세 대가 아래 검사를 받았습니다. 표의 ✓는 해당 검사를 통과했다는 뜻이고, —는 통과하지 못했다는 뜻입니다.

검사 결과 · ✓ 통과, — 미통과
장비 / 검사전원통신진동
장비 가✓✓—
장비 나✓——
장비 다✓—✓
세 장비가 모두 통과한 공통 검사는 전원 검사입니다. 이 사실에서 반드시 따라오는 판단은 무엇인가요?

적용 문제 0 / 3개 해결

오늘의 정리

‘각자’와 ‘공통’을 구별합니다.

  1. ‘각자에게 적어도 하나’에서는 대상마다 다른 사례를 골라도 됩니다.
  2. ‘모두에게 공통인 하나’에서는 같은 사례가 모든 대상에 성립해야 합니다.
  3. 공통 사례가 있으면 각 대상에게도 사례가 있습니다.
  4. 각 대상에게 사례가 있다는 정보만으로 공통 사례의 존재를 단정할 수는 없습니다.
3강: 부정과 반례 배우기 수업 목록으로

출처와 설명의 범위

내용 보완: 2026년 9월 28일 · 기존 강의와 체험 활동을 유지했습니다.

고전 일차논리의 이항 술어와 전칭·존재 양화사의 순서를 다룹니다. 학생·책의 이야기, 조작 활동과 적용 문제는 한국논리학협회가 이 수업을 위해 구성했습니다.

그림에서는 학생과 책이 각각 세 개씩 존재하고, 모든 읽기 관계가 알려져 있다고 가정합니다. ‘책을 고른다’는 설명은 주장을 확인하는 방법을 가리킵니다.